7.3＊　复数的三角表示

(共63张PPT)
7.3*　复数的三角表示
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系（数学抽象）.
2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（数学运算）.
课标要求
　　复数可以用a＋bi（a，b∈R）的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z（a，b）一一对应，与平面向量 ＝（a，b）也是一一对应的，你能用向量 的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量 所在射线（射线OZ）为终边的角θ来表示复数z吗？
情景导入
知识点一　复数的三角形式
01
知识点二　复数三角形式的乘法法则与几何意义
02
知识点三　复数三角形式的除法法则与几何意义
03
目录
课时作业
04
知识点一
复数的三角形式
01
PART
问题1　我们知道复数z＝a＋bi可以由向量 在两坐标轴方向上的投影
a，b来确定，向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量
的大小和方向这两个要素来表示复数呢？
提示：可以由复数z的模和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量 所
在射线为终边的角来表示复数z.
【知识梳理】
1. 定义：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成
的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量
所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的
. 叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角
形式.
2. 辐角的主值：我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通
常记作arg z，即0≤arg z＜2π.
r（ cos θ＋i sin
θ）　
辐
角　
r（ cos θ＋i sin θ）　
　　提醒：辐角和辐角主值的区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，
以复数z所对应的向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有
无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角
主值只有一个；辐角和辐角主值的联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
角度1　复数的代数形式化为三角形式
【例1】　（链接教材P84例1）将下列复数的代数形式化成三角形式：
（1） ＋i；
解： r＝ ＝2，所以 cos θ＝ ，
因为与 ＋i对应的点在第一象限，所以arg（ ＋i）＝ ，
故 ＋i＝2 .
（2）2－2i.
解： r＝ ＝2 ，所以 cos θ＝ ，
因为与2－2i对应的点在第四象限，所以arg（2－2i）＝ ，
故2－2i＝2 .
【规律方法】
将复数的代数形式化为三角形式的步骤
（1）求复数的模；
（2）确定辐角所在的象限；
（3）根据象限求出辐角；
（4）求出复数的三角形式.
角度2　复数的三角形式化成代数形式
【例2】　（链接教材P85例2）把下列复数的三角形式化成代数形式：
（1）4（ cos ＋i sin ）；
解： 4（ cos ＋i sin ）＝4 cos ＋（4 sin ）i＝4× ＋（4× ）i
＝2＋2 i.
（2）3（ cos ＋i sin ）.
解： 3（ cos ＋i sin ）＝3 cos ＋（3 sin ）i＝3×（－ ）＋
3×（－ ）i＝－ － i.
【规律方法】
将复数的三角形式化为代数形式的方法
复数三角形式为z＝r（ cos θ＋i sin θ），代数形式为z＝x＋yi，对应实部
等于实部，虚部等于虚部，即x＝r cos θ，y＝r sin θ.
训练1　（1）下列复数是复数三角形式表示的是（　D　）
A. B. －
C. D. cos π＋i sin π
解析： 选项A， cos 与i sin 之间要用“＋”连接，不是用“－”连
接；选项B，－ ＜0不符合r≥0的要求；选项C，i cos π与 sin π是用
“＋”连接但不是 cos π＋i sin π的形式，故A、B、C均不是复数的三角
形式.故选D.
D
（2）复数 的代数形式为 .
解析： （ cos π＋i sin π）＝ ［ cos （π＋ π）＋i sin （π＋
π）］＝ ＝ （ － i）＝1－i.
1－i　
知识点二
复数三角形式的乘法法则与几何意义
02
PART
问题2　根据复数乘法定义，两复数z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1）和z2＝r2
（ cos θ2＋i sin θ2）相乘的结果是什么呢？
提示：z1·z2＝r1（ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin θ2）
＝r1r2[（ cos θ1 cos θ2－ sin θ1 sin θ2）＋i（ sin θ1 cos θ2＋ cos θ1 sin θ2）]
＝r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）].
