6.4.3第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形

(共51张PPT)
第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
知识点一　有关三角形面积的计算
01
知识点二　求解平面几何问题
02
知识点三　正弦、余弦定理的综合应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
有关三角形面积的计算
01
PART
问题　已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？
提示：边b上的高h为a sin C，故面积为S＝ bh＝ ab sin C.
【知识梳理】
1. 三角形的面积计算公式
（1）S＝ a·ha＝ b·hb＝ c·hc（ha，hb，hc分别表示a，b，c上
的高）；
（2）S＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ac sin B；
（3）S＝ （a＋b＋c）·r（r为△ABC内切圆的半径）.
2. △ABC中的常用结论
（1）A＋B＋C＝ ， sin （A＋B）＝ ， cos （A＋
B）＝ ；
（2）大边对大角，即a＞b A＞B sin A＞ sin B cos A＜ cos B.
180°　
sin C　
－ cos C　
【例1】　（1）设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a
＝4，b＝6， cos C＝－ ，则△ABC的面积为（　B　）
A. 6 B. 6
C. 12 D. 8
解析： ∵0＜C＜π，∴ sin C＝ ＝ ，∴S△ABC＝ ab sin
C＝ ×4×6× ＝6 .故选B.
B
（2）若△ABC的面积为 ，BC＝2，C＝60°，则AB＝ .
解析： 法一　由S△ABC＝ AC·BC· sin C＝ ，得AC＝2，由余
弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos 60°＝22＋22－2×2×2×
＝4，所以AB＝2，即边AB的长度为2.
2　
法二　由S△ABC＝ AC·BC· sin C＝ ，得AC＝2，所以AC＝BC＝
2，又C＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB＝2，即边AB的长度
为2.
【规律方法】
求三角形面积的解题思路
在应用三角形面积公式S＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ac sin B求解时，一般是
已知哪个角就使用哪一个公式.
训练1　（1）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面
积为 ，且b＝2，c＝ ，则A＝（　D　）
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 120°或60°
解析： 已知S△ABC＝ bc sin A＝ ，则有 ×2× sin A＝ ，所以 sin
A＝ .因为0°＜A＜180°，所以A＝60°或120°.故选D.
D
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－8＝
（b－c）2，A＝ ，则△ABC的面积是（　D　）
A. 4 B. 2
C. 4 D. 2
解析： 由a2－8＝（b－c）2，得b2＋c2－a2＝2bc－8，因为A＝
，所以由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝ ，解得bc＝8，所以
△ABC的面积是 bc sin A＝ ×8× ＝2 .故选D.
D
知识点二
求解平面几何问题
02
PART
【例2】　如图，在圆内接四边形ABCD中，B＝120°，AB＝2，AD＝
2 ，△ABC的面积为 .求：
（1）AC；
解： 因为△ABC的面积为 ，
所以 AB·BC sin B＝ .
又因为B＝120°，AB＝2，所以BC＝2.
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝22＋22－2×2×2 cos
120°＝12，所以AC＝2 .
（2）∠ACD.
解：因为四边形ABCD为圆内接四边形，且B＝120°，所以D＝60°.
又AD＝2 ，由正弦定理可得 ＝ ，
故 sin ∠ACD＝ ＝ ＝ .
因为AC＞AD，所以0°＜∠ACD＜60°，
所以∠ACD＝45°.
【规律方法】
多边形中计算问题的解题思路
（1）正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用
正弦定理、余弦定理.只需通过解三角形，一般问题便能很快解决；
（2）解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.
训练2　如图，在Rt△ABC中，∠ACB为直角，AB＝c，AC＝b，BC＝
a，且 cos B＝ .
（1）求B的大小；
解：∵∠ACB＝ ，∴ cos B＝ ＝ ＝ ，
整理得2a2－c2＋ac＝0，即（2a－c）（a＋c）＝0.
∵a＋c＞0，∴2a－c＝0，即2a＝c.
