6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

(共53张PPT)
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算（数学运算）.
2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直（逻辑推理）.
课标要求
　　前面我们学面向量数量积及其性质，我们也学会了用
“坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能
否用坐标来表示两向量的数量积呢？
情景导入
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
01
知识点二　平面向量的模
02
知识点三　平面向量的夹角与垂直
03
目录
课时作业
04
知识点一
平面向量数量积的坐标表示
01
PART
问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个
单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝
（x1，y1），b＝（x2，y2），你能给出a·b的值吗？
提示：根据向量数量积的定义，易得i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.
∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝（x1i＋y1j）·（x2i＋y2j）
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
【知识梳理】
向量数量积的坐标表示
（1）语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；
（2）坐标表示：已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝
.
x1x2
＋y1y2　
（1）求a·（a－b）；
解： 法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2），
所以a－b＝（－4，0）.
所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－4）＋2×0
＝4.
【例1】　已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）.
法二　a·（a－b）＝a·a－a·b
＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4.
（2）求（a＋b）·（2a－b）.
解： 因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），2a－b＝2
（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2），
所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋
4×2＝－2.
【规律方法】
向量数量积坐标运算的技巧
（1）两向量进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并
能灵活运用以下几个关系：①a2＝a·a；②（a＋b）·（a－b）＝a2
－b2；③（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立
坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积.
训练1　（1）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a
－b）·c＝30，则x＝（　C　）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
解析： 由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝30，c
＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4.
C
（2）在平面直角坐标系Oxy中，已知四边形ABCD是平行四边形， ＝
（1，－2）， ＝（2，1），则 · ＝（　A　）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
A
解析： 由 ＝ ＋ ＝（1，－2）＋（2，1）＝（3，－1），得
· ＝（2，1）·（3，－1）＝2×3＋1×（－1）＝5.
知识点二
平面向量的模
02
PART
问题2　若向量a＝（x，y），你能计算出向量a的模吗？
提示：｜a｜＝ ＝ ＝ ＝ .
【知识梳理】
1. 向量模的坐标公式
若a＝（x，y），则｜a｜2＝ ，｜a｜＝ .
2. 两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式
｜ ｜＝ .
x2＋y2　
　
【例2】　（1）已知向量a＝（1，0），b＝（2，2），则｜a－2b｜＝
（　D　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 由题知向量a＝（1，0），b＝（2，2），所以a－2b＝（－
3，－4），所以｜a－2b｜＝ ＝5，故选D.
D
（2）已知 ， 均为单位向量，且 ＋2 ＝（1，1），则｜ ｜
＝（　C　）
A. B.
C. D.
解析： 因为 ＋2 ＝（1，1），所以（ ＋2 ）2＝ ＋
4 ＋4 · ＝2，因为向量 ， 均为单位向量，所以1＋4＋
4 · ＝2，所以 · ＝－ ，所以｜ ｜＝｜ － ｜＝
＝ ＝ .
C
【规律方法】
求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量
与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋
y2，于是有｜a｜＝ .
训练2　已知向量a＝（2，m），b＝（3，6），若｜3a＋b｜＝｜3a－
b｜，则实数m的值为（　　）
A. 1 B. －1
C. 4 D. －4
解析：　法一　已知向量a＝（2，m），b＝（3，6），则3a＋b＝
（9，3m＋6），3a－b＝（3，3m－6），由｜3a＋b｜＝｜3a－b｜可
得 ＝ ，解得m＝－1.
法二　∵｜3a＋b｜＝｜3a－b｜，∴（3a＋b）2＝（3a－b）2，即9a2
＋6a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2，∴12a·b＝0，即a·b＝0，∴2×3
＋6m＝0，m＝－1.
√
03
PART
知识点三
平面向量的夹角与垂直
问题3　你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当
夹角为 时，得到的结论是什么？
提示：若两非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，
则 cos θ＝ ＝ .当夹角为 时，x1x2＋y1y2＝0.
【知识梳理】
设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹
角.
（1） cos θ＝ ＝ ；
（2）a⊥b .
x1x2＋y1y2＝0　
（1）求a与b夹角的余弦值；
解： 因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，
｜a｜＝ ＝5，｜b｜＝ ＝ ，
设a与b的夹角为θ，所以 cos θ＝ ＝ ＝ .
（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值.
解： 因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8），
又（a－λb）⊥（2a＋b），
所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，解得λ＝ .
【例3】　（链接教材P35例11）已知a＝（4，3），b＝（－1，2）.
【规律方法】
解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由 cos θ＝ ＝ 直接求出 cos θ；
（2）注意事项：利用三角函数值 cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围
是0°≤θ≤180°.利用 cos θ＝ 判断θ的值时，要注意 cos θ＜0时，
有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°； cos θ＞0时，也有两种情况：
一是θ是锐角，二是θ为0°.
