7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义

(共52张PPT)
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
1.通过实例，结合实数的加、减运算法则，理解复数代数形式的加、减运算法则（数学抽象）.
2.结合向量的加、减运算，明确复数代数形式的加、减运算的几何意义（数学运算）.
课标要求
　　1777年，数学家欧拉首次提出用i表示平方等于－1的新数，
1801年，数学家高斯系统使用了i这个符号，使之通行于世.我们
知道实数可以进行加减乘除四则运算，且运算的结果仍为一个实
数，那么复数呢？
情景导入
知识点一　复数的加、减运算
01
知识点二　复数加、减运算的几何意义
02
提能点　复数模的最值问题
03
目录
课时作业
04
知识点一
复数的加、减运算
01
PART
【知识梳理】
1. 运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个
复数，则
（1）z1＋z2＝ ；
（2）z1－z2＝ .
（a＋c）＋（b＋d）i　
（a－c）＋（b－d）i　
2. 加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有
（1）交换律：z1＋z2＝ ；
z2＋z1　
（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝ .
z1＋（z2＋z3）　
【例1】　（链接教材P76例1）（1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋
（3 ＋7i）；
解： （8－2i）－（－7＋5i）＋（3 ＋7i）＝[8－（－7）＋3 ]
＋（－2－5＋7）i＝15＋3 .
（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－
z2.
解： ∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
∴（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，
∴ ∴
∴z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i.
【规律方法】
复数加、减运算的解题思路
复数与复数相加减，类似于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实
部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）.
训练1　（1）复数（1＋2i）－（3－4i）在复平面内对应的点在（　B　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 由复数（1＋2i）－（3－4i）＝－2＋6i，可得其在复平面内对
应的点为（－2，6），位于第二象限.故选B.
B
（2）已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝ .　
解析： 法一　设z＝x＋yi（x，y∈R），因为z＋1－3i＝5－2i，所
以x＋yi＋1－3i＝5－2i，即 解得 所以z＝4＋i.
4＋i　
法二　因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝（5－2i）－（1－3i）＝4＋i.
知识点二
复数加、减运算的几何意义
02
PART
问题1　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面
向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
提示：设 ＝（a，b）， ＝（c，d），则 ＋ ＝（a，
b）＋（c，d）＝（a＋c，b＋d）.
几何意义是以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线.
【知识梳理】
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为 ， ，四边形OZ1ZZ2为
平行四边形，向量 与复数 对应，向量 与复数
对应.
z1＋z2　
z1－
z2　
【例2】　（链接教材P77例2）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，
A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求：
（1） 对应的复数；
解： 因为 ＝－ ，所以 对应的复数为－3－2i.
（2） 对应的复数；
解： 因为 ＝ － ，所以 对应的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i.
（3） 对应的复数及｜ ｜的大小.
解： 因为 ＝ ＋ ，所以 对应的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，
所以｜ ｜＝ ＝ .
【规律方法】
1. 复数z与复平面内的向量 是一一对应的关系，复数的加法可以按照
向量的加法来进行运算，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行
四边形法则.
2. 类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算.
训练2　（1）已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，点A，B，C
对应的复数分别为i，1，4＋2i，则｜BD｜＝（　B　）
A. 5 B.
C. D.
解析： 由题意得A（0，1），B（1，0），C（4，2），则 ＝
（－1，1）， ＝（3，2），∴ ＝ ＋ ＝（2，3），∴｜BD｜
＝｜ ｜＝ ＝ .
B
（2）已知复平面内的向量 ， 对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，
则｜ ｜＝ .
解析： ∵ ＝ ＋ ，∴ 对应的复数为（－2＋i）＋（3＋
2i）＝1＋3i，∴｜ ｜＝ ＝ .
　
03
PART
提能点
复数模的最值问题
问题2　根据复数及其运算的几何意义，你能求出复平面内的两点Z1
（x1，y1），Z2（x2，y2）之间的距离吗？
提示：因为复平面内的点Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）对应的复数分别为
z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为｜Z1Z2｜＝｜
｜＝｜z2－z1｜＝｜（x2＋y2i）－（x1＋y1i）｜＝｜（x2－x1）＋
（y2－y1）i｜＝ .
【例3】　复数z满足｜z＋3＋4i｜＝2，且复数z在复平面内的对应点为P.
（1）确定点P的集合构成图形的形状；
解： 由题意可知｜z－（－3－4i）｜＝2，
即复数z在复平面内对应的点P与复数－3－4i在复平面内对应的点Q的距离为2，复数z在复平面内对应的点在复平面内的轨迹为如图所示的圆心为Q（－3，－4），半径为2的圆.
