6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示

(共55张PPT)
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示（直观想象）.
2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示（数学运算）.
课标要求
　　上节课所学的平面向量基本定理告诉我们，指定基底之后，对平面上的任何一个向量都存在一组有序数对，使该向量具有唯一的分解方式.那这组有序数对能否称为“向量的坐标”呢？若建立了“向量的坐标”，可使抽象的向量数字化，对我们研究向量带来很多方便，下面让我们到知识的海洋里遨游吧！
情景导入
知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示
01
知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示
02
提能点　平面向量坐标运算的应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
平面向量的正交分解及坐标表示
01
PART
问题1　（1）如图，在平面直角坐标系中，设与x轴，y轴方向相同的两个
单位向量分别为i，j，这里的向量i，j长度和方向上有什么特点？
提示：向量i，j都是单位向量且互相垂直.
（2）i，j能作为平面内的一个基底吗？
提示：能.
（3）在平面直角坐标系中，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向
量a，可以用{i，j}表示成什么？
提示：由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋
yj.
【知识梳理】
1. 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解.
互相垂直　
2. 平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示
（2）向量坐标与点的坐标的关系
在直角坐标平面中，以原点O为起点作 ＝a，设 ＝xi＋yj，则向量
的坐标（x，y）就是 的坐标；反过来，终点A的坐标
（x，y）也就是向量 的坐标.
　　提醒：（1）点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A（x，y），a
＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐
标相同.
终点A　
【例1】　（链接教材P29例3）如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，
AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及向量 与 的坐标.
解：由题意及题图知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的
交点.
设B（x1，y1），D（x2，y2），
由三角函数的定义，得x1＝ cos 30°＝ ，y1＝ sin 30°＝ ，x2＝ cos
120°＝－ ，y2＝ sin 120°＝ ，
∴B（ ， ），D（－ ， ），
又A（0，0），∴ ＝（ ， ）， ＝（－ ， ）.
【规律方法】
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的
坐标；
（2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点
坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
训练1　（1）已知 ＝（－2，4），则下列说法正确的是（　D　）
A. 点A的坐标是（－2，4）
B. 点B的坐标是（－2，4）
C. 当B是原点时，点A的坐标是（－2，4）
D. 当A是原点时，点B的坐标是（－2，4）
D
（2）已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标
系，i是与x轴方向相同的单位向量，j是与y轴方向相同的单位向量，则
和 的坐标分别为 .
解析：由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，因为
AB＝4，AD＝3，所以 ＝4i＋3j，所以 ＝（4，3）；因为 ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－4i＋3j，所以 ＝（－4，3）.
（4，3），（－4，3）　
知识点二
平面向量加、减运算的坐标表示
02
PART
问题2　（1）已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a
－b的坐标吗？
提示：a＋b＝（x1i＋y1j）＋（x2i＋y2j）＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）
j，即a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）.同理可得a－b＝（x1－x2，y1－y2）.
（2）如图，已知A（x1，y1），B（x2，y2），怎样求 的坐标？
提示： ＝ － ＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）.
【知识梳理】
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则：
（1）a＋b＝ ；a－b＝
，即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
（差）；
（x1＋x2，y1＋y2）　
（x1－x2，y1－
y2）　
（2）向量坐标的几何意义：
如图所示，在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），则 ＝（x1，y1），
若A（x1，y1），B（x2，y2），则 ＝ .
结论：（1）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐
标减去 的坐标；
（2）两向量相等，对应坐标分别 .
（x2－x1，y2－y1）　
终点　
起点　
相等　
【例2】　（1）（链接教材P29例4）已知向量a＝（2，4），a＋b＝
（3，2），则b＝ ，b－a＝ ；
解析： b＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）.b－a＝
（1，－2）－（2，4）＝（－1，－6）.
（2）已知A（1，－2），B（2，1），C（3，2）和D（－2，3），则
＋ ＋ 的坐标为 .
