培优课　解三角形中的综合问题 能力提升

(共54张PPT)
培优课　解三角形中的综合问题 能力提升
一、解三角形与三角恒等变换的综合问题
【例1】　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量
m＝（a， b）与n＝（ cos A， sin B）平行.
（1）求A；
解： 因为m∥n，所以a sin B－ b cos A＝0，
由正弦定理得 sin A sin B－ sin B cos A＝0，
又B∈（0，π），所以 sin B≠0，所以 sin A－ cos A＝0，则tan A＝
，又A∈（0，π），所以A＝ .
（2）若a＝ ，b＝2，求△ABC的面积.
解： 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，因为a＝ ，b＝2，
A＝ ，所以7＝4＋c2－2c，解得c＝3或c＝－1（舍），
所以△ABC的面积S＝ bc sin A＝ ×2×3× ＝ .
【规律方法】
对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理（A＋B＋C＝
π）展开的，一般是通过正弦、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找
相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到
减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函
数问题，从而求解.
训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B
－b cos A＝c，且C＝ ，则B＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　在△ABC中，由正弦定理 ＝ ＝ ，及a cos B－b cos A
＝c，得 sin A cos B－ sin B cos A＝ sin C，即 sin （A－B）＝ sin C，又C
＝ ，所以 sin （A－B）＝ sin C＞0，所以0＜A－B＜π，所以A－B＝
C或A－B＝π－C. 易知A＋B＝ ，当A－B＝C＝ 时，A＝ ，B＝
；当A－B＝π－C＝ 时，A＝ ，B＝0，不合题意，舍去.综上，B
＝ .故选C.
二、解三角形与三角函数的综合问题
【例2】　已知函数f（x）＝3 sin （2x＋ ）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
解： 由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ＋
（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（ ＋ ）＝
－ ，B＝2A，a＝3，求c.
解： 由f（ ＋ ）＝3 sin （A＋π）＝－ ，得 sin A＝ .
因为B＝2A＜π，所以A为锐角，所以 cos A＝ .
由正弦定理，得 ＝ ，
从而b＝ · sin 2A＝ ·2 sin A cos A＝6 cos A＝4.
易得 cos B＝ cos 2A＝1－2 sin 2A＝－ ，
结合余弦定理的推论， cos B＝ ，
得－ ＝ ，解得c＝ （负值已舍去）.
【规律方法】
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
（1）转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理地
将问题转化为三角函数的问题；
（2）用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅
助角公式等进行三角形中边角关系的互化；
（3）得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数
解析式、角、三角函数值或讨论三角函数的基本性质等.
训练2　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f（x）
＝ sin （x＋B）＋ cos （x＋B）tan C，且f（ ）＝－ .
（1）求角A；
解： f（x）＝ ＝ ＝
＝－ .
∵f（ ）＝－ ，∴－ ＝－ ，∴ sin （ －A）＝1.
又0＜A＜π，∴－ ＜ －A＜ ，∴ －A＝ ，∴A＝ .
（2）若△ABC的面积为 ，且 sin B＋ sin C＝ ，求a的值.
解： ∵△ABC的面积S＝ bc sin A＝ bc· ＝ ，∴bc＝4，
设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知 ＝ ＝ ＝2R，
sin B＝ ， sin C＝ ，a＝ R， sin B＋ sin C＝ b＋c＝ R，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ，
∴a2＝（b＋c）2－3bc，
∴3R2＝6R2－12，∴R＝2，∴a＝2 .
三、解三角形中的中线问题
【例3】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满
足b cos ＝a sin B.
（1）求A；
解：∵ cos ＝ cos （ － ）＝ sin ，∴b sin ＝a sin B，
由正弦定理得 sin B sin ＝ sin A sin B，∵ sin B≠0，∴ sin ＝ sin A，
∴ sin ＝2 sin cos ，∵A∈（0，π）， ∈（0， ），∴ sin ≠0，得
cos ＝ ，即 ＝ ，∴A＝ .
（2）若a＝ ， · ＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长.
