7.1.2　复数的几何意义

(共57张PPT)
7.1.2　复数的几何意义
1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系（直观想象）.
2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系（直观想象）.
3.通过向量的模表示复数的模（数学运算）.
课标要求
　　大自然中有许多一一对应关系，数学中也有许多一一对应关系，例如同学们所在班级里的座位与每一位同学就是一一对应关系.
　　为了增强复数的应用性，使复数不仅有“数”的特征，还要有“形”的特征，引入了复平面的概念，从“形”的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.
情景导入
知识点一　复数与复平面内点的关系
01
知识点二　复数与复平面内向量的关系
02
知识点四　共轭复数
04
目录
课时作业
05
知识点三 　复数的模
03
知识点一
复数与复平面内点的关系
01
PART
问题1　有序实数对是和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上
的点一一对应吗？
提示：复数a＋bi（a，b∈R）实质上是实数的有序实数对（a，b），
所以复数可以和坐标平面上的点一一对应.
【知识梳理】
1. 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 叫做实
轴， 叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点
都表示纯虚数.
2. 复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋
bi 复平面内的点Z（a，b），这是复数的一种几何意义.
　　提醒：复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点是（a，b），而不是
（a，bi）.
x轴　
y轴　
【例1】　在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对
应的点：
（1）在虚轴上；
解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i在复平面内对应的点为
（m2－2m－8，m2＋3m－10）.
（1）由题意得m2－2m－8＝0.
解得m＝－2或4.
（2）第二象限；
解： 由题意， ∴2＜m＜4.故实数m的取值范
围是（2，4）.
（3）在直线y＝x上.
分别求实数m的值或范围.
解： 由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝ .
【规律方法】
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用
复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据；
（2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过
解方程（组）或不等式（组）求解.
训练1　（1）已知a，b∈R，那么在复平面内复数a－bi，－a－bi对应
的点（　　）
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称 D. 关于直线y＝x对称
√
解析：在复平面内复数a－bi对应的点为（a，－b），－a－bi对
应的点为（－a，－b），两点关于y轴对称.
（2）当 ＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋（m－1）i（i为虚数单位）在
复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
√
解析： 当 ＜m＜1时，3m－2＞0，m－1＜0，所以复数z在复平面内对应
的点在第四象限.
知识点二
复数与复平面内向量的关系
02
PART
问题2　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对
来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，试想复数与平面向量存在对
应关系吗？
提示：存在，在复平面内，复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点Z（a，
b），点Z（a，b）对应向量 ，则复数与平面向量存在对应关系.
【知识梳理】
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量 由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量 唯一确定.
　　提醒：复数与平面向量一一对应
　
【例2】　（链接教材P71例2（1））在复平面内的长方形ABCD的四个顶
点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对
应的复数.
解：记O为复平面的原点，
由题意得 ＝（2，3）， ＝（3，2）， ＝（－2，－3）.
设 ＝（x，y），则 ＝（x－2，y－3）， ＝（－5，－5）.
由题意知， ＝ ，所以 即
故点D对应的复数为－3－2i.
【规律方法】
复数与平面向量的对应关系
根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量
的终点对应的复数即为向量对应的复数；反之复数对应的点确定后，从原
点引出的指向该点的有向线段表示的向量，即为复数对应的向量.
训练2　（1）设在复平面内，复数2＋3i和3－i对应的点分别为A，B，则
向量 表示的复数所对应的点位于（　D　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D
解析： 由复数的几何意义知，A（2，3），B（3，－1），故 ＝
（1，－4），所以 表示的复数所对应的点为（1，－4），位于第四象
限.故选D.
（2）若O为复平面的原点，向量 对应的复数是5－4i，向量 对应
的复数是－5＋4i，则 ＋ 对应的复数是（　C　）
A. －10＋8i B. 10－8i
C. 0 D. 10＋8i
C
解析： 由复数的几何意义，可得 ＝（5，－4）， ＝（－5，4），
所以 ＋ ＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），所以 ＋
对应的复数为0.
知识点三
复数的模
03
PART
【知识梳理】
1. 定义：向量 的 叫做复数z＝a＋bi的 或绝对值.
2. 记法：复数z＝a＋bi的模记作 .
3. 公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ （a，b∈R）.
模　
模　
｜z｜或｜a＋bi｜　
　
【例3】　（链接教材P71例2（2）及P72例3）已知复数z1＝ －i，z2＝
－ ＋ i.
（1）求｜z1｜，｜z2｜的值并比较大小；
解： ｜z1｜＝｜ －i｜＝ ＝2，
｜z2｜＝ ＝ ＝1.
所以｜z1｜＞｜z2｜.
（2）设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足｜z2｜≤｜z｜≤｜
z1｜的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示.
解： 由｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜，得1≤｜z｜≤2.
不等式1≤｜z｜≤2等价于不等式组
因为满足｜z｜≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半
径为2的圆及其内部（包括边界），
而满足｜z｜≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径
为1的圆的外部（包括边界），
所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括边界），如图中阴影部分所示.