∴ cos B＝ ，
∵B为△ABC的内角，∴B∈（0，π），∴B＝ .
（2）若c＝3，D为AB边上一点，且AD＝1，求 sin ∠BCD.
解：依题意，知c＝AB＝3，BD＝AB－AD＝2，BC＝AB· cos B
＝ .
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD cos B＝ ＋4－
2× ×2× ＝ ，
∴CD＝ .
在△BCD中，由正弦定理得 ＝ ，
∴ sin ∠BCD＝ ＝ ＝ .
03
PART
知识点三
正弦、余弦定理的综合应用
【例3】　在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
知a＝ ，b＝3， sin B＋ sin A＝2 .
（1）求角A的大小；
解： 由题意，结合正弦定理得 ＝ ，
∴ sin B＝3 sin A，
根据 sin B＋ sin A＝2 ，联立得 sin A＝ ，
∵△ABC为锐角三角形，∴A∈（0， ），∴A＝ .
（2）求△ABC的面积.
解：由题意，结合余弦定理得a2＝c2＋9－6c· cos ＝7，解得c＝1
或c＝2.
当c＝1时， cos B＝ ＝－ ＜0，故B为钝角，这与△ABC为锐
角三角形矛盾，故不满足条件.
当c＝2时，满足题意，此时△ABC的面积为 bc· sin A＝ ×3×2× ＝
.
【规律方法】
利用正弦定理、余弦定理求解综合问题
（1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积
公式、三角恒等变换等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用
所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系；
（2）抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹
角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.
训练3　在△ABC中，已知 ＝ 且a（ sin A－ sin B）＝（c－
b）（ sin C＋ sin B），试判断△ABC的形状.
解：由 ＝ 及正弦定理得 ＝ ，即ac＋a2＝b2＋bc，
∴a2－b2＋ac－bc＝0，∴（a－b）（a＋b＋c）＝0，∴a＝b.
由a（ sin A－ sin B）＝（c－b）（ sin C＋ sin B）及正弦定理，得a（a
－b）＝（c－b）（c＋b），
即a2＋b2－c2＝ab.∴ cos C＝ ＝ ，
又C∈（0，π），∴C＝ .∴△ABC为等边三角形.
1. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝ ，b＝4，
C＝ ，则△ABC的面积为（　　）
A. 2 B.
C. D.
解析：　由题意可知，a＝ ，b＝4，C＝ ，所以S△ABC＝ ab sin C
＝ × ×4× ＝ .
√
2. 在△ABC中，AB＝ ，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝ ，则C＝
（　　）
A. 60°或120° B. 30°
C. 60° D. 45°
解析：　在△ABC中，AB＝ ，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝
AB·AC sin A＝ ，可得 sin A＝1.因为0°＜A＜180°，所以A＝90°，
所以C＝180°－A－B＝60°.
√
3. 在△ABC中， sin B＝2 sin A，a＋c＝3，且 cos C＝ ，则a＝ .
解析：由 sin B＝2 sin A及正弦定理，得b＝2a，又a＋c＝3，∴c＝3－
a，由余弦定理的推论，得 cos C＝ ＝ ＝ ，整理
得a2＋2a－3＝0，解得a＝1（负值舍去）.
1　
4. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，
BD＝4，则 sin B＝ .
解析：由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由
余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB，即AB＝2 ，由
正弦定理，得 ＝ ，则 sin B＝ ＝ .
　
课堂小结
1.理清单
（1）三角形面积的计算；
（2）利用正弦、余弦定理解平面几何问题；
（3）正弦、余弦定理的综合应用.
2.应体会
结合条件能顺利选择三角形的面积公式、正确选择正弦或余弦定理结合三角恒等变换实现边与角的互化，应用转化与化归、数形结合的思想方法.
3.避易错
利用正弦定理进行边和角的相互转化时易出现不等价变形.