解： ∵ · ＝3，∴bc cos （π－A）＝3，得bc＝6，
由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13，
∵ ＝ （ ＋ ），
∴｜ ｜2＝ （ ＋ ）2＝ （c2＋b2＋2bc cos A）＝ ，
∴｜ ｜＝ ，即AD的长为 .
【规律方法】
求解三角形中线问题的常用方法
（1）中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2
（BD2＋AD2）；
（2）向量法： ＝ （b2＋c2＋2bc cos A）.
训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a sin B
＝ b cos A.
（1）求角A的大小；
解： 由a sin B＝ b cos A及正弦定理可得 sin A sin B＝ sin B
cos A，
因为A，B∈（0，π），则 sin B＞0，可得 sin A＝ cos A＞0，
则tan A＝ ，因此A＝ .
（2）若BC边上的中线AD＝ ，且c＝4，求b的值.
解： 因为 ＝ （ ＋ ），
所以2 ＝ ＋ ，所以4 ＝（ ＋ ）2＝ ＋ ＋
2 · ，
即28＝c2＋b2＋2bc cos ∠BAC＝c2＋b2＋bc，
即b2＋4b－12＝0，解得b＝2（负值舍去）.
四、解三角形中的角平分线问题
【例4】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝
，b＝2 ，b2＋c2－a2＝ bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则
AE＝（　　）
A. B.
C. 2 D. 3
√
解析：　∵b2＋c2－a2＝ bc，∴ cos ∠BAC＝ ＝ ，∵B
＝ ，∴∠BAC∈（0， ） ，∴∠BAC＝ ，∴C＝ ，∴ ＝
，∴c＝ × ＝2.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ，
∴∠AEB＝π－ － ＝ ，∴ ＝ ，∴AE＝ ＝ ×
sin ＝ × ＝ .
【规律方法】
求解三角形中角平分线问题的常用方法
在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c：
（1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD；
（2）内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则 ＝
；
（3）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC AD＝ （角平分线长公式）.
训练4　在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为
2 .若∠BAC的平分线与BC交于点E，求AE的长.
解：∵AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为2 ，
∴S△ABC＝ AB·AC· sin ∠BAC＝ ×2×4× sin ∠BAC＝2 ，
∴ sin ∠BAC＝ ，又∠BAC为钝角，
∴∠BAC＝ ，
∵AE为∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝ ∠BAC＝ ，
∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACE，
∴ AB·AE· sin ＋ AC·AE· sin ＝2 ，
即 ×2AE× ＋ ×4AE× ＝2 ，
∴AE＝ .
五、解三角形中的最值（范围）问题
【例5】　在△ABC中，a2－ ac＋c2＝b2.
（1）求B的大小；
解： 由a2－ ac＋c2＝b2及余弦定理得2ac cos B＝ ac，所以 cos
B＝ ，
又B∈（0，π），所以B＝ .
（2）求 cos A＋ cos C的取值范围.
解： 因为B＝ ，所以 cos A＋ cos C＝ cos A＋ cos （ －A）
＝ sin A＋ cos A＝ sin （A＋ ），
因为0＜A＜ ，所以A＋ ∈（ ，π），
所以 sin （A＋ ）∈（0，1]，
所以 cos A＋ cos C∈（0，1]，
故 cos A＋ cos C的取值范围为（0，1].
【规律方法】
解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为
边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某
一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范
围确定最值（范围）.
训练5　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b
cos C＋c cos B＝3a cos A，若S为△ABC的面积，则 的最小值
为 .
2 　
解析：由题意及正弦定理得 sin B cos C＋ sin C cos B＝3 sin A cos A，即 sin
（B＋C）＝3 sin A cos A，而A＋B＋C＝π，故 sin A＝3 sin A cos A，又
sin A≠0，则 cos A＝ ，故 sin A＝ ，而a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2
－ bc，S＝ bc sin A＝ ，所以 ＝ ≥ ＝
2 ，当且仅当b＝c时，等号成立，故 的最小值为2 .
1. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长
为4（ ＋1），且 sin B＋ sin C＝ sin A，则a＝（　　）
A. B. 2
C. 4 D. 2
解析：　由题知周长为a＋b＋c＝4（ ＋1）①，∵ sin B＋ sin C＝
sin A，由正弦定理得b＋c＝ a②，∴由①②可解得a＝4.故选C.