【规律方法】
1. 复数的模的计算：计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利
用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
2. 复数模的几何意义：（1）｜z｜表示点Z到原点的距离，可依据｜z｜
满足的条件判断点Z的集合表示的图形；（2）利用复数模的定义，把模的
问题转化为几何问题解决.
训练3　（1）若复数 ＋ i（a∈R）为纯虚数，则｜3－ai｜＝
（　A　）
A. B. 13
C. 10 D.
解析： 由于复数 ＋ i（a∈R）为纯虚数，则 则a
＝－2，所以｜3－ai｜＝｜3＋2i｜＝ ＝ .
A
（2）设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，｜z1｜＝2，z2＝
3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为（　C　）
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
解析： 因为｜z1｜＝2，说明复数z1在复平面内对应的点Z1到原点的
距离为2，这样的点Z1的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.z2在复平面
内对应的点为Z2（0，3），则最大值为点Z2（0，3）到圆心O的距离加上
半径，即3＋2＝5.
C
04
PART
知识点四
共轭复数
问题3　复数z1＝a＋bi（a，b∈R）与z2＝a－bi（a，b∈R）对应的点
有什么关系？它们的模之间有什么关系呢？
提示：它们对应的点关于实轴对称且｜z1｜＝｜z2｜.
【知识梳理】
1. 定义：一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，
这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做
.
2. 表示：复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi，那么 ＝
.
相等　
互为相反数　
共轭
虚数　
a－
bi　
【例4】　〔多选〕已知复数z＝4－3i，则下列命题中正确的为（　　）
A. ｜ ｜＝5
B. ＝4＋3i
C. 的虚部为－3i
D. 在复平面上对应的点在第二象限
解析：　因为z＝4－3i，则 ＝4＋3i，故B正确； 的虚部为3，故C错
误；｜ ｜＝ ＝5，故A正确； 在复平面上对应的点是（4，
3），在第一象限，故D错误.故选A、B.
AB
【规律方法】
共轭复数的特点
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数为 ＝a－bi；
（2）两个共轭复数的对应点关于实轴对称；
（3）互为共轭复数的两个复数的模长相等.
训练4　已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数a＋i与－1＋bi互为共轭复
数，则（　　）
A. a＝－1，b＝1 B. a＝－1，b＝－1
C. a＝1，b＝1 D. a＝1，b＝－1
解析：　因为复数a＋i与－1＋bi互为共轭复数，所以 故
选B.
√
1. 复平面内复数z对应的向量为 ，且 ＝（－1，－2），则｜z｜＝
（　　）
A. B. 3
C. 5 D. （－1，2）
解析：　由题意，复数的模即为其对应的向量的模，故｜z｜＝
＝ .
√
2. 已知复数z＝1－2i，则z的共轭复数 对应的点位于复平面的（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为z＝1－2i，所以 ＝1＋2i，所以复数 在复平面内对应的
点为（1，2），位于第一象限.故选A.
√
3. 复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，则向量 表示的复数
是 .
解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，所以 ＝（4，
3）， ＝（－2，－5），又 ＝ － ＝（－2，－5）－（4，3）
＝（－6，－8），所以向量 表示的复数是－6－8i.
－6－8i　
4. 设z∈C，且满足｜z｜＜3，则复数z对应的点Z的集合是什么图形？
解：设z＝x＋yi（x，y∈R），则｜z｜＝ .
由题意知 ＜3，x2＋y2＜9.
所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆的内部（不
包括边界）.
课堂小结
1.理清单
（1）复数与复平面内的点、向量之间的对应关系；
（2）复数的模及几何意义；
（3）共轭复数.
2.应体会
复数z＝a＋bi（a，b∈R）与点Z（a，b）、向量 一一对应，研究
三者的关系应用了数形结合的思想方法；复数的模及共轭复数都是把复
数问题实数化，体现了转化与化归的思想方法.
3.避易错
平面坐标系中的x、y轴与复平面内的实轴、虚轴的不同.
课时作业
05
PART
1. 如图，复平面内点P所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（　　）
A. 2＋2i B. 3＋i
C. 3＋3i D. 3＋2i
解析：　由题意可知，点P的坐标为（3，2），所以复平面内点P所表
示的复数为3＋2i.故选D.
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√
2. 设复数z＝5－12i，则｜ ｜＝（　　）
A. 7 B. 12
C. 13 D. 25
解析：　复数z＝5－12i，则 ＝5＋12i，所以｜ ｜＝ ＝13.
故选C.
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3. 已知复数z＝（1＋x）＋i（i为虚数单位，x∈R）在复平面内对应的点
在第二象限，则x的取值范围是（　　）
A. （－∞，－1） B. （－1，0）
C. （－∞，0） D. （0，1）
解析：　复数z＝（1＋x）＋i（i为虚数单位，x∈R）在复平面内对应
的点在第二象限，则1＋x＜0，解得x＜－1，即x的取值范围是（－∞，
－1）.故选A.
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4. 已知O为坐标原点，复数z1＝1＋i，z2＝2＋mi分别表示向量 ，
，若 ⊥ ，则m＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. －2
解析：　由已知得 ＝（1，1）， ＝（2，m），又因为
⊥ ，所以 · ＝2＋m＝0，解得m＝－2.故选D.