课时作业
04
PART
1. 钝角△ABC的面积是 ，AB＝1，BC＝ ，则AC＝（　　）
A. 5 B.
解析：　由三角形面积公式，得S△ABC＝ AB·BC· sin B＝ .又∵AB
＝1，BC＝ ，∴ sin B＝ .∵B∈（0，π），∴B＝ 或B＝ .由余
弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，当B＝ 时，得AC＝1，这
时不符合△ABC为钝角三角形的要求，故舍去；当B＝ 时，得AC＝
（满足题意）.
C. 2 D. 1
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2. 在△ABC中， sin 2A＝ sin B sin C，若A＝ ，则B＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　因为 sin 2A＝ sin B sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2
＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以
△ABC是等边三角形，B＝ .故选C.
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3. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△ABC的面积为
，则C＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由余弦定理及题中条件可得△ABC的面积S△ABC＝ ab sin C＝
＝ ab cos C，可得 sin C＝ cos C，∵C∈（0，π），∴C＝ .故
选A.
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4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝
bc＝1，则△ABC的面积为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理b2＋c2－a2＝2bc cos A可得bc＝
2bc cos A，即 cos A＝ ，因为在△ABC中， sin A＞0，所以 sin A＝ .因
为bc＝1，所以S△ABC＝ bc sin A＝ ×1× ＝ .
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5. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列
等式恒成立的是（　　）
A. a2＝b2＋c2－2bc cos A B. a sin B＝b sin A
C. a＝b cos C＋c cos B D. a cos B＋b cos C＝c
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解析： 　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故A正
确；对于B，根据正弦定理 ＝ ，可得a sin B＝b sin A，故B正确；
对于C，根据正弦定理，得a＝b cos C＋c cos B sin A＝ sin B cos C＋ sin C
cos B＝ sin （B＋C）＝ sin A，故C正确；对于D，根据正弦定理可得，
sin A cos B＋ sin B cos C＝ sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin
B，即 sin B cos C＝ cos A sin B，又 sin B≠0，所以 cos C＝ cos A，当A＝C
时，等式成立，故D不正确.
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6. 〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， sin
B＝ ，c＝2，b＝ ，则（　　）
A. sin C＝
B. cos B＝－
C. a＝3
D. △ABC的面积为 或
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解析： 　对于A，因为 sin B＝ ，c＝2，b＝ ，所以由 ＝
，得 × ＝ ，解得 sin C＝ ，故A正确；对于B，因为c＞
b，所以C＞B，故0＜B＜ ，因为 sin B＝ ，所以 cos B＝
＝ ，故B错误；对于C，由b2＝a2＋c2－2ac cos B，得2＝a2＋4－
4a× ，解得a＝ 或a＝3，经检验，a＝ 与a＝3都满足要求，故C错
误；对于D，当a＝ 时，S△ABC＝ ac sin B＝ × ×2× ＝ ；
当a＝3时，S△ABC＝ ac sin B＝ ×3×2× ＝ ，所以△ABC的面积
为 或 ，故D正确.故选A、D.
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7. 在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC外接圆的半径为3，则a
＝ .
解析：由S△ABC＝5，得 bc sin A＝ ×20× sin A＝5，解得 sin A＝ ，再由
正弦定理，得 ＝2×3，即a＝ ×2×3＝3.
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8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C＝
60°，且△ABC的面积为5 ，则△ABC的周长为 　9＋ 　.
解析：由题意及三角形的面积公式，得 ab sin C＝5 ，即 a×5× ＝
5 ，解得a＝4，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即c2＝16＋
25－2×4×5× ＝21，c＝ ，所以△ABC的周长为9＋ .
9＋ 　
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9. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝3，
B＝ ，则AC边上的高为 　 　.
解析：在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝ ，由余弦定理得b2＝a2＋c2－
2ac cos B＝4＋9－2×2×3× ＝7，解得b＝ （负值舍去），设AC边上
的高为h，则S△ABC＝ ac sin B＝ h·b，即 ×2×3× sin ＝ h× ，
解得h＝ .