√
2. 在△ABC中，BC＝3，AC＝5， ＜B＜π，则边AB的取值范围是
（　　）
A. （2，8） B. （1，4）
C. （4，＋∞） D. （2，4）
解析：　令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5
－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以 cos B＝ ＜0，
a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即
AB的取值范围是（2，4）.故选D.
√
3. 已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC
上的中线AD的长为 .
解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝ .在△ABC中，AB＝
1，BD＝ ＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ＝3，因此AD＝
.
　
4. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD
为∠BAC的角平分线，则AD＝ .
解析：由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得， ×2×3× sin 120°＝ ×2AD× sin
60°＋ ×3AD× sin 60°，解得AD＝ .
　
课堂小结
1.理清单
（1）解三角形与三角恒等变换、三角函数的综合问题；
（2）解三角形中的中线与角平分线问题；
（3）解三角形中的最值（范围）问题.
2.应体会
解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程.体现了数形结合、转化与化归的思想方法.
3.避易错
求三角形中有关最值与范围时易忽视三角形的内角范围.
课时作业
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b cos A＋a cos B
＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 7.5
解析：　由余弦定理的推论，得b· ＋a· ＝c2 c＝
1，即△ABC的周长为5.
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2. 在△ABC中，BC＝3，AB＝7，C＝ π，则AB边上的高为（　　）
A. B.
解析：　因为BC＝3，AB＝7，C＝ π，所以由余弦定理可得AB2＝AC2
＋BC2－2AC·BC· cos π，即49＝AC2＋9＋3AC，解得AC＝5或AC＝
－8（舍去），设AB边上的高为h，则 AB·h＝ AC·BC· sin C，即
7h＝3×5× h＝ .故选B.
√
C. D.
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3. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ＝ ，
则△ABC的形状是（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
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解析：　∵ ＝ ，∴由正弦定理得 ＝ ，整理得a cos A
＝b cos B，由正弦定理得 sin A cos A＝ sin B cos B，∴ sin 2A＝ sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝ .当A＋B＝ 时，C＝
，此时△ABC为直角三角形，有c cos B＝a，则a－c cos B＝0，分母无
意义，故舍去，∴A＝B，此时△ABC为等腰三角形.
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4. 已知在△ABC中，A＝ ，BC＝3，则下列各式成立的是（　　）
A. AC＝ sin B
B. AC＝2 sin B
C. AB＝ sin B＋3 cos B
D. AB＝3 sin B＋ cos B
解析：　根据正弦定理，得 ＝ ＝ ，所以AC＝ sin
B× ＝2 sin B，AB＝ sin （ －B）× ＝3 cos B＋ sin B. 故
选C.
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5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为
a，则 ＋ 的最大值为（　　）
A. 8 B. 6
C. 3 D. 4
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解析：　因为BC边上的高为 a，所以S△ABC＝ a× a＝ bc sin A，
所以a2＝2 bc sin A，由余弦定理得2 bc sin A＝b2＋c2－2bc cos A，整
理得 ＝2 sin A＋2 cos A，即 ＋ ＝4 sin （A＋ ）.因为A∈
（0，π），所以A＋ ∈（ ， ），所以当A＋ ＝ ，即A＝ 时，4
sin （A＋ ）有最大值，且最大值为4，所以 ＋ 的最大值为4.故选D.
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6. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝
3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝ ，则 cos ∠ADB＝（　　）
A. － B.
C. D. ±
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解析：　因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝
∠BAD＝30°.又b＝3c，所以 ＝ ＝ ＝ ＝3.因
为BD＝ ，所以CD＝3 ，a＝CB＝4 .由余弦定理可得a2＝b2＋c2
－2bc cos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c· ，解得c＝4.在△ABD
中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，所以 sin ∠ADB＝
.因为b＞c，所以B＞C.
又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB＜∠ADC，
所以∠ADB为锐角，所以 cos ∠ADB＝ .故选B.
