6.4.3第一课时　余弦定理

(共54张PPT)
6.4.3　余弦定理、正弦定理
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系（逻辑推理）.
2.掌握余弦定理、正弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题（数学运算）.
3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题（数学建模）.
课标要求
　　千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一个小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°.那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？本节课我们就来学习一下！
情景导入
第一课时　余弦定理
知识点一　余弦定理的推导
01
知识点二　已知两边及一角解三角形
02
提能点　判断三角形的形状
04
目录
课时作业
05
知识点三　已知三边解三角形
03
知识点一
余弦定理的推导
01
PART
问题1　（1）在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
怎样用a，b和C表示c？
提示：如图，设 ＝a， ＝b， ＝c，
那么c＝a－b，①
我们的研究目标是用｜a｜，｜b｜和C表示｜c｜，
联想到数量积的性质c·c＝｜c｜2，
可以考虑用向量c（即a－b）与其自身作数量积运算.
由①得｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2｜a｜｜b｜ cos C.
所以c2＝a2＋b2－2ab cos C.
（2）在问题（1）的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为
勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示：a2＋b2＝c2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例.
（3）类比问题（1）的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用
a，c和B表示b的相应的表达式.
提示：类比问题（1）的推理过程，同理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝
c2＋a2－2ca cos B.
【知识梳理】
余弦定理
文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边 减去这两边
与它们夹角的余弦的
公式 表达 a2＝ ，b2＝ ，c2＝

　　提醒：（1）适用范围：任意三角形；（2）结构特征：“平方”“夹
角”“余弦”.
平方的和　
积的两倍　
b2＋c2－2bc cos A　
c2＋a2－2ca cos B　
a2
＋b2－2ab cos C　
知识点二
已知两边及一角解三角形
02
PART
【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
知b＝3，c＝2 ，A＝30°，则a＝ 　 　；
解析： 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋（2 ）2－
2×3×2 cos 30°＝3，所以a＝ .
　
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝ ，c＝
2， cos A＝ ，则b＝ .
解析： 由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b cos A，因为 cos A＝ ，所以
3b2－8b－3＝0，所以b＝3（b＝－ 舍去）.
3　
【规律方法】
已知两边及一角解三角形的两种情况
（1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用
余弦定理和三角形内角和定理求其他角；
（2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元
二次方程求解.
训练1　（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝
3 ，c＝2，A＋C＝ ，则b＝（　A　）
A. B. 6
C. 7 D. 8
解析： 因为A＋C＝ ，所以B＝π－（A＋C）＝ ，因为a＝
3 ，c＝2，所以由余弦定理得b＝ ＝
＝ .
A
（2）已知△ABC中，AB＝ ，BC＝1，A＝30°，则AC＝ .
解析： 在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB
＝c＝ ，BC＝a＝1， cos A＝ ，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc
cos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或AC＝2.
1或2　
知识点三
已知三边解三角形
03
PART
问题2　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？
提示：根据余弦定理的变形得 cos A＝ ， cos B＝ ， cos
C＝ .
【知识梳理】
1. 余弦定理的推论
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则 cos A＝
， cos B＝ ， cos C＝ .
2. 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形
的 .已知三角形的几个元素求 的过程叫做解三角形.
元素　
其他元素　
【例2】　（链接教材P43例5、P44例6）（1）在△ABC中，内角A，B，
C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝ ，则C＝（　C　）
A. B.
C. D.
解析： 因为a＝2，b＝3，c＝ ，所以 cos C＝ ＝
＝ .因为C∈（0，π），所以C＝ .故选C.
C
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a∶b∶c＝
4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为（　A　）
A. B.
C. D.
解析： 根据题意，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大角为
C，所以 cos C＝ ＝ ＝ .故选A.
A
【规律方法】
已知三边求解三角形的方法
（1）已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理求解；
（2）若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化
为已知三边求解.在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角.
训练2　（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a
＝3，b＝ ，c＝7，则A＋C的值为（　C　）
A. B.
C. D.
解析： 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝
＝ ，又0＜B＜π，所以B＝ ，所以A＋C＝ .故选C.
C
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2－
bc，则A＝（　C　）
A. 135° B. 60°或120°
C. 45° D. 135°或45°
解析： a2－b2＝c2－ bc，由余弦定理的推论得 cos A＝
＝ ，故A＝45°.故选C.
C
（3）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝
3 ，b＝3，B＝30°，解这个三角形.
解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2ca cos B，即c2－9c＋18＝0，
解得c＝3或c＝6.当c＝3时， cos A＝ ＝－ ，
因为0°＜A＜180°，所以A＝120°，故C＝180°－120°－30°＝30°；
当c＝6时， cos A＝ ＝ ，
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.
综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.
04
PART
提能点
判断三角形的形状
问题3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直
角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？
提示：A为直角 a2＝b2＋c2；
A为锐角 b2＋c2＞a2（前提是b，c是两个较小边）；
A为钝角 b2＋c2＜a2.
【例3】　在△ABC中，若 cos A－ cos B＋ ＝0，则△ABC的形状是
（　　）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
D
解析：　由 cos A－ cos B＋ ＝0，得a－c cos B＝b－c cos A，由余弦
定理的推论得a－c· ＝b－c· ，化简得 ＝
.当a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2时，△ABC为直角三角形；当
a2＋b2－c2≠0时，a＝b，则△ABC为等腰三角形.故△ABC为等腰三角形
或直角三角形，故选D.
【规律方法】
判断三角形形状的两条思考路线
（1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
（2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
训练3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝
60°，a2＝bc，则△ABC一定是（　　）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
解析：　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，
a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即（b－
c）2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
√
1. 在△ABC中，AC＝2AB＝4， cos A＝ ，则BC＝（　　）
A. 2 B. 3
C. D. 4
解析：　由已知及余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos A＝4
＋16－2×2×4× ＝18.故BC＝3 .