解析： ＝（－3，5）， ＝（－4，2）， ＝（－5，1），所
以 ＋ ＋ ＝（－3，5）＋（－4，2）＋（－5，1）＝（－12，8）.
（1，－2）　
（－1，－6）　
（－12，8）　
【规律方法】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行
计算；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向
量的坐标运算；
（3）向量的坐标运算可类比数的运算进行.
训练2　已知点A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），设 ＝
a， ＝b， ＝c，且 ＝c， ＝b.
（1）求a＋b－c；
解：由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）.　
（1）a＋b－c＝（5，－5）＋（－6，－3）－（1，8）＝（－2，－
16）.
（2）求点M，N的坐标及向量 的坐标.
解： 设O为坐标原点，
∵ ＝ － ＝c，
∴ ＝c＋ ＝（1，8）＋（－3，－4）＝（－2，4），
∴M（－2，4）.
又∵ ＝ － ＝b，
∴ ＝b＋ ＝（－6，－3）＋（－3，－4）＝（－9，－7），
∴N（－9，－7），
∴ ＝（－9，－7）－（－2，4）＝（－7，－11）.
03
PART
提能点
平面向量坐标运算的应用
提能点｜平面向量坐标运算的应用
【例3】　（链接教材P30例5）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点
B，C，D的坐标分别是（－1，3），（3，4），（2，2），求：
（1）向量 的坐标；
解：因为点B，C的坐标分别是（－1，3），
（3，4），
所以 ＝（3，4）－（－1，3）＝（4，1）.
（2）顶点A的坐标.
解： 设顶点A的坐标为（x，y），
因为四边形ABCD为平行四边形，点D的坐标是（2，2），所以 ＝（2
－x，2－y），
所以 ＝ ，即（4，1）＝（2－x，2－y），
所以 解得
所以顶点A的坐标为（－2，1）.
【规律方法】
坐标形式下向量相等的条件及应用
（1）条件：相等向量的对应坐标相等；
（2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系即构造
方程（组），由此可以求出某些参数的值或点的坐标.
训练3　已知点A（2，3），B（5，4）， ＝（5λ，7λ）（λ∈R）.若
＝ ＋ ，试求λ为何值时：
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
解：设点P的坐标为（x，y），则 ＝（x，y）－（2，3）＝（x－
2，y－3）， ＋ ＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）＝（3，1）＋
（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.∵ ＝ ＋ ，且 与 不共线，∴ 则
（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝ .
（2）点P在第三象限内.
解： 若点P在第三象限内，则 ∴λ＜－1.
1. 已知向量a＝（1，2），b＝（3，1），则b＋a＝（　　）
A. （－2，1） B. （2，－1）
C. （2，0） D. （4，3）
解析：　因为a＝（1，2），b＝（3，1），所以b＋a＝（3，1）＋
（1，2）＝（4，3）.故选D.
√
2. 如果用i，j分别表示与x轴和y轴方向相同的单位向量，且A（2，
3），B（4，2），则 可以表示为（　　）
A. 2i＋3j B. 4i＋2j
C. 2i－j D. －2i＋j
解析：　设O为坐标原点，因为A（2，3），B（4，2），所以 ＝2i
＋3j， ＝4i＋2j，所以 ＝ － ＝4i＋2j－2i－3j＝2i－j.
√
3. 如图，分别用基底{i，j}表示向量
a，b，c，则a＋b＋c＝（　　）
A. （－4，6） B. （－6，0）
C. （－2，－4） D. （0，2）
解析：　因为a＝－i－3j＝（－1，－3），b＝－3i＋j＝（－3，
1），c＝2i－2j＝（2，－2），所以a＋b＋c＝（－2，－4）.
√
4. 已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边
AB，AD分别落在x轴，y轴的非负半轴上，则向量 － ＋ 的坐标
为 .
