章末检测（六）　平面向量及其应用

(共37张PPT)
章末检测（六）　平面向量及其应用
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若平面向量a与b＝（1，－1）方向相同，且｜a｜＝2 ，则a＝
（　　）
A. （－ ， ） B. （ ，－ ）
C. （－2，2） D. （2，－2）
解析：　因为向量a与b方向相同，且｜a｜＝2 ，所以a＝λb＝（λ，
－λ），λ＞0，所以a＝（2，－2）.故选D.
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2. 在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向
量 ＝（　　）
A. ＋ B. －
C. ＋ D. －
解析：　由题可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ － ＋ × （
＋ ）＝ － ＋ ＋ ＝ － .故选B.
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3. 已知向量a在b上的投影向量为－ b，且b＝（1，－1），则a·b＝
（　　）
A. B. －
C. － D. －
解析：　由题意得 · ＝ ·b＝ ·b＝－ b，所
以a·b＝－ .故选D.
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4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ ，a＝
2 ，c＝ b，则△ABC的面积为（　　）
A. 2 B.
C. D. 2
解析：　由余弦定理的推论得 cos ＝ ＝－ ，因为c＝
b，所以b＝2（负值舍去），c＝2 ，所以S△ABC＝ bc sin A＝
×2×2 × ＝ .故选C.
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5. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航
行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向
是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点
间的距离是（　　）
A. 10 海里 B. 10 海里
C. 20 海里 D. 20 海里
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解析：　根据已知条件可知，在△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，
∠ABC＝105°，所以C＝45°，由正弦定理，得 ＝ ，所以
BC＝ ＝10 .故选B.
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6. 在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足 ＋3 ＝0.若 · ＝
1，则｜ ｜的值为（　　）
A. 1 B.
解析：　如图，取BC的中点O，连接AO，∵ ＋
3 ＝0，即 ＝3 ，∴M为BC边上靠近点C的四
等分点.∴ · ＝ ·（ ＋ ）＝ ·
＋ · ，又AB＝AC，∴AO⊥BC，∴ · ＝0，又 ＝ ，∴ · ＝ · ＝ ｜ ｜2＝1，∴｜ ｜＝2.故选C.
C. 2 D. 3
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7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c（ sin A－ sin
C）＝（a－b）（ sin A＋ sin B），若△ABC的面积为 ，周长为3b，
则AC边上的高为（　　）
A. B.
C. D. 2
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解析：　在△ABC中，由正弦定理及c（ sin A－ sin C）＝（a－
b）·（ sin A＋ sin B），得c（a－c）＝（a－b）（a＋b），即a2＋c2
－b2＝ac，由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝ ，又0＜B＜π，
所以B＝ ，由△ABC的面积为 ，得 ac sin B＝ ac＝ ，解得ac＝
1，由a2＋c2－b2＝ac，得（a＋c）2－b2＝3ac，由a＋b＋c＝3b，得a
＋c＝2b，因此b＝1，设AC边上的高为h，则 bh＝ ，所以h＝ .故
选B.
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8. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3
上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记Mi＝ · （i＝1，2，…，
10），则M1＋M2＋…＋M10＝（　　）
A. 18 B. 180
C. －18 D. －180
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解析：　以A为坐标原点，AC1所在直线
为x轴建系，如图所示：
则B2（3， ），B3（5， ），C3（6，
0），易得直线B3C3的方程为y＝－ （x
－6），设Pi（xi，yi）（i＝1，2，…，10），则有 xi＋yi＝6 ， ＝（3， ）， ＝（xi，yi），则Mi＝ · ＝3xi＋ yi＝ （ xi＋yi）＝18，所以M1＋M2＋…＋M10＝10×18＝180.故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 设a，b是两个非零向量，若b⊥（a－b），则下列结论正确的是
（　　）
A. a·b＝｜b｜2 B. ｜a｜＝｜a－2b｜
C. a在b上的投影向量为b D. cos ＜a，b＞＝
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解析： 　因为b⊥（a－b），所以b·（a－b）＝b·a－b2＝0，
所以a·b＝b2＝｜b｜2，所以选项A正确；因为a·b＝｜b｜2，所以a2
＝a2－4a·b＋4b2，所以｜a｜＝｜a－2b｜，所以选项B正确；a在b
上的投影向量为 ·b＝ ·b＝b，所以选项C正
确；由向量数量积的定义可知，a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝｜
b｜2，所以 cos ＜a，b＞＝ ，所以选项D错误.故选A、B、C.