【知识梳理】
1. 乘法运算法则
设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2），则z1z2
＝ .
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 ，积的辐角等于各复
数的辐角的 .
r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]　
积　
和　
2. 复数乘法的几何意义
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 ， ，然后
把向量 绕点O按逆时针方向旋转角 （如果θ2＜0，就要把 绕
点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的 倍，得
到向量 ， 表示的复数就是积z1z2 （如图）.
θ2　
r2　
【例3】　（链接教材P87例3）计算：
（1）2 × ；
解： 原式＝2 ＝－2 i.
（2） （ cos 15°＋i sin 15°）×4（ cos 135°－i sin 135°）.
解： 原式＝ （ cos 15°＋i sin 15°）×4[ cos （－135°）＋i sin
（－135°）]
＝2[ cos （－120°）＋i sin （－120°）]
＝－1－ i.
【规律方法】
两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐
角.若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一
成代数形式或三角形式，然后进行相乘.
训练2　（1）设复数2－i和3－i的辐角的主值分别为α和β，则α＋β＝
（　　）
A. 135° B. 315°
C　
解析： 根据题意有2－i＝ （ cos α＋i sin α），3－i＝ （ cos β
＋i sin β），则 （ cos α＋i sin α）× （ cos β＋i sin β）＝5 [ cos
（α＋β）＋i sin （α＋β）].又（2－i）（3－i）＝5－5i，所以 cos （α＋
β）＝ ， sin （α＋β）＝－ ，而270°＜α＜360°，270°＜β＜
360°，所以α＋β＝675°.
C. 675° D. 585°
（2）设向量 对应复数z＝－ － i，把 绕原点O逆时针旋转120°
得到 ，则 对应的复数为 　 　（用代数形式表示）.
－ i
解析：根据复数乘法的几何意义，所求的复数是z＝－ － i乘一个复
数z0的积，z0的模是1，辐角的主值是120°，故所求复数是（－ －
i）·（ cos 120°＋i sin 120°）＝（－ － i）（－ ＋ i）＝ － i.
03
PART
知识点三
复数三角形式的除法法则与几何意义
问题3　根据复数除法定义，两复数z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1）和z2＝r2
（ cos θ2＋i sin θ2）（z2≠0）相除的结果是什么呢？
提示： ＝
＝
＝ [（ cos θ1 cos θ2＋ sin θ1 sin θ2）－i（ cos θ1 sin θ2－ sin θ1 cos θ2）]＝
[ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）].
【知识梳理】
1. 除法运算法则
设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2），且z2≠0，则
＝ .
即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的 ，
商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的 .
[ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]
商　
差　
2. 复数除法的几何意义
两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量 ， ，然后
把向量 绕点O按顺时针方向旋转角 （如果θ2＜0，就要把 绕
点O按逆时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为
原来的 ，得到向量 ， 表示的复数就是商
（如图）.
θ2　
　
（1） （ cos 225°＋i sin 225°）÷[（ cos 150°＋i sin 150°）]；
解： （ cos 225°＋i sin 225°）÷[（ cos 150°＋i sin 150°）]＝ [ cos （225°－150°）＋i sin （225°－150°）]＝ （ cos 75°＋i sin 75°）＝ （ ＋ i）＝ ＋ i.
【例4】　（链接教材P88例5）计算：
（2）4÷（ cos ＋i sin ）.
解：4÷（ cos ＋i sin ）＝4（ cos 0＋i sin 0）÷
（ cos ＋i sin ）＝4［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］
＝2 －2 i.
【规律方法】
两个三角形式的复数相除（除数不为0），则商还是一个复数，它的模等
于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除
数的辐角所得的差.出现复数的代数形式先转化为复数的三角形式再计算.
训练3　计算：2i÷ .
解：2i÷
＝2（ cos 90°＋i sin 90°）÷
＝4（ cos 60°＋i sin 60°）＝2＋2 i.
欧拉公式及应用
　欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数学
家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指
数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中
的天桥”.