　
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10. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝8，b
＝7，B＝60°，求c及S△ABC.
解：在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得49＝64＋c2－
16c× ，
整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.
当c＝3时，S△ABC＝ ac sin B＝ ×8×3× ＝6 ；
当c＝5时，S△ABC＝ ac sin B＝ ×8×5× ＝10 .
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11. 如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，
DA＝7，则AB的长为（　　）
A. 4 B. 4
C. 8 D. 4
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解析：　在△ADC中，因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，所以 cos ∠ADC
＝ ＝ ，因此 cos ∠ADB＝－ ，所以 sin ∠ADB＝ ，在
△ABD中，又B＝45°，由正弦定理 ＝ ，得AB＝
＝ ＝4 .
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12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝
，b＝2，c sin A＝a cos （C＋ ），则c＝（　　）
A. 1 B.
√
C. 4 D. 13
解析：　∵c sin A＝a cos （C＋ ），∴ sin C sin A＝ sin A（ cos C－
sin C），∵ sin A≠0，∴ sin C＝ cos C－ sin C，∴3 sin C＝ cos C，
∴tan C＝ ，又∵C∈（0，π），∴C＝ .在△ABC中，由余弦定理得c2
＝3＋4－2× ×2× ＝1，∴c＝1.故选A.
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13. 〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
a∶b∶c＝2∶3∶4，则下列结论正确的是（　　）
A. sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4
B. △ABC是钝角三角形
C. 若c＝8，则△ABC外接圆半径为
D. 若c＝8，则边AB上的中线长为
√
√
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解析：在△ABC中，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以设a＝2t，b＝3t，c＝4t，且t＞0.对于A，由正弦定理，得 sin A∶ sin B∶ sin C＝a∶b∶c＝2∶3∶4，故A正确；对于B，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以角C最大， cos C＝ ＝ ＝－ ，则C为钝角，即△ABC是钝角三角形，故B正确；对于C，若c＝8，因为 cos C＝－ ，所以 sin C＝ ，由正弦定理，得2R＝ ＝ ，即R＝ ，故C错误；
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对于D，若c＝8，则a＝4，b＝6，则由余弦定理的推论得， cos A＝
＝ ＝ ，所以由余弦定理得边AB上的中线长为
＝ ＝ ，
故D正确.故选A、B、D.
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14. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（c
－b）（ sin B＋ sin C）＝（ sin C－ sin A）a.
（1）求角B；
解： 因为（c－b）（ sin B＋ sin C）＝（ sin C－ sin A）a，
所以由正弦定理得c2－b2＝ac－a2，即a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝ ＝ .
因为0＜B＜π，所以B＝ .
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（2）若c＝4，△ABC的面积为3 ，求 cos C的值.
解：因为c＝4，△ABC的面积为3 ，
所以 ac sin B＝3 ，
即 ×4a× ＝3 ，解得a＝3.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋16－2×3×4× ＝13，所以b＝
（负值舍去），
所以 cos C＝ ＝ ＝ .
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15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b cos A＝c.
（1）判断△ABC的形状，并加以证明；
解：△ABC为直角三角形.证明如下：
在△ABC中，
由正弦定理得 sin B cos A＝ sin C，又A＋B＋C＝π，
所以 sin B cos A＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B，
化简得 sin A cos B＝0，因为A∈（0，π），所以 sin A＞0，所以 cos B＝0，
又因为B∈（0，π），所以B＝ ，所以△ABC是直角三角形.
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（2）如图，△ABC外存在一点D，使得∠BAD＝ ，AD＝2，BD＝5，
且BC＝2 ，求CD.
解： 在△ABD中，由正弦定理得 ＝ .
由题设知， ＝ ，所以 sin ∠ABD＝ ＝ .
由（1）知， cos ∠CBD＝ cos （ －∠ABD）＝ sin ∠ABD＝ .
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC· cos ∠CBD＝
52＋（2 ）2－2×5×2 × ＝25，所以CD＝5.
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