6.4.1　平面几何中的向量方法

(共45张PPT)
6.4.1　平面几何中的向量方法
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题（数学建模）.
2.体会向量在解决几何问题中的作用（数学运算、逻辑推理）.
课标要求
　　向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结
合，因而向量是几何研究的一个有效工具.
情景导入
知识点一　利用向量证明平面几何问题
01
知识点二　利用平面向量求几何中的长度
02
知识点三　利用平面向量求几何中的角度
03
目录
课时作业
04
知识点一
利用向量证明平面几何问题
01
PART
【例1】　（链接教材P38例1）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别
是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：法一　设 ＝a， ＝b，
则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0.
又 ＝ ＋ ＝－a＋ ， ＝ ＋ ＝b＋ ，
所以 · ＝（b＋ ）·（－a＋ ）
＝－ － a·b＋ ＝－ ｜a｜2＋ ｜b｜2＝0.
故 ⊥ ，即AF⊥DE.
法二　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），
E（1，0），F（2，1），
则 ＝（2，1）， ＝（1，－2）.
因为 · ＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，
所以 ⊥ ，即AF⊥DE.
【规律方法】
利用向量证明平面几何问题的方法
（1）基底法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知其模或夹角），
将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算或性质解决；
（2）坐标法：建立适当的平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何
问题中的长度、平行、垂直等问题转化为代数运算.一般地，坐标易表示
或易建立坐标系的题目选用坐标法.
训练1　如图，在平行四边形ABCD中，M为线段DC的中点，N为线段
AC的中点，点T在线段AM上，且AT＝3TM. 求证：NT∥BM.
证明：设 ＝a， ＝b，
则 ＝ ＋ ＝－ a＋b，
＝ ＋ ＝－ ＋ .
而 ＝a＋b， ＝ ＋ ＝ a＋b，
所以 ＝－ （a＋b）＋ （ a＋b）＝－ a＋ b，
所以 ＝4 .所以NT∥BM.
知识点二
利用平面向量求几何中的长度
02
PART
【例2】　（链接教材P39例2）在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝
2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
解：设 ＝a， ＝b，则 ＝a－b， ＝a＋b，
∵｜ ｜＝｜a－b｜＝ ＝ ＝
＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝ ，
又｜ ｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2
＝1＋4＋2a·b＝6，
∴｜ ｜＝ ，即AC＝ .
【规律方法】
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点
选择基底，向向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解；二是建立坐标
系，确定相应向量的坐标，代入公式｜a｜＝ 求解.
训练2　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且
⊥ ，则｜ ｜＝（　　）
A. B. 2
C. 3 D. 2
√
解析：　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD
所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
设｜ ｜＝a（a＞0），则A（0，0），C（4，
a），D（0，a），E（2，0），所以 ＝（2，－
a）， ＝（4，a）.因为 ⊥ ，所以 ·
＝0，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8，所以a＝2 ，所以 ＝（2，－2 ），所以｜ ｜＝ ＝2 .
03
PART
知识点三
利用平面向量求几何中的角度
【例3】　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线
段BC上，且BD＝ DC.
求：（1）AD的长；
解：设 ＝a， ＝b，则 ＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ a＋ b，
∴｜ ｜2＝ ＝（ a＋ b）2＝ a2＋2× a·b＋ b2
＝ ×9＋2× ×3×3× cos 120°＋ ×9＝3，∴AD＝ .
（2）∠DAC的大小.
解： 设∠DAC＝θ（0°＜θ＜120°），
则θ为 与 的夹角，
∴ cos θ＝ ＝
＝ ＝ ＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
【规律方法】
平面几何中夹角问题的求解策略
利用平面向量解决几何中的夹角问题时，本质是将平面图形中的角视为两
个向量的夹角，借助夹角公式进行求解，这类问题也有两种方法，一是利
用基底法，二是利用坐标运算.在求解过程中，务必注意向量的方向.
训练3　在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中
点，则 cos ∠BDC＝（　　）
A. － B.
解析：　如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x
轴、y轴建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，8），
C（6，0），D（3，4），∴ ＝（－3，－4）， ＝
（3，－4）.又∠BDC为 ， 的夹角，∴ cos ∠BDC＝
＝ ＝ .故选B.