【典例】　（1）欧拉公式ei θ＝ cos θ＋i sin θ把自然对数的底数e、虚数单
位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足（eiπ＋
i）·z＝i，则z的虚部为（　B　）
A. B. －
C. 1 D. －1
解析： 由欧拉公式知eiπ＝ cos π＋i sin π＝－1，∴（eiπ＋i）·z＝
（－1＋i）·z＝i，∴z＝ ＝ ＝ ＝ － i，∴z的虚部
为－ .故选B.
B
（2）〔多选〕欧拉公式exi＝ cos x＋i sin x（其中i为虚数单位，x∈R），
依据欧拉公式，下列选项正确的是（　BC　）
A. 复数e2i对应的点位于第三象限
B. 为纯虚数
C. 复数 的模等于
D. 的共轭复数为 － i
BC
解析： 由题知e2i＝ cos 2＋i sin 2，而 cos 2＜0， sin 2＞0，则复数e2i
对应的点位于第二象限，故A错误； ＝ cos ＋i sin ＝i，则 为纯虚
数，故B正确； ＝ ＝ ＝ ＋
i，则 的模为 ＝
＝ ，故C正确； ＝ cos ＋i sin ＝ ＋
i，其共轭复数为 － i，故D错误.故选B、C.
【迁移应用】
欧拉公式eiθ＝ cos θ＋i sin θ（e＝2.718 28…），被誉为数学上优美的数学
公式.已知 ＝ ＋ i，则θ＝（　　）
A. ＋2kπ（k∈Z） B. ＋2kπ（k∈Z）
C. ＋kπ（k∈Z） D. ＋kπ（k∈Z）
√
解析：　∵eiθ＝ cos θ＋i sin θ，∴ ＝ cos （θ＋ ）＋i sin （θ
＋ ）＝ ＋ i，∴ θ＋ ＝2kπ＋ （k∈Z），
∴θ＝2kπ＋ （k∈Z）.故选B.
1. 复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（　　）
A. z＝ （ sin 45°＋i cos 45°）
B. z＝ （ cos 45°＋i sin 45°）
C. z＝ [ cos （－45°）－i sin （－45°）]
D. z＝ [ cos （－45°）＋i sin （－45°）]
解析：　依题意得r＝ ＝ ，复数z＝1＋i对应的点在第一象
限，且 cos θ＝ ，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确.故选B.
√
2. （ cos ＋i sin ）（ cos ＋i sin ）＝ 　 （ cos ＋i sin ）　.
解析：原式＝ ［ cos （ ＋ ）＋i sin （ ＋ ）］＝ （ cos ＋i sin
）.
3. 若｜z｜＝2，arg z＝ ，则复数z＝ 　1＋ i　.
解析：由题意知，z＝2 ＝1＋ i.
（ cos ＋i sin ）　
1＋ i　
4. 计算 ＝ 　1＋ i　.
解析：
＝
＝2 ＝1＋ i.
1＋ i　
课堂小结
1.理清单
（1）复数的三角形式；
（2）复数三角形式的乘、除运算及其几何意义.
2.应体会
运用复数乘、除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向
量与复数间的对应关系.
3.避易错
（1）复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连；
（2）利用复数三角形式乘、除时，复数必须是三角形式的标准形式.
课时作业
04
PART
1. 若a＜0，则a的三角形式为（　　）
A. a（ cos 0＋i sin 0） B. a（ cos π＋i sin π）
C. －a（ cos π＋i sin π） D. －a（ cos π－i sin π）
解析：　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（ cos π＋i
sin π）.故选C.
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√
2. 复数z＝ －i的三角形式为（　　）
A. 2 B. 2
C. 2 D. 2
解析：　因为r＝2，所以 cos θ＝ ，因为z＝ －i对应的点在第四象
限，所以arg（ －i）＝ ，故z＝ －i＝2 .
