章末整合提升 体系构建 素养提升

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章末整合提升 体系构建 素养提升
体系构建
素养提升
一、向量的线性运算
　向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以
及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性
运算求参数等.
【例1】　（1）已知向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，那么
2a－b＝（　C　）
A. （4，0） B. （0，4）
C. （4，－8） D. （－4，8）
解析： 因为a∥b，所以1×4＝－2×m，解得m＝－2，所以b＝（－
2，4），所以2a－b＝2（1，－2）－（－2，4）＝（4，－8）.
C
（2）设D，E为△ABC所在平面内两点， ＝ ， ＝2 ，则
＝（　B　）
A. － ＋ B. －
C. － D. － ＋
解析： 如图，因为 ＝ ， ＝2 ，所以 ＝
， ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
＋ （ － ）＝ － .故选B.
B
【反思感悟】
向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的
结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用时要
注意向量的大小和方向两个方面.
二、向量的数量积运算（考教衔接）
平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的
数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等.
教材原题　（教材P60复习参考题第8题）已知向量a＝（1，0），b＝
（1，1）.当λ为何值时，a＋λb与a垂直？
【例2】　（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，
x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析：　法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2
－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D.
D
法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4
（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所
以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，
解得x＝2.故选D.
变式1　计算向量的模
（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝
2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　）
A. B.
√
C. D. 1
解析：　因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝
2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋
6b2＝4，从而｜b｜＝ .故选B.
变式2　计算向量的夹角
已知单位向量a，b满足｜a－b｜＝ ，则a与a＋b的夹角为（　　）
A. B.
解析：　由｜a－b｜＝ ，｜a｜＝｜b｜＝1得2－2a·b＝3，即
a·b＝－ ，所以｜a＋b｜2＝2＋2a·b＝1，所以｜a＋b｜＝1，易知
a·（a＋b）＝1＋a·b＝ ，所以 cos ＜a，a＋b＞＝
＝ ＝ ，又0≤＜a，a＋b＞≤π，所以a与a＋b的夹
角为 .故选B.
C. D.
√
变式3　计算向量的数量积
在△ABC中，BC＝6，AB＝4，∠CBA＝ ，D为AC的中点，E在BC
上，且 · ＝0，则 · ＝（　　）
A. 16 B. 12
C. 8 D. －4
√
解析：　以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（4，0），B（0，0），C（0，6），D（2，3），
＝（2，3）， ＝（0，6），设E（0，b），则 ＝
（－4，b），由 · ＝0得（－4，b）·（2，3）＝
0，即－8＋3b＝0，所以b＝ ，所以E（0， ），所以
＝（－4， ），所以 · ＝16.故选A.
变式4　计算向量的投影向量
已知向量a与向量b的夹角为 ，｜a｜＝ ｜b｜，则b－2a在a上的投
影向量为（　　）
A. － a B. － a
√
C. a D. a
解析：　因为向量a与向量b的夹角为 ，｜a｜＝ ｜b｜，所以
a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＝ ｜b｜2，则b－2a在a上的投影向量为
·a＝ ·a＝ ·a＝－ a.故选A.
【反思感悟】
1. 向量数量积的两种计算方法
（1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a｜｜
b｜ cos θ；
（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b
＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2.
2. 利用向量数量积可以解决以下问题
（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均为非零向量）：
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
（2）求向量的夹角和模的问题：
设a＝（x1，y1），则｜a｜＝ ；
两向量夹角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b为非零向量） cos θ＝ ＝
.
三、余弦定理、正弦定理
主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角
形的面积，以及余弦定理、正弦定理与三角恒等变换公式的综合应用.
（1）求a的值；
解： 由 ＝ 得a＝ c，
由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac cos B，即 c2＋c2－25＝2× c×c× ，
得 c2－25＝ c2，得c＝6，故a＝ c＝4.
【例3】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知 cos B
＝ ，b＝5， ＝ .
（2）求 sin A的值.
解： 因为 cos B＝ ，所以 sin B＝ ＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，
得 sin A＝ .
【例4】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分
别为a，b，c.已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab.
（1）求B；
解：由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab cos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ ab，可得 cos C＝ ＝ ＝ ，
因为C∈（0，π），所以C＝ ，
又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B，
即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ .
（2）若△ABC的面积为3＋ ，求c.
解：由（1）可得A＝ ，
则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，由正弦定理
有 ＝ ，从而a＝ · c＝ c，
又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1），
将a＝ c代入，解得c＝2 .
【反思感悟】
在解决解三角形、判断三角形的形状、求三角形面积等问题时，首先要结
合已知条件，恰当地选用余弦定理或正弦定理求解；其次就是解题过程中
要注意边角的互化和等式的恒等变形.
四、余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用
　余弦定理和正弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用，常见的问题涉
及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关
键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求
解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
【例5】　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋ ）n mile的两
个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发
出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援
船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长
时间？
解：由题意知AB＝5（3＋ ）n mile，∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝45°，
∴∠ADB＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得 ＝ ，
∴DB＝ ＝
＝
＝ ＝10 （n mile）.
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）
＝60°，BC＝20 n mile，
∴在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC· cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×10 ×20 × ＝900，
∴CD＝30 n mile，
∴该救援船到达D点需要的时间为 ＝1（h）.
【反思感悟】
正、余弦定理在实际应用中应注意的问题
（1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；
（2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方
位角等；
（3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知
识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解
此三角形；
（4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数
据，尽量减少计算中误差的积累.
THANKS
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