C. 0 D.
√
1. 在△ABC中，若｜ ｜＝｜ ＋ ｜，则△ABC为（　　）
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 直角三角形
解析：　由题意得，｜ ｜＝｜ ＋ ｜ ｜ － ｜＝｜ ＋
｜，故 －2 · ＋ ＝ ＋2 · ＋ ，则
· ＝0，故 ⊥ ，即△ABC为直角三角形.故选D.
√
2. 在四边形ABCD中，若 ＋ ＝0， · ＝0，则四边形ABCD为
（　　）
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 等腰梯形 D. 菱形
解析：　由 ＋ ＝0，得 ＝－ ＝ ，∴四边形ABCD为平行
四边形；由 · ＝0知，平行四边形ABCD对角线互相垂直，故四边
形ABCD为菱形.
√
3. 在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足
＝ ＋ （ ＋ ），则｜ ｜＝ 　　.
1
解析：∵ ＝ ＋ （ ＋ ），∴ － ＝ （ ＋ ），
＝ （ ＋ ），∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线，∴｜ ｜＝1.
4. 已知长方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一
点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED＝45°.
解：如图，建立平面直角坐标系，则E（1，0），D
（2，3），
设P（0，b）（0≤b≤3），
则 ＝（1，3）， ＝（－1，b），
∴ cos ∠PED＝ ＝ ＝ .
整理得2b2－3b－2＝0，
解得b＝2，b＝－ （舍去），
∴当点P为OA上靠近点A的三等分点时，∠PED＝45°.
课堂小结
1.理清单
（1）利用向量证明平面几何问题；
（2）利用平面向量求几何中的长度、角度问题.
2.应体会
用向量解决平面几何问题时，先把有关问题转化为向量问题，再通过向
量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后把运算结果“翻译”成几
何关系，体现了转化与化归的思想方法.
3.避易错
不能将几何问题转化为向量问题.
课时作业
04
PART
1. 在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则BC边
上的中线AD的长是（　　）
A. 2 B.
解析：　∵B（7，5），C（－4，7），∴线段BC的中点D的坐标为
（ ，6），则 ＝（－ ，5），∴｜ ｜＝ ＝ .
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√
C. 3 D.
2. 在△ABC中，若（ ＋ ）·（ － ）＝0，则△ABC（　　）
A. 是正三角形 B. 是直角三角形
C. 是等腰三角形 D. 形状无法确定
解析：　（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝0，即｜ ｜
＝｜ ｜，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形.
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3. 正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则 cos
∠DOE＝（　　）
A. B.
解析：以O为原点，分别以OA，OC所在直线为x轴、
y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知， ＝
（1， ）， ＝（ ，1），故 cos ∠DOE＝ ＝ ＝ .
√
C. D.
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4. 已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且3 ＋4 ＝－5 ，则
∠ACB的大小为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由题意知∠ACB＝ ∠AOB，设☉O的半径为r，3 ＋4
＝－5 两边平方得9r2＋16r2＋24 · ＝25r2，得 · ＝0，所
以∠AOB＝ ，故∠ACB＝ .
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5. 在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足 ＋2 ＝0，若 · ＝
，则BC的长为（　　）
A. 1 B.
√
C. 2 D. 3
解析：取BC的中点O，连接AO，如图所示.∵ ＋
2 ＝0，即 ＝2 ，∴M为BC边上靠近C的三等分
点，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴ · ＝0，又
＝ ，∴ · ＝ ·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＝ · ＝ ｜ ｜2＝ ，解得｜ ｜＝2，即BC＝2.
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6. 〔多选〕如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝ ，
＝2 ，延长DP交BC于点M，则（　　）
A. ＝ － B. ＝4
C. · ＝1 D. · ＝
√
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解析： 依题意，因为在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，
∠BAD＝ ， ＝2 ，所以 ＝ ＝ ＝2，即M为BC的中点，所
以 ＝ ＝ （ ＋ ）＝ － ，故A正确；因为 ，
不共线，所以 ＝4 错误，故B错误； · ＝2×1× cos ＝1，
故C正确； · ＝（ － ）·（ ＋ ）＝ ＋
· － ＝ ，故D正确.故选A、C、D.