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5. 〔多选〕在复平面内，复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜
｜＝ .点Z与Z1关于x轴对称.则点Z对应的复数z＝（　　）
A. 1－ i B. 1＋ i
C. 1－i D. 1＋i
解析： 　由于复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜ ｜＝
，所以｜ ｜＝ ＝ ，所以a＝±1，Z1（1，1）或
Z1（1，－1），又点Z与Z1关于x轴对称，所以点Z（1，－1）或Z（1，
1），所以复数z＝1－i或1＋i.故选C、D.
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6. 〔多选〕设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是
（　　）
A. ｜z｜＝
B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限
C. z的共轭复数为－1＋2i
D. 复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
解析： 　｜z｜＝ ＝ ，A正确；复数z在复平面
内对应的点的坐标为（－1，－2），在第三象限，B不正确；z的共轭复数
为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点（－1，－2）不在直线y＝
－2x上，D不正确.故选A、C.
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7. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，2），则 ＝ .
解析：因为复数z对应的点的坐标是（－1，2），所以z＝－1＋2i，因此
＝－1－2i.
－1－2i　
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8. 已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－
，则 ＝ 　－ －2i　.
解析：依题意，设z＝－ ＋yi，y＞0，由题意得｜z｜＝
＝3，解得y＝2，所以 ＝－ －yi＝－ －2i.
－ －2i　
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9. 已知复数z1＝a＋bi，z2＝4＋ai（a，b∈R），若｜z1｜＜z2，则b的
取值范围是 .
解析：因为｜z1｜＜z2，所以z2为实数，故a＝0，又 ＜4，即｜
b｜＜4，所以－4＜b＜4，则b的取值范围是（－4，4）.
（－4，4）　
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10. 在复平面内，O是原点，向量 对应的复数为2＋i.
（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量 对应的复数；
解： 设向量 对应的复数为z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），
则点B的坐标为（x1，y1），
由题意可知，点A的坐标为（2，1），
根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，
故z1＝2－i.
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（2）如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.
解：（设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），
则点C的坐标为（x2，y2），由（1）可得，点B的坐标为（2，－1），
由对称性可知x2＝－2，y2＝－1，
故z2＝－2－i.
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11. 已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合是
（　　）
A. 1个圆 B. 线段
C. 2个点 D. 2个圆
解析：　由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3或｜z｜
＝－1.∵｜z｜≥0，∴｜z｜＝3，∴复数z对应的点的集合是以坐标原点
为圆心，3为半径的圆.
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12. 〔多选〕已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（　　）
A. 若z1＝z2，则｜z1｜＝｜z2｜
B. 若z1≠z2，则｜z1｜和｜z2｜可能相等
C. 若z1＞z2，则｜z1｜＞｜z2｜
D. 若｜z1｜＞｜z2｜，则z1＞z2
解析： 　因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A正确；当两个复
数不相等时，它们的模有可能相等，比如1－i≠1＋i，但｜1－i｜＝｜1＋
i｜，所以B正确；若z1＞z2，则z1，z2为实数，当z1＝1，z2＝－2时，满足
z1＞z2，但｜z1｜＜｜z2｜，故C错误；因为两个虚数之间只有相等与不
等，不能比较大小，所以D错误.
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13. 在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量 和 ，其中O为坐标
原点，则线段AB的中点所对应的复数为 .
解析：由复数的几何意义可得A（1，1），B（1，3），所以线段AB的中
点为M（1，2），故线段AB的中点所对应的复数为1＋2i.
1＋2i　
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14. 四边形ABCD为复平面内的平行四边形，O为坐标原点，向量 对应
的复数为5， 对应的复数为－2－3i， 对应的复数为－6＋4i.
（1）求点D对应的复数；
解： 由题意知， ＝（5，0）， ＝（－2，－3）， ＝（－
6，4）.
∵ ＝ ＋ ，且 ＝ ，∴ ＝ ＋ ＝（5，0）＋（－6，
4）＝（－1，4），
∴D（－1，4），则点D对应的复数为－1＋4i.
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（2）判断A，B，C，D四点是否在同一个圆上，并证明你的结论.
解： A，B，C，D四点在同一个圆上，证明如下：由（1）可知，
· ＝0，则 ⊥ ，即AB⊥BC.
∴平行四边形ABCD为矩形，∴A，B，C，D四点共圆.
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15. 已知x为实数，复数z＝x－2＋（x＋2）i.
（1）当x为何值时，复数z的模最小？
解： 由题意得｜z｜＝ ＝
≥2 ，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2 .
（2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝
－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求 ＋ 的最小值及取得最小值时m，
n的值.
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解： 由（1）知当x＝0时，复数z的模最小，则Z（－2，2）.
因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.
又mn＞0，所以m＞0，n＞0.
所以 ＋ ＝ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋ ，当且仅当 ＝
，即n2＝2m2时等号成立.
又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－ ，n＝2 －2.
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演示完毕 感谢观看