解析：因为 － ＋ ＝ ＋（ ＋ ）＝ ＋ ，由题意得A
（0，0），B（1，0），所以 ＝（1，0），故 － ＋ ＝ ＋
＝（1，0）＋（1，0）＝（2，0）.
（2，0）　
课堂小结
1.理清单
（1）平面向量的正交分解及坐标表示；
（2）平面向量加、减运算的坐标表示；
（3）平面向量坐标运算的应用.
2.应体会
平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是
要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的
和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同.
3.避易错
（1）向量的坐标不一定是终点的坐标；
（2） 的坐标一定是终点B的坐标减去起点A的坐标.
课时作业
04
PART
1. 已知向量a＝（m，2），b＝（1，－2），若a＋b＝0，则实数m的值
为（　　）
A. －4 B. 4
C. －1 D. 1
解析：　由题意，向量a＝（m，2），b＝（1，－2），所以a＋b＝
（m＋1，0）＝（0，0），可得m＋1＝0，解得m＝－1.
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2. 在平面直角坐标系xOy内， 已知点A（－1，1）， ＝（1，－2），
则 ＝（　　）
A. （2，－3） B. （0，－1）
C. （－2，3） D. （0，1）
解析：　因为点A（－1，1），所以 ＝（－1，1），故 ＝ ＋
＝（－1，1）＋（1，－2）＝（0，－1）.故选B.
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3. 若 ＝（3，4），A点的坐标为（－2，－1），则B点的坐标为
（　　）
A. （1，3） B. （5，5）
C. （1，5） D. （5，4）
解析：　设B（x，y），∵A点的坐标为（－2，－1），∴ ＝（x＋
2，y＋1）.又∵ ＝（3，4），∴ 解得 即B点的
坐标为（1，3）.故选A.
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4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y＝ sin x图象的最高点，Q
是y＝ sin x的图象与x轴的交点，则 ＋ 的坐标是（　　）
A. （ ，1） B. （π，0）
C. （－π，0） D. （2π，0）
解析：　由题意以及题图可知Q（π，0），O（0，0），所以 ＋
＝ ＝（π，0）.故选B.
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5. 已知平行四边形ABCD中， ＝（3，7）， ＝（－2，3），对角线
为AC，BD，则 － ＝（　　）
A. （1，10） B. （5，4）
C. （－4，6） D. （－5，2）
解析：　因为四边形ABCD为平行四边形，所以 ＝ ＋ ＝（1，
10）， ＝ － ＝（5，4），所以 － ＝（1，10）－（5，
4）＝（－4，6）.故选C.
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6. 〔多选〕在平面直角坐标系xOy内，下面四种说法正确的有（　　）
A. 相等向量的坐标相同
B. 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C. 一个坐标对应唯一的一个向量
D. 平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一
对应
解析： 　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向
量，故C错误，A、B、D正确.
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7. 若A（2，－1），B（4，2），C（1，5），则 ＋ ＝
　 　.
解析：法一　由题意得 ＝（2，3）， ＝（－3，3），所以 ＋
＝（2，3）＋（－3，3）＝（－1，6）.
（－1，
6）
法二　 ＋ ＝ ＝（－1，6）.
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8. 如图，向量a，b，c的坐标分别是 ，
， .
（－4，0）　
（0，
6）　
（－2，－5）　
解析：将各向量分别向i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，所以a＝
（－4，0）；b＝0i＋6j，所以b＝（0，6）；c＝－2i－5j，所以c＝
（－2，－5）.
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9. 已知i，j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为
坐标原点，设 ＝（x2＋x＋1）i－（x2－x＋1）j（x∈R），则点A位
于第 象限
解析：由题意得A（x2＋x＋1，－x2＋x－1），∵x2＋x＋1＝（x＋ ）2
＋ ＞0，同理得－x2＋x－1＜0，∴点A位于第四象限.
四　
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10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，
2）.
（1）若 ＝ ＋ ，求点P的坐标；
解： 因为 ＝（1，2）， ＝（2，1），
所以 ＝（1，2）＋（2，1）＝（3，3），
即点P的坐标为（3，3）.
