6.4.3第二课时　正弦定理

(共59张PPT)
第二课时　正弦定理
知识点一　正弦定理的推导
01
知识点二　已知两角及一边解三角形
02
提能点　判断三角形的形状
04
目录
课时作业
05
知识点三　已知两边及一边的对角解三角形
03
知识点一
正弦定理的推导
01
PART
问题　（1）如图，在Rt△ABC中，C＝90°，边a，b，c与角A，B的关
系是什么？
提示： sin A＝ ， sin B＝ ，可以变形写成c＝ ＝ ，又 sin C＝1，
则上式可写成 ＝ ＝ .
（2）在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？你能用向量的
方法证明吗？
提示：成立.
①如图，在锐角△ABC中，过点A作与 垂直的单位向
量j，则j与 的夹角为 －A，j与 的夹角为 －C.
因为 ＋ ＝ ，所以j·（ ＋ ）＝j· .
由分配律，得j· ＋j· ＝j· ，即｜j｜｜ ｜· cos ＋｜
j｜｜ ｜ cos （ －C）＝｜j｜｜ ｜ cos （ －A），
②当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角（如图所示），
过点A作与 垂直的单位向量j，则j与 的夹角为A－ ，j与 的夹
角为 －C，
仿照上述方法，同样可得 ＝ ＝ .
也即a sin C＝c sin A，所以 ＝ .同理，过点C作与 垂直的单位向量m，可得 ＝ .因此 ＝ ＝ .
（3）在△ABC中， ＝ ＝ ，那么这个比值有什么特殊的含义吗？
提示：观察图，
无论怎么移动B'，都会有角B'＝B，
所以在△AB'C中， ＝ ＝c，c是Rt△ABC，△AB'C外接圆的直径，
所以对任意△ABC，均有 ＝ ＝ ＝2R（R为△ABC外接圆的半径）.
【知识梳理】
1. 正弦定理的表示
（1）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相
等，该比值为该三角形外接圆的直径；
（2）符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则 ＝ 　 　＝ 　 　＝2R（R为△ABC的外接圆的半径）.
正弦　
　
　
2. 正弦定理的变形形式
设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下
变形：
（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝ ；
（2） sin A＝ ， sin B＝ 　 　， sin C＝ ；
（3）a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C；
（4） ＝ ＝ ＝ ＝2R；
（5）a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A.
2R sin C　
　
知识点二
已知两角及一边解三角形
02
PART
【例1】　（链接教材P47例7）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知a＝2 ，A＝30°，B＝45°，解三角形.
解：因为 ＝ ＝ ，所以b＝ ＝ ＝ ＝4；因
为C＝180°－（A＋B）＝180°－（30°＋45°）＝105°，所以c＝
＝ ＝ ＝2＋2 .
【规律方法】
已知两角及一边解三角形的一般步骤
训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝
，C＝ ，a＝5，则此三角形的最大边长为 　5 　.
解析：∵B＝ ，C＝ ，∴A＝ ，∴B所对的边最大，∵ ＝ ，
∴b＝ ＝ ＝5 .
5 　
知识点三
已知两边及一边的对角解三角形
03
PART
【例2】　（链接教材P47例8）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，解此三角形.
解：由正弦定理 ＝ ，知 sin A＝ ＝ ，
∵b＜a，∴A＝60°或120°，
当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝ ＝ ＝ ；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，
∴c＝ ＝ ＝ .
故当A＝60°时，C＝75°，c＝ ；
当A＝120°时，C＝15°，c＝ .
变式　若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三
角形.
解：由正弦定理 ＝ ，知 sin B＝ ＝ ，
∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，
∴c＝ ＝ ＝ .
【规律方法】
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
训练2　在△ABC中，已知A＝ ，a＝ ，b＝1，则c的值为（　　）
A. 1 B. 2
C. －1 D.
解析：　由 ＝ 及已知可得 ＝ ，∴ sin B＝ ，由a＞b，
得A＞B，又A＝ ，∴B∈（0， ），∴B＝ .故C＝π－ － ＝ ，由
勾股定理得c＝ ＝2.
√
04
PART
提能点
判断三角形的形状
【例3】　在△ABC中，若 ＝2 cos A，则此三角形为（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
解析：　由 ＝2 cos A可得 sin B＝2 sin C cos A，易知 sin B＝ sin （A＋
C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C，所以2 sin C cos A＝ sin A cos C＋ cos A sin
C sin （C－A）＝0，由于C，A为△ABC的内角，故C＝A，故△ABC
为等腰三角形.故选B.
√
【规律方法】
利用正弦定理判断三角形形状的方法
（1）化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据
三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
（2）化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据
代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进而确定三角形的
形状.
训练3　已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若
＝ ＝ ，则△ABC是（　　）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 有一个内角是30°的直角三角形
解析：　已知 ＝ ＝ ，由正弦定理可得 cos A＝ sin A， cos B
＝ sin B，故A＝B＝ ，C＝ ，则△ABC是等腰直角三角形.故选C.