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10. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的
是（　　）
A. 若A＞B，则 sin A＞ sin B
B. 若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C. 若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2＜c2
D. 若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为
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解析：对于A选项，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可得 ＝ ，所以 sin A＞ sin B，故A正确；对于B选项，b sin A＝4 sin 30°＝2，则b sin A＜a＜b，所以△ABC有两解，故B正确；对于C选项，当△ABC为钝角三角形，且C为钝角时， cos C＝ ＜0，可得a2＋b2＜c2，若C不为钝角，则得不到a2＋b2＜c2，故C错误；对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得4＝a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，所以S△ABC＝ bc sin A＝ bc≤ ，故D正确.
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11. 若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（　　）
A. 若 ＝ ＋ ，则M是边BC的中点
B. 若 ＝2 － ，则M是边BC的中点
C. 若 ＝－ － ，则点M是△ABC的重心
D. 若 ＝x ＋y ，且x＋y＝ ，则△MBC的面积是△ABC面积的
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解析：　对于A，由 ＝ ＋ ，得
－ ＝ － ，即 ＝ ，因此点M是边
BC的中点，故A正确；对于B， ＝2 － ，
－ ＝ － ，∴ ＝ ，则点M在边CB的延长线上，∴B不正确；对于C，如图1所示，设BC的中点为D，则 ＝－ － ＝ ＋ ＝2 ，由重心性质可知C正确；
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对于D， ＝x ＋y ，且x＋y＝ ，∴ ＝
x ＋（ －x）·（ ＋ ），∴ － ＝
（ －x） ，如图2所示，分别取AB，AC的中点为N，
F，则 － ＝ － ＝ ，即点M在过AB中点且平行BC的直线上，即M在 上，∴M在△ABC的中位线上，∴△MBC的面积是△ABC面积的 ，选项D正确.故选A、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝（x，y），b＝（－1，－
1），c＝（4，4），且满足a·c＝b·c，则a＝ 　 　
（写出满足条件的一种即可）.
（答案不唯一，满足x＋y＝－2即可）
解析：由题意得a·c＝4x＋4y，b·c＝－4－4＝－8，由于a·c＝
b·c，所以有x＋y＝－2，取x＝0，y＝－2，得a＝（0，－2）（答案不唯一）.
（0，－2）
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13. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝
2，M为腰BC的中点，则 · ＝ .
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面
直角坐标系（图略），则由题意得A（0，0），D（0，1），M（ ，
），所以 ＝（－ ，－ ）， ＝（－ ， ），所以 ·
＝ － ＝2.
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14. 在△ABC中， ＝ ，E是线段AD上的动点（与端点不重合），
设 ＝x ＋y （x，y∈R），则 的最小值是 .
16　
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解析：因为 ＝ ，所以 ＝ ，因为 ＝
x ＋y ，所以 ＝x ＋ y ，又因为A，D，
E三点共线，所以x＋ y＝1，x＞0，y＞0，则 ＝ ＋ ＝（ ＋ ）（x＋ y）＝ ＋ ＋10≥2 ＋10＝16，当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值是16.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知向量a，b满足a＝（－1，1），b＝（1，－
3）.
（1）若c＝3a＋2b，求向量c的坐标；
解： ∵a＝（－1，1），b＝（1，－3），
∴c＝3a＋2b＝3（－1，1）＋2（1，－3）＝（－1，－3）.
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（2）求a与b夹角θ的余弦值.
解： 由 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ，知a与b夹
角θ的余弦值为－ .
