7.1.1　数系的扩充和复数的概念

(共49张PPT)
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
1.通过方程的解，了解引进复数的必要性（数学抽象）.
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件（逻辑推理）.
课标要求
　　16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5＋ 和5－ ”就可以满足要求. 能作为“数”吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？
情景导入
知识点一　复数的有关概念
01
知识点二　复数的分类
02
知识点三　复数相等
03
目录
课时作业
04
知识点一
复数的有关概念
01
PART
问题1　（1）正实数的平方根有两个，0的平方根是0，负实数有平方
根吗？
提示：在实数范围内，负实数无平方根.
（2）我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像
前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
提示：能，我们设想引入一个新数i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x
＝±i.
【知识梳理】
1. 定义：我们把形如 （a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫
做虚数单位， 所构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫做
复数集.
2. 表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a
与b分别叫做复数z的 与 .
　　提醒：（1）i2＝－1；（2）i和实数之间能进行加法、乘法运算.
a＋bi　
全体复数　
实部　
虚部　
【例1】　已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实
数a＝（　　）
A. －3 B. 3
C. －1 D. 1
解析：　复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则
－a＝1，解得a＝－1.
C
【规律方法】
若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且
注意虚部不是bi，而是b.
训练1　已知复数x＋y＋（2－x）i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和
y的值分别是（　　）
A. 2，－4 B. 2，5
C. －2，4 D. －2，5
解析：　由复数x＋y＋（2－x）i的实部和虚部分别为3和4，x，
y∈R，可得 解得 故选D.
√
知识点二
复数的分类
02
PART
问题2　（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以是实数吗？需满足什么条件？
提示：可以是实数.当b＝0时，z＝a＋bi（a，b∈R）为实数.
（2）如何利用集合关系表示实数集R和复数集C？
提示：R C.
【知识梳理】
1. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下：
复数
2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系.
　　提醒：（1）两个虚数不能比较大小；（2）a＝0是复数z＝a＋bi
（a，b∈R）为纯虚数的必要不充分条件.
【例2】　（链接教材P69例1）当实数m取什么值时，复数z＝ ＋
（m2－2m）i是下列数？
（1）实数；
解： 当 即m＝2时，复数z是实数.
（2）虚数；
解：当 即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.
（3）纯虚数.
解：当 即m＝－3时，复数z是纯虚数.
【规律方法】
解决复数分类问题的方法（步骤）
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形
式，以确定实部和虚部；
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的
条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等
式）即可；
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）：①z为实数 b＝
0；②z为虚数 b≠0；③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
训练2　（1）若复数z＝（x2－100）＋（x－10）i为纯虚数，则实数x＝
（　A　）
A. －10 B. 10
C. 100 D. －10或10
解析： ∵z为纯虚数，∴x2－100＝0同时x－10≠0，∴x＝－10.故
选A.
（2）若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值为 .
解析： ∵z＜0，∴ 解得m＝－3.
A
－3　
03
PART
知识点三
复数相等
问题3　复数z＝a＋bi（a，b∈R）是由其实部a与虚部b唯一确定，若
a＋bi＝2＋3i，那么a，b的值分别是什么？
提示：a＝2，b＝3.
【知识梳理】
复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di .特别
地，a＋bi＝0 .
a＝c且b＝d　
a＝b＝0　
【例3】　（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m
的值；
解：由已知得
解得m＝－2.
（2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值.
解：因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R，
依题意，得
解得 或
【规律方法】
复数相等问题的解题技巧
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相
等列方程组求解；
（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思
想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
训练3　（1）若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝
a＋bi的虚部为（　D　）
A. －i B. －1
C. 2i D. 2
解析：因为2＋ai＝b－i，a，b∈R，所以a＝－1，b＝2，故复数
z＝a＋bi＝－1＋2i，其虚部为2.故选D.
D
解析： 因为z1＝z2，所以2－ai＝b－1＋2i（a，b∈R），所以
解得 故选D.
（2）已知复数z1＝2－ai，z2＝b－1＋2i（a，b∈R，i为虚数单位），
且z1＝z2，则（　D　）
A. a＝－1，b＝1 B. a＝2，b＝－3
C. a＝2，b＝3 D. a＝－2，b＝3
D
1. 设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（　　）
A. －1 B. 1
C. 5 D. 7
解析：　由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和为－1.
故选A.
√
2. 设a∈R，1＋a2i＝a＋i（i为虚数单位），则a＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 1或－1
解析：　因为a∈R，1＋a2i＝a＋i，所以有1＝a，a2＝1，即a＝1.故
选C.
√
3. 设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关
系为（　　）
A. A B C B. B A C
C. B C A D. A C B
解析：　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非
纯虚数，因此只有B正确.故选B.
√
4. 当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i
（m∈R）是下列数？
（1）实数；
解： 若z是实数，则m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
（2）虚数；
解： 若z是虚数，则m2－m－2≠0，解得m≠2且m≠－1.
（3）纯虚数.
解： 若z是纯虚数，则 解得m＝－3.