√
三角形解的个数判断
通过教材P47例8我们知道，已知三角形的两边和其中一边的对角，可求其
他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一
确定.那么怎样判断解的个数呢？
具体方法如下：
（1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨
设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A
＜B，由正弦定理得 sin B＝ ，① sin B＞1，即a＜b sin A，无解；②
sin B＝1，即a＝b sin A，一解；③ sin B＜1，即b sin A＜a＜b，两解.
（2）几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为
半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个
数，见下表：
分类 图形 关系式 解的个数
A为锐角 a＜b sin A 无解
a＝b sin A 一解
分类 图形 关系式 解的个数
A为锐角 b sin A＜a＜b 两解
a≥b 一解
A为钝角或直角 a＞b 一解
a≤b 无解
【典例】　不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A，
B，C的对边分别为a，b，c）：
（1）a＝5，b＝4，A＝120°；
解： sin B＝ sin 120°＝ × ＜ ，所以三角形有一解.
（2）a＝9，b＝10，A＝60°；
解： sin B＝ sin 60°＝ × ＝ ，而 ＜ ＜1.
所以当B为锐角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是60°＜B＜90°.
满足A＋B＜180°；
当B为钝角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也
满足A＋B＜180°.故三角形有两解.
（3）b＝72，c＝50，C＝135°.
解： sin B＝ ＝ sin C＞ sin C＝ .
所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解.
【迁移应用】
1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正
确的是（　　）
A. B＝30°，c＝4，b＝5，有两解
B. B＝30°，c＝4，b＝3.9，有一解
C. B＝30°，c＝4，b＝3，有一解
D. B＝30°，c＝4，b＝1，无解
√
解析：　选项A，因为b＝5＞c＝4，所以B＝30°＞C，△ABC只有一
解，故A错误；选项B，因为c sin 30°＝2＜b＝3.9＜c＝4，所以△ABC
有两解，故B错误；选项C，因为c sin 30°＝2＜b＝3＜c＝4，所以△ABC
有两解，故C错误；选项D，因为b＝1＜c sin 30°＝2，所以△ABC无解，
故D正确.故选D.
2. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝
2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　）
A. x＞2 B. x＜2
C. 2＜x＜2 D. 2＜x＜2
解析：　由题意知a＞b，则x＞2，又由 sin A＝ ＝ ＜1，可得x
＜2 ，∴x的取值范围是2＜x＜2 .故选C.
√
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的
是（　　）
A. a∶b＝A∶B
B. a∶b＝ sin A∶ sin B
C. a∶b＝ sin B∶ sin A
D. a sin A＝b sin B
解析：　由正弦定理 ＝ 可得a∶b＝ sin A∶ sin B，可知B正确.
√
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4 ，b＝
4 ，B＝45°，则A＝（　　）
A. 60° B. 120°
C. 60°或120° D. 以上答案都不对
解析：　由正弦定理 ＝ ，得 sin A＝ ＝ .∵a＞b，∴A＞
B，∴A＝60°或120°.
√
3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，A＝
45°，B＝30°，则b的值及△ABC外接圆的半径分别为（　　）
A. ，2 B. ，
C. 2 ， D. 2 ，2
解析：　由正弦定理可得b＝ ＝ ＝ .设△ABC的外接圆的半径
为R，则由正弦定理可得2R＝ ＝ ＝2 ，所以R＝ .故选B.
√
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6 ，c
＝6，C＝30°，求a.
解：由正弦定理，得 ＝ ，得 sin B＝ ＝ .
因为b＞c，所以B＞C＝30°，所以B＝60°或B＝120°.
当B＝60°时，A＝90°，a＝ ＝ ＝12；
当B＝120°时，A＝30°，a＝ ＝ ＝6.
所以a＝6或a＝12.
课堂小结
1.理清单
（1）正弦定理及变形形式；
（2）利用正弦定理解三角形；
（3）应用正弦定理判断三角形的形状.
2.应体会
在解三角形的过程中，正弦定理及公式变形实现边角互化，体现了转化与化归、数形结合的思想方法.
3.避易错
已知两边及其中一边对角解三角形时一般要分类讨论.
课时作业
05
PART
1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2，A
＝45°，B＝60°，则a＝（　　）
A. B. 2
解析：　已知b＝2，A＝45°，B＝60°，由正弦定理可得 ＝ ，
则a＝ ＝ ＝ .故选A.
C. 2 D. 4
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√
2. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ＝
，则角B的大小为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由正弦定理 ＝ 及 ＝ ，可得 sin B＝ cos B. 又0＜
B＜π，所以B＝ .
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3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a
＝6，b＝3 ，则B的大小为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 30°或150° D. 60°或120°
解析：　由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin B＝ ，
又B为三角形内角，所以B＝30°或B＝150°，又因为a＞b，所以A＞
B，即B＝30°.