训练3　（1）已知向量a＝（1，1），2a＋b＝（4，2），则向量a与b的
夹角为（　B　）
A. B.
C. D.
解析： 由题意得b＝2a＋b－2a＝（2，0），所以a·b＝1×2＋
1×0＝2，易得｜b｜＝2，｜a｜＝ ，设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝
＝ ＝ ，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝ ，故选B.
B
（2）已知A，B，C是平面直角坐标系内的三点，若 ＝（2，1），
＝（3，－6），则△ABC的面积为（　C　）
A. 15 B. 12
C. D. 6
解析： 因为 ＝（2，1）， ＝（3，－6），所以 · ＝
2×3－6＝0，即 ⊥ ，所以S△ABC＝ ｜ ｜·｜ ｜＝ ×
× ＝ ，故选C.
C
1. 已知a＝（－4，3），b＝（5，6），则3｜a｜2－4a·b＝（　　）
A. 23 B. 57
C. 63 D. 83
解析：　3｜a｜2－4a·b＝3×[（－4）2＋32]－4×（－4×5＋3×6）
＝83.故选D.
√
2. 已知向量a＝（1，－2），b＝（m，1），若a⊥b，则b与a＋b夹角
的余弦值为（　　）
A. B.
C. D. －
解析：　因为a⊥b，所以a·b＝m－2＝0，即m＝2.所以b＝（2，
1），a＋b＝（3，－1），所以 cos ＜b，a＋b＞＝ ＝
＝ ＝ .故选A.
√
3. 设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则｜3a＋b｜
＝ .
解析：∵a∥b，∴1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝
（1，2），｜3a＋b｜＝ .
　
4. 已知点A（0，1），B（1，－2），向量 ＝（4，－1），求
· 及｜ ｜.
解：因为 ＝（1，－3），
所以 · ＝1×4＋（－3）×（－1）＝7，
＝ － ＝（4，－1）－（1，－3）＝（3，2），
所以｜ ｜＝ ＝ .
课堂小结
1.理清单
（1）平面向量数量积的坐标表示；
（2）平面向量的模与夹角（垂直）问题.
2.应体会
应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、平行、夹角及
长度等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法.
3.避易错
（1）易混淆平面向量平行与垂直的坐标表示；
（2）在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况.
课时作业
04
PART
1. 向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析：　∵a＝（1，－1），b＝（－1，2），∴2a＋b＝（1，0），
∴（2a＋b）·a＝1×1＋0×（－1）＝1.
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2. 已知向量m＝（1，1），向量n与向量m的夹角为 ，且m·n＝－
1，则｜n｜＝（　　）
A. －1 B. 1
C. 2 D. －2
解析：　 cos ＝ ＝ ＝－ ，｜n｜＝1.故选B.
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3. 已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状是
（　　）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
解析：　由题设知 ＝（8，－4）， ＝（2，4），所以 · ＝
8×2＋（－4）×4＝0，即 ⊥ .所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角
三角形.
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4. 已知向量a＝（－2，－1），b＝（1，2），若a在b上的投影向量为
c，则c·（a＋b）＝（　　）
A. － B. －
C. D.
解析：　因为a＝（－2，－1），b＝（1，2），所以a在b上的投影向
量为 · ＝ × （1，2）＝（－ ，－ ），所以c＝（－
，－ ）.因为a＋b＝（－1，1），所以c·（a＋b）＝ － ＝－ .故
选B.
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5. 〔多选〕已知向量a＝（1，3），b＝（2，－4），则下列结论正确的
是（　　）
A. （a＋b）⊥a B. ｜2a＋b｜＝
C. 向量a，b的夹角为 D. a·b＝－10
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解析： 　对于选项A，a＋b＝（3，－1），因为（a＋b）·a＝
（3，－1）·（1，3）＝3－3＝0，所以（a＋b）⊥a，故A正确；对于
选项B，易得2a＋b＝（4，2），所以｜2a＋b｜＝ ＝ ＝
2 ，故B错误；对于选项C，设向量a，b的夹角为θ（θ∈[0，π]），则
cos θ＝ ＝ ＝－ ，所以θ＝ ，即向量a，b的夹角为
，故C正确；对于选项D，a·b＝1×2＋3×（－4）＝－10，故D正确.
故选A、C、D.
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6. 〔多选〕已知向量a＝（ cos θ， sin θ），b＝（－3，4），则（　　）
A. 若a∥b，则tan θ＝－
B. 若a⊥b，则 sin θ＝
C. ｜a－b｜的最大值为6
D. 若a·（a－b）＝0，则｜a－b｜＝2
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解析： 　若a∥b，则4 cos θ＝－3 sin θ，tan θ＝－ ，A正确；若
a⊥b，则－3 cos θ＋4 sin θ＝0，tan θ＝ ，所以 sin θ＝± ，B错
误；因为｜a｜＝ ＝1，｜b｜＝ ＝
5，｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，所
以C正确；若a·（a－b）＝0，则a2＝a·b，则｜a－b｜＝
＝ ＝ ＝ ＝2 ，D
正确.故选A、C、D.