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7. 在四边形ABCD中，若 · ＝0，且 ＝ ，则四边形ABCD的
形状是 .
解析：由 · ＝0，可得 ⊥ ，即AB⊥BC，又由 ＝ ，可
得AB＝DC且AB∥DC，所以四边形ABCD为矩形.
矩形　
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8. 已知G为△ABC的重心，且 ＝λ（ ＋ ），则λ＝ .
解析：如图所示，取BC中点M，连接AM，则 ＋
＝2 ，又因为G为△ABC的重心，故 ＝
，因此 ＝ （ ＋ ），故λ＝ .
　
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9. 已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝ .
解析：建立平面直角坐标系，如图所示.设AD＝t（t＞
0），则A（0，0），C（1，t），B（2，0），则 ＝
（1，t）， ＝（－1，t）.由AC⊥BC知 · ＝
－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1.
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10. 如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M
使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线.
证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，
∴ ＝ ＋ .∴ ＝ － ＝ .
同理可证明 ＝ － ＝ .
∴ ＝－ ，∴ ， 共线.
又 与 有公共点A，
∴M，A，N三点共线.
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11. 在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则
＝（　　）
A. 2 B. 4
解析：将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则 ＝
＝ ＝ ＝ －6＝42－6＝10.
C. 5 D. 10
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12. 在△ABC中，设 － ＝2 · ，那么动点M形成的图形必
经过△ABC的（　　）
A. 垂心 B. 内心
C. 外心 D. 重心
解析：　假设BC的中点是O，则 － ＝（ ＋ ）·（ －
）＝2 · ＝2 · ，即（ － ）· ＝ · ＝
0，所以 ⊥ ，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M
形成的图形必经过△ABC的外心.
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13. 若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3 － － ＝0，则
△ABM与△ABC的面积之比为 .
解析：如图，设D为BC边的中点，则 ＝ （ ＋ ）.
因为3 － － ＝0.所以3 ＝ ＋ ＝2 ，所
以 ＝ ，所以S△ABM＝ S△ABD＝ S△ABC，所以△ABM
与△ABC的面积之比为1∶3.
1∶3　
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解：若t＝ ，则 ＝ ，即D为BC的中点，
所以 ＝ （ ＋ ），因为∠BAC＝ ，AC＝2，AB＝4，
所以｜ ｜＝
＝ ＝ .
14. 在△ABC中，AC＝2，AB＝4，点D在边BC上，且 ＝t
（t∈R）.
（1）若t＝ ，∠BAC＝ ，求｜ ｜；
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（2）若t＝ ，AD恰为BC边上的高，求∠BAC.
解：若t＝ ，则 ＝ ＝ （ － ），
因为AD恰为BC边上的高，所以 ⊥ ，
因为 ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ， ＝ －
，所以 · ＝（ ＋ ）·（ － ）
＝ － · － ＝ ×22－ ×2×4× cos ∠BAC－ ×42＝0，
所以 cos ∠BAC＝0，则∠BAC＝ .
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15. 如图，AB为半圆O的直径，｜AB｜＝2，C为 上一点（不含端点）.
（1）用向量的方法证明AC⊥BC；
解：证明：建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意可知｜OB｜＝1，
法一　设∠COB＝α，则α∈（0，π），
A（－1，0），B（1，0），C（ cos α， sin α），则有 ＝（ cos α＋
1， sin α）， ＝（ cos α－1， sin α），
所以 · ＝ cos 2α－1＋ sin 2α＝1－1＝0，故 ⊥ ，即AC⊥BC.
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解：由题意得∠COB＝ ，则C（ ， ），连接QO，设∠QOB＝β，
则β∈（ ，π），Q（ cos β， sin β）.
由（1）得 ＝ － ＝（ ，－ ）， ＝（－1－ cos β，－ sin
β），所以 · ＝－ － cos β＋ sin β＝ sin （β－ ）－ ，
由β∈（ ，π），得β－ ∈（ ， ），当β－ ＝ ，即β＝ 时，
（ · ）max＝ ，所以 · 的最大值为 .
（2）若C是 上更靠近点B的三等分点，Q为 上的任意一点（不含端
点），求 · 的最大值.
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