6.4.2　向量在物理中的应用举例

(共46张PPT)
6.4.2　向量在物理中的应用举例
1.会用向量方法解决简单的物理问题（数学建模）.
2.体会向量在解决物理和实际问题中的作用（数学运算、逻辑推理）.
课标要求
　　在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力.在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力.
情景导入
知识点一　利用向量解决力与做功问题
01
知识点二　利用向量解决速度、位移问题
02
目录
课时作业
03
知识点一
利用向量解决力与做功问题
01
PART
【例1】　（链接教材P40例3）设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于
平衡状态，若｜F1｜＝1，｜F2｜＝2，且F1与F2的夹角为 ，如图所示.
（1）求F3的大小；
解： 由题意知，｜F3｜＝｜F1＋F2｜，
因为｜F1｜＝1，｜F2｜＝2，且F1与F2的夹角为 ，
所以｜F3｜＝｜F1＋F2｜＝ ＝ .
（2）求F2与F3的夹角.
解： ）设F2与F3的夹角为θ，
因为F3＝－（F1＋F2），
所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，
所以 ×2× cos θ＝－1×2×（－ ）－4＝－3，
所以 cos θ＝－ ，所以θ＝ .
【规律方法】
用向量方法解决物理问题的四个步骤
训练1　如图所示，一个物体O受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作
用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中F1的大小为2 N，方向为北偏东
30°，F2的大小为4 N，方向为北偏东60°，F3的大小为6 N，方向为北偏
西30°，求合力F所做的功.
解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向
为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，
则F1＝（1， ），F2＝（2 ，2），F3＝（－3，
3 ），
所以F＝F1＋F2＋F3＝（2 －2，2＋4 ）.
由题意得位移s＝（4 ，4 ），
故F·s＝（2 －2）×4 ＋（2＋4 ）×4 ＝6 ×4 ＝24 .
所以合力F所做的功为24 J.
知识点二
利用向量解决速度、位移问题
02
PART
【例2】　（链接教材P41例4）奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规
定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风力方向为北偏东
30°，在风力作用下的速度v1的大小为｜v1｜＝20 km/h，此时水的流向是
正东，流速v2的大小为｜v2｜＝20 km/h，若不考虑其他因素，求帆船行驶
的速度大小与方向.
解：如图所示，建立平面直角坐标系（x轴的正方向为
东，y轴的正方向为北）.
风力的方向为北偏东30°，帆船在风力作用下的速度大
小为｜v1｜＝20 km/h，水流的方向为正东，速度大小
为｜v2｜＝20 km/h.
设帆船行驶的速度为v，v与x轴的夹角为α，则v＝v1＋v2.
由题意可得向量v1＝（20 cos 60°，20 sin 60°）＝
（10，10 ），向量v2＝（20，0），
则帆船行驶的速度v＝v1＋v2＝（10，10 ）＋（20，
0）＝（30，10 ），
所以｜v｜＝ ＝20 （km/h），tan α＝ ＝ .
因为α为锐角，所以α＝30°.所以帆船向北偏东60°方向行驶，速度大小为20 km/h.
【规律方法】
利用向量法解决物理问题的两种思路
（1）几何法：选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向
量运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代
数运算.
训练2　（1）一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎
物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子冲向猎物的速度大小是40
m/s，则鹰的飞行速度的大小为 m/s；
解析： 如图，设鹰在地面上的影子冲向猎物的速度
＝v1，鹰的飞行速度 ＝v2，由题可知｜ ｜
＝｜v1｜＝40，且∠CAB＝30°，则｜ ｜＝｜v2｜＝
＝ .
　
（2）某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，
则此人的位移的大小是 m，方向是北偏东 .
解析： 如图所示，此人的位移是 ＝ ＋ ，且
⊥ ，则｜ ｜＝ ＝60（m），
tan∠BOA＝ ＝ ，所以∠BOA＝60°.所以 的方向
为北偏东30°.
60　
30°　
1. 如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程
为s，位移为a，则（　　 ）
A. s＞｜a｜ B. s＜｜a｜
C. s＝｜a｜ D. s与｜a｜不能比大小
解析：　s＝200＋300＝500（km），｜a｜＝ ＝100
（km），∴s＞｜a｜.故选A.
√
2. 物体在力F的作用下，由点A（10，5）移动到点B（4，0），已知F＝
（4，－5），力F对该物体所做功的大小为（　　）
A. B. 1
C. 2 D. 3
解析：　由题意得 ＝（－6，－5），所以F对物体做的功W＝
F· ＝（4，－5）·（－6，－5）＝4×（－6）＋（－5）×（－
5）＝1.
√
3. 用两条等长的绳子悬挂一个灯具，绳子成120°角，已知灯具的重力为
10 N，则每根绳子的拉力大小为 　　N.
10
解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，
｜ ｜＝10，则｜ ｜＝｜ ｜＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
4. 河水自西向东流动的速度的大小为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航
行，小船在静水中的速度的大小为10 km/h，求小船的实际航行速度.