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16. （本小题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且a sin B＝ b cos A.
（1）求角A的大小；
解： ∵a sin B＝ b cos A，
∴由正弦定理得 sin B sin A＝ sin B cos A，
∵ sin B≠0，∴ sin A＝ cos A，∴tan A＝ .
又∵A∈（0，π），∴A＝ .
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（2）若a＝ ，且向量m＝（3， sin B）与n＝（2， sin C）共线，求b
和c的值.
解： ∵A＝ ，a＝ ，
∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c）2－3bc＝ .
∵向量m＝（3， sin B）与n＝（2， sin C）共线，
∴2 sin B＝3 sin C，由正弦定理得2b＝3c.
∴b＝ ，c＝1.
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17. （本小题满分15分）如图所示，在平面直角坐标系中，｜ ｜＝2｜
｜＝2，∠OAB＝ ， ＝（－1， ）.
（1）求点B，C的坐标；
解：连接OB（图略），设B（xB，yB），
则xB＝｜ ｜＋｜ ｜· cos （π－∠OAB）＝ ，yB
＝｜ ｜· sin （π－∠OAB）＝ ，
所以 ＝ ＋ ＝（ ， ）＋（－1， ）＝（ ， ），
所以B（ ， ），C（ ， ）.
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（2）求证：四边形OABC为等腰梯形.
解：证明：因为 ＝（ ， ）， ＝（ ，
），
所以 ＝3 ，所以 ∥ ，即OC∥AB.
又易知OA与BC不平行，｜ ｜＝｜ ｜＝2，
所以四边形OABC为等腰梯形.
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（1）求角A；
解： 因为（b－2c） cos A＋a cos B＝0，
即b cos A＋a cos B＝2c cos A，
由余弦定理得b· ＋a· ＝2c cos A，
即c＝2c cos A，所以 cos A＝ ，又A∈（0，π），所以A＝ .
18. （本小题满分17分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且（b－2c） cos A＋a cos B＝0.
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②求△ABC周长的范围.
解：①由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝ .
所以 ＝ .
②由余弦定理得4＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc，
所以bc＝ .
（2）若a＝2，
①求 的值；
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又b＋c≥2 ，
所以（b＋c）2≥4· ，
即（b＋c）2≤16，所以－4≤b＋c≤4.
又b＋c＞a＝2，所以2＜b＋c≤4.
故4＜a＋b＋c≤6，
即△ABC周长的范围为（4，6].
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19. （本小题满分17分）如图，△ABC的顶点是三个战略岛屿，各岛屿之
间建有资源补给站，在图中的点D，E，F上，岛屿A到补给站D的距离
为岛屿A到B的 ，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，
补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上.设 ＝a，
＝b.
（1）用a，b表示 ， ；
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解：由题知 ＝ ，点E为AC的中点， ＝ ，
因为 ＝a， ＝b，所以 ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝ a－ b，
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ a＋ b.
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（2）若三个岛屿围成的△ABC的面积为10（ ＋1）平方千米，且满足
＋ ＝1，求岛屿A和岛屿C之间距离的最小值.
解：由 ＋ ＝1，可得4 cos A sin B＋3 cos B sin
A＝ sin A sin B，
即3 cos A sin B＋3 cos B sin A＝ sin A sin B－ cos A sin B，
可得3 sin （A＋B）＝ sin B（ sin A－ cos A），即3 sin C＝
sin B（ sin A－ cos A），
设AB＝c，AC＝b，由正弦定理知3c＝b（ sin A－ cos A）.
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因为S△ABC＝ bc sin A＝ ＝
＝ （1－ cos 2A－ sin 2A）＝10（ ＋1），
所以b2＝ ＝ ，因为3c＝b（ sin A－ cos A）
＞0，所以 ＜A＜π，所以 ＜2A＋ ＜ ，
所以当2A＋ ＝ ，即A＝ 时，b2取得最小值120，即b的最小值为
2 ，所以岛屿A和岛屿C之间距离的最小值为2 千米.
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THANKS
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