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（2）若 ＋ ＋ ＝0，求 的坐标.
解： 设点P的坐标为（x，y），因为 ＋ ＋ ＝0，
又 ＋ ＋
＝（1－x，1－y）＋（2－x，3－y）＋（3－x，2－y）
＝（6－3x，6－3y）.
所以 解得
所以点P的坐标为（2，2），故 ＝（2，2）.
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11. 已知向量 与a＝（6，－8）的夹角为π，且｜ ｜＝｜a｜，若点
A的坐标为（－1，2），则点B的坐标为（　　）
A. （－7，10） B. （7，10）
解析：由题意知， 与a方向相反，且｜ ｜＝｜a｜，∴ ＋a＝0.设B（x，y），则 ＝（x＋1，y－2），∴ 解得 故点B的坐标为（－7，10）.
√
C. （5，－6） D. （－5，6）
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12. 已知对任意平面向量 ＝（x，y），把 绕其起点沿逆时针方向旋
转θ角得到向量 ＝（x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ），叫做点B绕点
A沿逆时针方向旋转θ角得到点P. 已知平面内点A（0，1），点B（ ，
1－2 ），把点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点P，则点P的坐标
为（　　）
A. （－3，－1） B. （－3，0）
C. （－1，－2） D. （－1，－3）
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解析：　因为A（0，1），B（ ，1－2 ），所以 ＝（ ，－
2 ），将向量 绕起点A沿顺时针方向旋转 ，即逆时针方向旋转－
，得到 ＝（ cos （－ ）－（－2 ） sin （－ ）， sin （－
）＋（－2 ） cos （－ ）），化简得 ＝（－1，－3），所以点P
的坐标为（－1，－2）.
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13. 〔多选〕已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，B，C
为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（　　）
A. （4，5） B. （8，9）
C. （2，－1） D. （3，－1）
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解析： 　设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，则有
＝ ，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝4，y＝5，所以所
求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是平行四边形ABDC，则有
＝ ，即（5－3，4－2）＝（x－6，y－7），解得x＝8，y＝9，所
以所求顶点D的坐标为（8，9），所以B正确；若是平行四边形ACBD，
则有 ＝ ，即（6－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝
－1，所以所求顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的
坐标为（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C.
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14. 如图，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB＝∠ABC＝120°，｜ ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝4.
（1）求 的坐标；
解：过点B作BE⊥x轴于点E，
如图所示.
因为∠OAB＝120°，所以∠EAB＝60°，
又｜ ｜＝2，
所以在Rt△ABE中，AE＝1，BE＝ ，
又｜ ｜＝4，
所以A（4，0），B（5， ），
所以 ＝（1， ）.
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（2）若四边形ABCD为平行四边形，求点D的坐标.
解： 过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BM⊥CF于点M，如图所示.
在Rt△CMB中，｜ ｜＝4，∠CBM＝60°，所以BM＝2，CM＝2 ，
所以CF＝CM＋MF＝CM＋BE＝3 ，OF＝OE－BM＝3，即C（3，
3 ），
设点D（x，y），因为四边形ABCD为平行四边形，所以 ＝ ，
又 ＝（1， ）， ＝（3－x，3 －y），
所以 解得 所以点D的坐标为（2，2 ）.
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15. 已知向量u＝（x，y）和向量v＝（y，2y－x）的对应关系可以用v
＝f（u）表示.
（1）若a＝（1，1），b＝（1，0），试求向量f（a）及f（b）的坐
标；
解： 由v＝f（u）可得，当u＝（x，y）时，有v＝（y，2y－x）
＝f（u），从而f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，
2×0－1）＝（0，－1）.
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（2）求使f（c）＝（4，5）的向量c的坐标.
解： 设c＝（x，y），则f（c）＝（y，2y－x）＝（4，5），
所以 解得 即c＝（3，4）.
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