解：设a，b分别表示水流速度和小船在静水中的速度，过平
面内一点O作 ＝a， ＝b，
以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图，
则 ＝a＋b，且 即为小船的实际航行速度.
所以｜ ｜＝ ＝ ＝20（km/h）.
因为tan∠AOC＝ ＝ ，所以∠AOC＝60°.
所以小船的实际航行速度大小为20 km/h，按北偏东30°的方向航行.
课堂小结
1.理清单
（1）利用向量解决力与做功问题；
（2）利用向量解决速度、位移问题.
2.应体会
用向量解决物理问题时，先建立以向量为载体的数学模型，再通过向量
的线性运算或数量积运算解决该问题，最后一定要回归到所研究问题
上，体现了转化与化归的思想方法.
3.避易错
不能将物理问题转化为向量问题.
课时作业
03
PART
1. 人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则人的实际速度为（　　）
A. v1－v2 B. v2－v1
C. v1＋v2 D. ｜v1｜－｜v2｜
解析：　速度是既有大小又有方向的量，所以人的实际速度v＝v1＋v2.
故选C.
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2. 共点力F1＝（lg 2，lg 2），F2＝（lg 5，lg 2）作用在物体M上，产生
位移s＝（2lg 5，1），则共点力对物体做的功W为（　　）
A. lg 2 B. lg 5
C. 1 D. 2
解析：　因为F1＋F2＝（1，2lg 2），所以W＝（F1＋F2）·s＝（1，
2lg 2）·（2lg 5，1）＝2lg 5＋2lg 2＝2.
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3. 平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，｜F1｜＝1
N，｜F2｜＝ N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为（　　）
A. N B. 5 N
C. N D. N
解析：　由题意得F3＝－（F1＋F2），所以｜F3｜＝｜－（F1＋
F2）｜＝ ＝ ＝ ＝ （N）.
故选C.
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4. 质点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝（4，－3）（即点P的
运动方向与v相同，且每秒移动的距离为｜v｜个单位）.设开始时点P的
坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（　　）
A. （－2，4） B. （－30，25）
C. （10，－5） D. （5，－10）
解析：　设（－10，10）为A，5秒后P点的坐标为A1（x，y），则
＝（x＋10，y－10），由题意得 ＝5v，即（x＋10，y－10）＝
（20，－15），所以 解得
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5. 〔多选〕河水自西向东流动的速度大小为10 km/h，小船自南岸A点出
发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它实际速度的大小为10 km/h，
则该小船行驶的方向和静水速度的大小分别为（　　）
A. 北偏西60° B. 北偏西30°
C. 20 km/h D. 20 km/h
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解析： 　如图所示，设水流速度为 ，小船行驶的静
水速度为 ，实际速度为 ，则四边形ACBD是平行四
边形，∠BAC＝90°，｜ ｜＝10 ，｜ ｜＝｜
｜＝10，∴tan∠BAD＝ ＝ ，∴∠BAD＝
30°，｜ ｜＝ ＝20（km/h），
方向为北偏西30°.
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6. 〔多选〕一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力
F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（　　）
A. 当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N
B. 当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0
C. 当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N
D. 当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N
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解析： 　对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝
＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜
＝5 N时，物体所受合力大小为 ＝2 （N），选项B错
误；对于C，当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝｜－G｜＝4 （N），选项
C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜
＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确.
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7. 河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对
岸，则小船在静水中的速度大小为 m/s.
解析：由题意知｜v水｜＝2 m/s，｜v船｜＝10 m/s，作出示意
图如图.∴｜v｜＝ ＝ ＝2 （m/s）.
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8. 三纤夫用牵绳拉船，船的航行方向由M（2，1）至N（5，－3），若三
纤夫所用力分别为F1＝（1，4），F2＝（3，－2），F3＝（0，4），则三
纤夫对船所做的功为 .
解析：因为F1＝（1，4），F2＝（3，－2），F3＝（0，4），所以F＝
F1＋F2＋F3＝（1，4）＋（3，－2）＋（0，4）＝（4，6），因为船的航
行方向由M（2，1）至N（5，－3），所以 ＝（5，－3）－（2，1）
＝（3，－4），所以F· ＝4×3＋6×（－4）＝－12.
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9. 有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡
河，快艇航行速度的大小为2 m/s，方向为北偏西30°，河水的速度为向东
1 m/s，经过20 s到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正
南，从北岸出发返回南岸的时间是 　 　s.
解析：如图所示，由题意知，｜ ｜＝2 m/s，｜ ｜
＝1 m/s，所以｜ ｜＝ ＝ （m/s），所以
南北两岸的距离为 ×20＝20 （m）；现快艇从北岸
返回，速度大小不变，方向为正南，所以时间为20
÷2＝10 （s），即从北岸出发返回南岸的时间是10 s.　
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10. 已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由
点A（20，15）移动到点B（7，0）.
（1）求力F1，F2分别对质点所做的功；
解： ＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15），
力F1对质点所做的功 W1＝F1· ＝（3，4）·（－13，－15）
＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（J），
力F2对质点所做的功 W2＝F2· ＝（6，－5）·（－13，－15）
＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（J）.