课堂小结
1.理清单
（1）复数的概念及分类；
（2）复数相等的充要条件.
2.应体会
在解决复数问题时，一般根据实部、虚部列出有关方程（组）求解，体
现了方程思想的运用.
3.避易错
复数z＝a＋bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0.
课时作业
04
PART
1. 若z＝a＋（a2－1）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则a的值为
（　　）
A. 0 B. 1
C. －1 D. 1或－1
解析：　若z＝a＋（a2－1）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则a2－1
＝0，所以a＝±1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 已知2－ai＝b＋3i（a，b∈R）（i为虚数单位），则a＋b＝（　　）
A. 5 B. 6
C. 1 D. －1
解析：　依题意b＝2且3＝－a，则a＋b＝－1.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 以－ ＋2i的虚部为实部，以 i＋2i2的实部为虚部的新复数是
（　　）
A. 2－2i B. － ＋ i
C. 2＋i D. ＋ i
解析：　由题意知，复数－ ＋2i的虚部为2，复数 i＋2i2＝ i＋
2×（－1）＝－2＋ i的实部为－2，则所求的新复数是2－2i.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 若z1＝（m2＋m＋1）＋（m－4）i，z2＝3－3i，则“m＝1”是“z1＝
z2”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　若z1＝z2，则 解得m＝1.“所以m＝1”是
“z1＝z2”的充要条件.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 〔多选〕对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），下列说法中错误的是（　　）
A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B. 若z＝3－2i，则a＝3，b＝2
C. 若b＝0，则a＋bi为实数
D. 若a＝b＝0，则z不是复数
解析： 　对于A，当且仅当a＝0，b≠0时，a＋bi为纯虚数，故A中
说法错误；对于B，若z＝3－2i，则a＝3，b＝－2，故B中说法错误；对
于C，若b＝0，则a＋bi为实数，故C中说法正确；对于D，若a＝b＝0，
则z＝0是复数，故D中说法错误.故选A、B、D.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕下列命题为真命题的是（　　）
A. 复数集是实数集与纯虚数集的并集
B. x＝i是方程x2＋1＝0的解
C. 已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0
D. i是－1的一个平方根
解析： 　复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x＝i时，
x2＋1＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说明z1，z2都是实
数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i的定义，D为真命题.故
选B、C、D.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝ .
解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，则 所以x＋yi＝2＋i.
2＋i　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 若复数z＝m＋（m2－1）i（m∈R）满足z＜0，则m＝ .
解析：由复数z＝m＋（m2－1）i＜0，得 解得m＝－1.
－1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 若复数z＝ sin 2α－（1－ cos 2α）i是纯虚数，则α＝
.
解析：由题意知 sin 2α＝0，1－ cos 2α≠0，∴2α＝2kπ＋π（k∈Z），
∴α＝kπ＋ （k∈Z）.
kπ＋
（k∈Z）　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 分别求满足下列条件的实数x，y的值.
（1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i；
解： 因为x，y∈R，所以由复数相等的充要条件得
解得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2） ＋（x2－2x－3）i＝0.
解： 因为x∈R，所以由复数相等的充要条件得
即 所以x＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 已知复数z＝a2＋（2a＋3）i（a∈R）的实部大于虚部，则实数a的
取值范围是（　　）
A. （－1，3）
B. （－∞，－1）∪（3，＋∞）
C. （－3，1）
D. （－∞，－3）∪（1，＋∞）
解析：　由已知可得a2＞2a＋3，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－
1，因此，实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，
且z＝m＋ni，则复数z＝（　　）
A. 3＋i B. 3－i
C. －3－i D. －3＋i
解析：　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即 解
得 ∴z＝3－i.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知M＝{1，（m2－2m）＋（m2＋m－2）i}，P＝{－1，1，4i}，
若M∪P＝P，则m＝ .
解析：∵M∪P＝P，∴M P，∴（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝－1
或（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝4i.由（m2－2m）＋（m2＋m－2）i
＝－1得 解得m＝1；由（m2－2m）＋（m2＋m－2）i
＝4i得 解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.
1或2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 当实数m为何值时，复数z＝ ＋（m2＋m－6）i是（1）实
数？（2）虚数？（3）纯虚数？
解：（1）若z是实数，则 解得m＝2，
所以当m＝2时，z是实数.
（2）若z是虚数，则 解得m≠2且m≠－3，
所以当m≠2且m≠－3时，z是虚数.
（3）若z是纯虚数，则 解得m＝3或m＝4，
所以当m＝3或m＝4时，z是纯虚数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2 sin θ＋（ cos θ－2）i（其
中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.
（1）若z1为纯虚数，求实数m的值；
解： ∵z1为纯虚数，∴ 解得m＝－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
解： 由z1＝z2，得
∴λ＝4－ cos 2θ－2 sin θ＝ sin 2θ－2 sin θ＋3＝（ sin θ－1）2＋2.
∵－1≤ sin θ≤1，
∴当 sin θ＝1时，λmin＝2，
当 sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看