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7. 设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m
＝ .
解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要条件可
得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1.
－1　
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8. 已知a＝（2，0），b＝（1，2），实数λ满足｜a－λb｜＝ ，则λ的
值为 .
解析：由题意可得a－λb＝（2－λ，－2λ），所以｜a－λb｜＝
＝ ，解得λ＝1或λ＝－ .
1或－ 　
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9. 设点A（4，2），B（a，8），C（2，a），O为坐标原点，若四边
形OABC是平行四边形，则向量 与 的夹角为 .
解析：∵四边形OABC是平行四边形，∴ ＝ ，即（4－0，2－0）＝
（a－2，8－a），∴a＝6，∴ ＝（4，2）， ＝（2，6），设向量
与 的夹角为θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝ ，又
θ∈[0，π]，∴ 与 的夹角为 .
　
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10. 已知向量a＝（－1，2），b＝（3，－1）.
（1）求a＋2b的坐标与｜a－b｜；
解： a＋2b＝（5，0），a－b＝（－4，3），
｜a－b｜＝ ＝5.
（2）求向量a与a－b的夹角的余弦值.
解： a·（a－b）＝10，
｜a｜＝ ＝ ，
cos ＜a，a－b＞＝ ＝ ＝ .
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11. 若向量 ＝（3，－1），n＝（2，1），且n· ＝7，则n· ＝
（　　）
A. －2 B. 2
C. －2或2 D. 0
解析：　∵ ＋ ＝ ，∴n·（ ＋ ）＝n· ，即n·
＋n· ＝n· ，∴n· ＝n· －n· ＝7－5＝2.
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12. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 · 的取值范
围是（　　）
A. （－2，6） B. （－6，2）
C. （－2，4） D. （－4，6）
解析：　连接AE，以A为坐标原点，AB所在直线为x
轴，AE所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标
系，则A（0，0），B（2，0），设P（x0，y0），则－1
＜x0＜3. ＝（2，0）， ＝（x0，y0），则 ·
＝2x0∈（－2，6）.故选A.
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13. 已知O为坐标原点，向量 ＝（2，2）， ＝（4，1），在x轴上
有一点P使得 · 有最小值，则点P的坐标为 .
解析：设点P的坐标为（x，0），则 ＝（x－2，－2）， ＝（x－
4，－1）.所以 · ＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－
6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时， · 有最小值1.此时点P的
坐标为（3，0）.
（3，0）　
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14. 已知向量a＝（2，0），b＝（ ， ）.
（1）若（a＋b）⊥（a－λb），求实数λ的值；
解：因为（a＋b）⊥（a－λb），所以（a＋b）·（a－λb）＝0.
因为a＝（2，0），b＝（ ， ），所以a＋b＝（ ， ），a－λb＝
（2－ λ，－ λ），所以（a＋b）·（a－λb）＝7－6λ＝0，解得λ＝ .
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（2）若ka＋b与2a－b的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
解：由已知可得（ka＋b）·（2a－b）＜0，且ka＋b与2a－b不
共线，易得ka＋b＝（2k＋ ， ），2a－b＝（ ，－ ），
由（ka＋b）·（2a－b）＜0，可得（2k＋ ）× ＋ ×（－ ）＜
0，解得k＜－ .若ka＋b与2a－b共线，则（2k＋ ）×（－ ）＝ × ，解得k＝－2，所以由ka＋b与2a－b不共线可得k≠－2，所以k的取值范围为{k｜k＜－ 且k≠－2}.
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15. 在平面直角坐标系xOy中，给定A（x1，y1），B（x2，y2），假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示.
（1）你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？
解：如图所示，
记t＝OA，a＝ （－y1，x1），则容易验证，a是与
垂直的单位向量.
过B作BD⊥OA于点D. 因为a为单位向量，所以由向量
数量积的几何意义可知BD＝｜a· ｜，
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因此，△OAB的面积为
S△OAB＝ AO×BD＝ AO×｜a· ｜
＝ t×｜ （－y1，x1）·（x2，y2）｜
＝ ｜（－y1，x1）·（x2，y2）｜
＝ ｜x1y2－x2y1｜.
所以S△OAB＝ ｜x1y2－x2y1｜.
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（2）以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积用A，B的坐标怎样
表示？
解：由于以OA，OB为邻边的平行四边形OACB被
AB分为两个全等的三角形，所以S OACB＝｜x1y2－
x2y1｜.
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