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4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， sin A－ sin B＋
＝0，则△ABC的形状一定为（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
解析：　在△ABC中， sin A－ sin B＋ ＝0，则由正弦定理可得
（ sin A－ sin B）＋ ＝（1＋ ）·（ sin A－ sin B）＝0.
因为A，B，C∈（0，π），所以 sin C＞0，可得 ＋1≠0，所以 sin A
＝ sin B，则有a＝b，则△ABC一定为等腰三角形.故选B.
√
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
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5. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A
＝b cos B，则△ABC是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
解析： 　由正弦定理 ＝ ，得 ＝ .又a cos A＝b cos B，所以
＝ ，所以 ＝ ，所以 sin A· cos A＝ sin B· cos B，所以2 sin
A· cos A＝2 sin B· cos B，即 sin 2A＝ sin 2B. 因为A，B为三角形内
角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝ ，故△ABC是等腰
三角形或直角三角形.
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
√
√
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6. 〔多选〕根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（　　）
A. a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B. b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C. a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
√
√
√
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解析： 　A中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝1，∴B＝
90°，即只有一解；B中，∵ ＝ ，∴ sin C＝ ＝ ＝
，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝ ＝ ，有解；D中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝
＝ ，又b＜a，∴只有一解.
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7. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝
1∶1∶4，则a∶b∶c＝ 　 　.
1∶1∶
解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别
为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝ sin 30°∶ sin 30°∶ sin 120°＝
1∶1∶ .
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8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a sin C＝
c，则A＝ .
解析：设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2×2R sin A sin C＝
×2R sin C，因此 sin A＝ ，又因为0°＜A＜180°，故A＝45°或A
＝135°.
45°或135°　
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9. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝ ， sin B＝
，C＝ ，则b＝ .
解析：在△ABC中，因为 sin B＝ ，0＜B＜π，所以B＝ 或B＝ π.又因
为B＋C＜π，C＝ ，所以B＝ ，所以A＝π－ － ＝ π.因为 ＝
，所以b＝ ＝1.
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解： ∵A＝30°，C＝105°，
∴B＝180°－（A＋C）＝45°.
∵ ＝ ＝ ，∴b＝ ＝ ＝2 ，
c＝ ＝ ＝ ＋ .
∴B＝45°，b＝2 ，c＝ ＋ .
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解
三角形：
（1）A＝30°，C＝105°，a＝2；
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（2）b＝3，c＝3 ，B＝30°.
解： 由正弦定理，得 ＝ ，
即 ＝ ，解得 sin C＝ .
∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°.
①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为直角三角形，
此时a＝ ＝6；
②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，∴a＝b＝3.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
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11. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 cos A＝
，a＝1，则 ＝（　　）
A. B.
C. 2 D. 3
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解析：　因为 cos A＝ ，0＜A＜π，所以 sin A＝ ＝ ，在
△ABC中，由正弦定理 ＝ ＝ ＝2R（R为△ABC外接圆的半
径），得b＝2R sin B，c＝2R sin C，则 ＝ ＝2R
＝ ＝ ＝3.故选D.
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12. 在△ABC中，若 sin C＝2 sin B cos B，且B∈（ ， ），则 的取值范
围为（　　）
A. （ ， ） B. （ ，2）
C. （0，2） D. （ ，2）
解析：　由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 cos B. 又 ＜B＜ ，余弦
函数在此范围内单调递减，故 ＜ cos B＜ ，∴ ∈（ ， ）.
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13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝
60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 .
解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理 ＝ ，得c＝
.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞c sin B，即 ＜b
＜2.
（ ，2）　
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14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 b sin A＝a
cos B.
（1）求B；
解： 由 b sin A＝a cos B及正弦定理，
得 sin B sin A＝ sin A cos B.
在△ABC中， sin A≠0，∴ sin B＝ cos B，
∴tan B＝ .
∵0＜B＜π，∴B＝ .
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（2）若b＝3， sin C＝ sin A，求a，c.
解： 由 sin C＝ sin A及正弦定理，
得c＝ a，　①
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得32＝a2＋c2－2ac cos ，
即a2＋c2－ ac＝9，　②
联立①②，解得a＝3，c＝3 （负值舍去）.
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15. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＋
c＝b.
（1）求角A的大小；
解：由a cos C＋ c＝b，得 sin A cos C＋ sin C＝ sin B.
因为 sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C，
所以 sin C＝ cos A sin C.
因为 sin C≠0，所以 cos A＝ .因为0＜A＜π，所以A＝ .
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（2）若a＝1，b＝ ，求c的值.
解：由正弦定理，得 sin B＝ ＝ .
又b＞a，所以B＞A，所以B＝ 或B＝ .
①当B＝ 时，由A＝ ，得C＝ ，
所以c＝ ＝2.
②当B＝ 时，由A＝ ，得C＝ .所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或c＝2.
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