所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
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（2）求力F1，F2的合力F对质点所做的功.
解：合力F对质点所做的功
W＝F· ＝（F1＋F2）·
＝[（3，4）＋（6，－5）]·（－13，－15）＝（9，－1）·（－13，－
15）＝9×（－13）＋（－1）×（－15）
＝－117＋15＝－102（J）.
所以合力F对质点所做的功为－102 J.
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11. 在日常生活中，我们会看到两个人共提一个旅行包.当两人提着质量为
G的旅行包时，夹角为θ，两人拉力的大小都为｜F｜，若｜F｜＝ ｜
G｜，则θ的值为（　　）
A. 30° B. 60°
解析：　设两人用力分别为F1，F2，则｜F1｜＝｜F2｜＝｜F｜，｜F1
＋F2｜＝｜G｜，∴ ＋ ＋2F1·F2＝G2，又｜F｜＝ ｜G｜，
∴2｜F｜2＋2｜F｜2 cos θ＝3｜F｜2，解得 cos θ＝ ，∴θ＝60°.
C. 90° D. 120°
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12. 〔多选〕如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的阻
力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（　　）
A. 绳子的拉力不断增大 B. 绳子的拉力不断变小
C. 船的浮力不断变小 D. 船的浮力保持不变
解析：　设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ（0＜θ
＜ ）.则｜F｜ cos θ＝｜f｜，所以｜F｜＝ .因为θ增大， cos θ减
小，所以｜F｜增大.因为｜F｜ sin θ增大，且｜F｜ sin θ加上浮力等于
船的重力，所以船的浮力减小.
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13. 〔多选〕长江某处的南北两岸平行，江面宽度为2 km，一艘船从江南
岸边的A处出发到江北岸.如图，船在静水中的速度v1的大小为｜v1｜＝10
km/h，水流方向自西向东，且速度v2的大小为｜v2｜＝6 km/h.设v1与v2的
夹角为θ（0＜θ＜π），北岸的点A'在A的正北方向，则（　　）
A. 当船的航行距离最短时， cos θ＝－
B. 当船的航行时间最短时，θ＝
C. 当θ＝ 时，船航行到达北岸的位置在A'的左侧
D. 当θ＝ 时，船的航行距离为 km
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解析：对于A，当船的航行距离最短时，v1＋v2的方向与河岸垂直，
从而 cos θ＝－ cos （π－θ）＝－ ＝－ ＝－ ，故A错误；对于B，
船的航行时间t＝ ＝ （h），若要船的航行时间最短，则 sin
θ最大，即当且仅当θ＝ 时，船的航行时间最短，故B正确；对于C，当θ
＝ 时，船水平方向的速度大小为｜｜v1｜ cos （π－ π）－｜v2｜｜＝1
（km/h），方向水平向右，故最终到达北岸时船在点A'的右侧，故C错误；
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对于D，由题意设位移分量为s1＝v1t，s2＝v2t，位移为s，则s＝s1＋s2＝
（v1＋v2）t，其中t＝ ＝ ＝ ，所以｜s｜＝｜v1＋v2｜
t＝ t＝ × ＝
（km），故D正确.故选B、D.
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14. 如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
（1）判断｜F1｜，｜F2｜随角θ的变化而变化的情况；
解：如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法
则，得－G＝F1＋F2，｜F1｜＝ ，
｜F2｜＝｜G｜tan θ，当θ从0趋向于 时，｜F1｜，｜F2｜都逐渐增大.
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（2）当｜F1｜≤2｜G｜时，求角θ的取值范围.
解：由｜F1｜＝ ，｜F1｜≤2｜G｜，
得 cos θ≥ .
又0≤θ＜ ，所以0≤θ≤ ，
故角θ的取值范围为［0， ］.
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15. 如图，已知某河流河水自西向东流，流速大小为｜v0｜＝1 m/s，设某
人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.
（1）若此人朝正南方向游去，且｜v1｜＝ m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
解：如图1，设 ＝v0， ＝v1， ＝v2，
则由题意知v2＝v0＋v1，｜ ｜＝1 m/s，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.
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（1）由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，
且｜ ｜＝｜ ｜＝ m/s，如图2所示，
则在Rt△OAC中，｜v2｜＝｜ ｜＝
＝2（m/s）.
因为tan∠AOC＝ ＝ ，且α＝∠AOC∈（0， ），
所以α＝ .
故他实际前进方向与水流方向的夹角α为 ，v2的大小为2 m/s.
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（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且｜v2｜＝ m/s，求他游泳的方
向与水流方向的夹角β和v1的大小.
解：由题意知α＝∠AOC＝∠OCB＝ ，且｜v2｜＝｜
｜＝ m/s，｜ ｜＝1 m/s，如图3所示，则在
Rt△OBC中，｜v1｜＝｜ ｜＝
＝2（m/s）. 因为tan∠BOC＝ ＝ ，∠BOC∈（0， ），
所以∠BOC＝ ，则β＝∠BOA＝ ＋ ＝ .
故他游泳的方向与水流方向的夹角β为 ，v1的大小为2 m/s.
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