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7. 〔多选〕在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝
1， cos ∠BAC＝ ，以下结论正确的是（　　）
A. AB＝8 B. ＝
C. AB＝6 D. △ABD的面积为
√
√
√
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解析：如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝
∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得 cos 2α
＝2 cos 2α－1＝ ，且0＜α＜ ，所以 cos α＝ ，
在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝AD cos α＝ ，在Rt△ACB中，AB＝ ＝ ×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理， ＝ ＝ × ＝ ，故B正确；因为 cos α＝ ，且0＜α＜ ，所以 sin α＝ ，所以S△ABD
＝ AD·AB· sin α＝ ×6× ＝ ，故D正确.故选B、C、D.
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8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＋b cos A
＝ bc，则b＝ .
解析：因为a cos B＋b cos A＝ bc，所以由正弦定理得， sin A cos B＋ sin B
cos A＝ b sin C，则 sin （A＋B）＝ sin C＝ b sin C，又 sin C≠0，所以
b＝1，即b＝2.
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9. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2 sin A sin B
cos C＝ sin 2C，则 ＝ ，角C的最大值为 　 　.
解析：∵2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，∴2ab cos C＝c2 a2＋b2－c2＝
c2 ＝2，∴ cos C＝ ＝ ≥ ，当且仅当a＝b时取等
号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤ ，即角C的最大值为 .
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10. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ，a＝
6，1≤b≤4，则 sin A的取值范围为 .
解析：∵C＝ ，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36
＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]，
∴c∈[3 ， ]，∴由正弦定理 ＝ ，可得 sin A＝ ＝
＝ ∈［ ，1］.
［ ，1］　
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11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cos C＋c＝
2a.
（1）求角B的大小；
解：∵2b cos C＋c＝2a，
由正弦定理，得2 sin B cos C＋ sin C＝2 sin A，
又∵A＋B＋C＝π，∴ sin A＝ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C，
∴2 sin B cos C＋ sin C＝2（ sin B cos C＋ cos B sin C），
即 sin C＝2 cos B sin C.
∵0＜C＜π，∴ sin C≠0，∴ cos B＝ .∵0＜B＜π，∴B＝ .
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（2）若 cos A＝ ，求 的值.
解：在△ABC中，B＝ ， cos A＝ ，
∴ sin A＝ ，
∴ sin C＝ sin （A＋B）
＝ sin A cos B＋ cos A sin B＝ .
∴ ＝ ＝ .
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12. 已知a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x）＝
a·b.
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
解：因为a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x），
则f（x）＝a·b＝ sin x cos x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x－ ＝ sin
（2x－ ）－ ，
由2x－ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z），
即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）.
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（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝
且b＝ .求a＋c的取值范围.
解： 由f（B）＝ ，得 sin （2B－ ）＝1，又2B－ ∈（－ ，
），即2B－ ＝ .
所以B＝ ，又b＝ ，
由正弦定理 ＝ ＝ ，得a＝2 sin A，c＝2 sin C，
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即a＋c＝2 sin A＋2 sin C＝2 sin A＋2 sin （ －A）＝2 cos （A－
），
又0＜A＜ ，所以－ ＜A－ ＜ ，
所以2 cos （A－ ）∈（ ，2 ].
即a＋c的取值范围为（ ，2 ].
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13. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a cos C－c
cos B＝b cos C.
（1）求角C；
解： 由题意及正弦定理得2 sin A cos C－ sin C· cos B＝ sin B cos C，
所以2 sin A cos C＝ sin B cos C＋ sin C cos B＝ sin （B＋C）＝ sin A，易知
sin A≠0，
所以 cos C＝ ，又C∈（0，π），所以C＝ .
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（2）若∠ACB的平分线交AB于点D，CD＝4 ，△ABC的面积为
18 ，求c的值.
解： 由S△ABC＝ ab sin ＝ ab＝18 ，得ab＝72，
因为CD平分∠ACB，∠ACB＝ ，所以∠ACD＝∠BCD＝ ，
则S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝ b·CD sin ＋ a·CD sin ＝ ×4 ×（a
＋b）× ＝ （a＋b）＝18 ，所以a＋b＝18，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝（a＋b）2－3ab＝182－3×72＝
108，所以c＝6 .
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