（2）求｜z｜的最大值.
解： 由图可知，｜z｜的最大值为圆Q上的点到原点O的最大距离，
显然在点M处取得，
则｜z｜的最大值为 ＋2＝7.
【规律方法】
两个复数差的模的几何意义
（1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝
对值号内变为两复数差的形式；
（2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式
的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
训练3　（1）若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围
成的图形的面积为 ；
解析： 由条件知｜z－i｜＝3，所以点Z的轨迹是以点（0，1）为圆
心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.
9π　
（2）设z∈C，且｜z＋1｜－｜z－i｜＝0，则｜z＋i｜的最小值
为 .
解析： 因为由｜z＋1｜－｜z－i｜＝0，得｜z＋1｜＝
｜z－i｜，所以复数z表示以A（－1，0），B（0，1）
为端点的线段的垂直平分线OM，设复数－i对应点
C（0，－1），｜z＋i｜表示点Z到点C（0，－1）的距离.
当CM⊥OM时，｜z＋i｜取到最小值｜CM｜.又｜CM｜＝｜OC｜ sin 45°＝ ，所以｜z＋i｜的最小值为 .
　
1. 计算（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝（　　）
A. －6－7i B. 6＋7i
C. －6＋7i D. 6－7i
解析：　（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝－6＋7i.故选C.
√
2. 设复数z＝1＋i，w＝3＋2i，则 的虚部是（　　）
A. －3 B. 3
C. －3i D. 3i
解析：　依题意得z＋w＝4＋3i，则 ＝4－3i，所以其虚部为－3.故
选A.
√
3. 若z－3i＝3＋i，则｜z｜＝（　　）
A. 3 B.
C. 5 D.
解析：　因为z－3i＝3＋i，所以z＝3＋i＋3i＝3＋4i，所以｜z｜＝
＝5.故选C.
√
4. 已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
（1）求z1－z2；
解： 由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i.
（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量.
解： 在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，
如图中 .
课堂小结
1.理清单
（1）复数代数形式的加、减运算法则及运算律；
（2）复数加、减运算的几何意义；
（3）复数模的最值问题.
2.应体会
（1）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、
减法几何意义的依据；
（2）d＝｜z1－z2｜表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观
性可求相关问题的最值.
3.避易错
（1）复数的差对应向量的方向；
（2）两个复数差的模的几何意义.
课时作业
04
PART
1. 设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则｜z｜＝（　　）
A. 6 B. 6
C. 5 D. 5
解析：　因为z＋1－2i＝－3＋i，所以z＝－4＋3i，所以｜z｜＝
＝5.故选D.
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√
2. 已知复数z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋（5m＋6）i，m为实数.若z1－z2
＝0，则m的值为（　　）
A. 4 B. －1
C. 6 D. 0
解析：　由题意可得z1＝z2，则 解得m＝－1.
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3. 已知z1＝－1－2i，且复数z满足方程｜z－z1｜＝4，那么复数z在复平
面内对应的点P组成的图形为（　　）
A. 以点（－1，－2）为圆心，4为半径的圆
B. 以点（－1，－2）为圆心，2为半径的圆
C. 以点（1，2）为圆心，4为半径的圆
D. 以点（1，2）为圆心，2为半径的圆
解析：　z1＝－1－2i在复平面内对应的点为（－1，－2），则由｜z－
z1｜＝4及｜z－z1｜的几何意义知，复数z在复平面内对应的点P组成的图
形是以点（－1，－2）为圆心，4为半径的圆.
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4. 在复平面内，O是原点， ， ， 表示的复数分别为－2＋i，3＋
2i，1＋5i，则 表示的复数为（　　）
A. 2＋8i B. －6－6i
C. 4－4i D. －4＋i
解析：　因为 ＝ － ＝ －（ ＋ ），所以 表示的复
数为3＋2i－（1＋5i－2＋i）＝4－4i.
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5. 〔多选〕若z－ ＝－14i，｜ ｜＝5 ，则z可能为（　　）
A. 1－7i B. 1＋7i
C. －1－7i D. －1＋7i
解析： 　设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi，由题意可得
解得 或 所以z＝1
－7i或z＝－1－7i.故选A、C.