√
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝
1，c＝2，则A＝（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
解析：　由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ＝ ，又A为
△ABC的内角，所以A＝60°.
√
3. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝b cos A，则△ABC
一定是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析：　由余弦定理有c＝b· ，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC
一定是直角三角形.故选C.
√
4. 在△ABC中，已知b＝ ，c＝ ，B＝30°，解这个三角形.
解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得（ ）2＝a2＋（ ）2－2a× × cos 30°，
即a2－3 a＋10＝0，解得a＝ 或a＝2 .
当a＝ 时，A＝30°，C＝120°；
当a＝2 时，a2＝20＝b2＋c2，所以该三角形为直角三角形，且A＝
90°，C＝60°.
课堂小结
1.理清单
（1）余弦定理及推论；
（2）利用余弦定理解三角形；
（3）应用余弦定理判断三角形的形状.
2.应体会
在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，体现了转化与化归、方程的思想方法.
3.避易错
三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边.
课时作业
05
PART
1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， cos A＝ ，b
＝3，c＝5，则a＝（　　）
A. 3 B. 4
C. D. 2
解析：　由余弦定理，得a＝ ＝ .故选C.
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2. 若在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝
3c，则 cos B＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由6a＝4b＝3c，得c＝2a，b＝ a，∴ cos B＝ ＝
＝ .
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3. 在△ABC中， cos B＝ （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则
△ABC的形状为（　　）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
解析：　 cos B＝ ，由余弦定理得 ＝ ，整理得b2＋a2＝c2，
即C为直角，则△ABC为直角三角形.
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4. 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ ，
＝ ，则 ＝（　　）
A. B. 2
C. D.
解析：　因为 ＝ ，所以a＝ b，由余弦定理得（ b）2＝b2＋c2
－2cb cos ，所以c＝2b（负值舍去），即 ＝2.故选B.
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5. 〔多选〕设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，
c＝2 ， cos A＝ ，且b＜c，则（　　）
A. b＝2 B. b＝4
C. B＝60° D. B＝30°
解析： 　由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝
0 （b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2，又a＝2， cos A＝ ，所
以B＝A＝30°.故选A、D.
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6. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋
c2－a2＝ bc，且b＝ a，则下列关系可能成立的是（　　）
A. a＝c B. b＝c
C. 2a＝c D. a2＋b2＝c2
解析： 　由余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝ ＝ ，又
0°＜A＜180°，得A＝30°，联立 解得c＝2a或
c＝a.当c＝2a时， cos B＝ ＝ ＝ ，则B＝60°，此
时△ABC为直角三角形，所以A、C、D可能成立.
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7. 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝ ，则AB＝ .
解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝ ，设AB＝x，由余
弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，化简得x2－2x＋1＝0，所
以x＝1，即AB＝1.
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8. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满
足b2＝ac，且c＝2a，则 cos B＝ .
解析：因为b2＝ac，且c＝2a，得b2＝2a2，由余弦定理的推论得 cos B＝
＝ ＝ .
　
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9. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程
x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ .
解析：由题意得，a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos
C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝ .
　
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10. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin C＝
，a＝2 ，b＝2，求c.
解：因为 sin C＝ ，且0＜C＜π，所以C＝ 或C＝ .
当C＝ 时， cos C＝ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4，所以c＝2.
当C＝ 时， cos C＝－ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝28，所以c＝
2 .
综上所述，c的值为2或2 .
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11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2＋c2－
b2）tan B＝ac，则角B的大小为（　　）
A. B.
解析：　因为（a2＋c2－b2）tan B＝ac，所以 ＝ ＝ cos
B，即 cos B·（2 sin B－1）＝0，因为 cos B≠0，所以 sin B＝ ，又因为
B∈（0，π），所以B＝ 或B＝ .故选C.
C. 或 D. 或
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12. 兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形
成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花
海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列.若将每个小岛近似看成正方
形，在2×3正方形方格中，A，B，C三位游客所在位置如图所示，则
∠ABC的值为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　如图，连接AC，不妨设小正方形方格边长为1，则｜AB｜＝ ，｜BC｜＝ ，｜AC｜＝ ，
在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos ∠ABC＝ ＝ ，又0＜∠ABC＜π，所以∠ABC＝ .故选B.
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13. 已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且（a＋b）∶（b＋c）∶
（a＋c）＝12∶13∶15，则此三角形的最大角与最小角之和为（　　）
A. B.
解析：　不妨设a＋b＝12k，则b＋c＝13k，a＋c＝15k，k＞0，解
得a＝7k，b＝5k，c＝8k，所以此三角形的最大角与最小角分别为角C
和角B. 由余弦定理的推论可得 cos A＝ ＝ ＝ ，又A∈（0，
π），所以A＝ ，所以C＋B＝π－A＝ .故选B.
C. D.
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14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 cos A＝
，a＝4，6b＝5c，求b的值.
解：由6b＝5c，∴b＝ .
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得16＝ c2＋c2－2× ×c× ，
∴c2＝36，∴c＝6（负值舍去），
∴b＝ ×6＝5.
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15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若
＝－3.
（1）求A；
解：因为 ＝－3，所以a2－（b＋c）2＝－3bc，
即a2－b2－c2－2bc＝－3bc，所以a2＝b2＋c2－bc，
由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ .因为0＜A＜π，所以A＝ .
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（2）若b＋c＝2a，证明：△ABC为等边三角形.
解： 证明：由（1）得a2＝b2＋c2－bc.
将2a＝b＋c代入上式，得 ＝b2＋c2－bc，整理得（b－c）2＝
0，所以b＝c.
又因为A＝ ，所以△ABC为等边三角形.
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