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6. 〔多选〕已知复数z0＝1＋2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为
P0，复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，下列结论正确的有（　　）
A. 点P0的坐标为（1，2）
B. 复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C. 复数z在复平面内对应的点Z在一条直线上
D. 点P（0，2）与z对应的点Z间的距离的最小值为
√
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解析： 　复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0（1，2），A正确；
复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；由｜z－z0｜的
几何意义及｜z－1｜＝｜z－i｜，可知复数z对应的点Z在以点（1，
0），（0，1）为端点的线段的垂直平分线上，C正确；结合平面几何知识
知D正确.故选A、C、D.
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7. 若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝ .
解析：两式相加得2z1＝8＋2i，所以z1＝4＋i.
4＋i　
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8. 若复数z＝a＋bi（a，b∈R，i为虚数单位）满足｜z－2i｜＝｜z｜，
写出一个满足条件的复数z＝ .
解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋（b－2）i.由｜z－2i｜＝｜z｜知，
＝ ，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i
（a可为任意实数）均满足题意，可取z＝1＋i.
1＋i（答案不唯一）　
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9. 若｜z－2｜＝｜z＋2｜，则｜z－1｜的最小值是 .
解析：由｜z－2｜＝｜z＋2｜，知z对应点的集合是到（2，0）与到（－
2，0）距离相等的点的集合，即虚轴，∵｜z－1｜表示z对应的点与（1，
0）的距离，∴｜z－1｜min＝1.
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10. 计算：
（1）（2－ i）＋（ －2i）；
解： 原式＝（2＋ ）－（ ＋2）i＝ － i.
（2）（3＋2i）＋（ －2）i；
解： 原式＝3＋（2＋ －2）i＝3＋ i.
（3）（1＋2i）＋（i＋i2）＋｜3＋4i｜；
解： 原式＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i.
（4）（6－3i）＋（3＋2i）－（3－4i）－（－2＋i）.
解： 原式＝[6＋3－3－（－2）]＋[－3＋2－（－4）－1]i＝8＋2i.
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11. 复数z1＝1＋i cos θ，z2＝ sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值为（　　）
A. 3－2 B. －1
C. 3＋2 D. ＋1
解析：　｜z1－z2｜＝｜（1－ sin θ）＋（ cos θ＋1）i｜＝
＝ ＝
，∵－1≤ cos （θ＋ ）≤1，∴｜z1－z2｜max＝
＝ ＋1.
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12. 如图，在复平面内，向量 对应的复数z1＝2＋i， 绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则｜z1＋z2｜＝ .
　
解析：由题意可设z2＝a＋bi（a＜0，b＞0），
则 解得 ∴z2＝－1＋2i，∴z1＋z2＝（2＋i）＋（－1＋2i）＝1＋3i，∴｜z1＋z2｜＝ .
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13. 已知｜z1｜＝1，｜z2｜＝ ，｜z1－z2｜＝2，则｜z1＋z2｜＝ .
解析：设z1对应的向量为 ，z2对应的向量为 ，则z1－z2对应的向量
为 ，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1＋z2对应的向量为
，则由题意可得｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴ ⊥ ，∴平行
四边形OACB为矩形，∴｜ ｜＝｜ ｜，故｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜
＝2.
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14. 已知复数z1＝1＋（10－a2）i，z2＝（2a－5）i（a＞0）， ＋
z2∈R.
（1）求实数a的值；
解： 由题意得 ＝1－（10－a2）i，
所以 ＋z2＝1－（10－a2）i＋（2a－5）i＝1＋（a2＋2a－15）i，
因为 ＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3，因为a＞0，
所以a＝3.
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（2）若z∈C，｜z－z2｜＝2，求｜z｜的取值范围.
解： 由（1）知z2＝i，所以满足条件｜z－z2｜＝2的点的集合是以
（0，1）为圆心，2为半径的圆，设为圆A，所以｜z｜的取值范围即圆A
上的点到坐标原点的距离的范围，所以2－1≤｜z｜≤2＋1，即1≤｜z｜
≤3.
故｜z｜的取值范围为[1，3].
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15. 已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量
对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，求：
（1）点C，D对应的复数；
解：∵向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，
∴向量 对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又∵ ＝ ＋ ，
∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
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∵ ＝ ，
∴向量 对应的复数为3－i，
即 ＝（3，－1）.
设D（x，y），则 ＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴ 解得
∴点D对应的复数为5.
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（2）平行四边形ABCD的面积.
解： ∵ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos B，
∴ cos B＝ ＝ ＝ .
∵0＜B＜π，∴ sin B＝ .
∴S ABCD＝｜ ｜｜ ｜ sin B＝ × × ＝7.
∴平行四边形ABCD的面积为7.
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演示完毕 感谢观看