√
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3. 复数（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）的三角形式是
（　　）
A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 160°＋i sin 160°
C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 160°＋i cos 160°
解析：　（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）＝（ cos 80°
＋i sin 80°）（ cos 80°＋i sin 80°）＝ cos 160°＋i sin 160°.故选B.
√
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4. 将复数i对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到向量 ，则
对应的复数是（　　）
A. ＋ i B. － ＋ i
C. － － i D. － i
解析：　i＝ cos ＋i sin ，将 绕原点按顺时针方向旋转 得到 对
应的复数为 cos ＋i sin ＝ ＋ i.
√
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5. 〔多选〕已知复数z＝1＋i（i为虚数单位），则下列说法中正确的是
（　　）
A. z的共轭复数为 ＝－1＋I B. ｜z｜＝
C. z的辐角主值是 D. ＝1＋i
√
√
√
解析： 因为z＝1＋i，所以 ＝1－i，故A错误；｜z｜＝ ＝
，故B正确；z＝ （ cos ＋i sin ），所以arg z＝ ，故C正确； ＝
＝ ＝1＋i，故D正确.故选B、C、D.
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6. 〔多选〕已知单位向量 ， 分别对应复数z1，z2，且 ·
＝0，则 可能为（　　）
A. i B. 1
解析：因为单位向量 ， 分别对应复数z1，z2，设复数z1＝ cos θ1＋i sin θ1，z2＝ cos θ2＋i sin θ2，因为 · ＝0，所以 ⊥ ，即θ1－θ2＝kπ＋ ，k∈Z，所以 ＝ ＝ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）＝ cos （kπ＋ ）＋i sin （kπ＋ ）＝±i.故选A、D.
C. －1 D. －i
√
√
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7. 复数 cos ＋i sin 的辐角主值是 　 　.
解析：原式＝ cos ＋i sin ＝ cos ＋i sin ，故其辐角主值
为 .
　
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8. 计算（ cos 40°＋i sin 40°）÷（ cos 10°＋i sin 10°）＝ .
解析：（ cos 40°＋i sin 40°）÷（ cos 10°＋i sin 10°）＝ cos （40°－
10°）＋i sin （40°－10°）＝ cos 30°＋i sin 30°＝ ＋ i.
＋ i　
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9. 已知复数z－1的一个辐角为 ，z＋1的一个辐角为 ，则复数z＝
.
解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），∵z－1＝a－1＋bi的一个辐角为 ，
∴ ＝tan ＝－ ①，∵z＋1＝a＋1＋bi的一个辐角为 ，∴ ＝tan
＝ ②，联立①②，得 ∴z＝－ ＋ i.
－
＋ i　
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10. 计算：
（1）2 × ；
解： 原式＝2× ［ cos （ ＋ π）＋i sin （ ＋ π）］＝
＝－ ＋ i.
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（2）2 （ cos －i sin ）÷［ （ cos ＋i sin ）］.
解： 原式＝2 ÷

＝2
＝2
＝－2i.
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11. 如果θ∈ ，那么复数（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）的辐角主值是
（　　）
A. θ＋ B. θ＋
解析：　（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）＝ （ cos ＋i sin ）（ cos θ＋i
sin θ）＝ ［ cos （θ＋ ）＋i sin （θ＋ ）］，∵θ∈ ，∴θ＋
∈ ，∴该复数的辐角主值是θ＋ .故选B.
C. θ－ D. θ＋
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12. 〔多选〕1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关
系，并写下公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位），这个公式在
复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则
有（　　）
A. eiπ＋1＝0 B. （ ＋ i）2 025＝－1
C. ｜eix＋e－ix｜≤2 D. －2≤eix－e－ix≤2
√
√
√
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解析： 　对于A，当x＝π时，因为eiπ＝ cos π＋i sin π＝－1，所以eiπ＋
1＝0，故A正确；对于B，（ ＋ i）2 025＝（ cos ＋i sin ）2 025＝
（ ）2 025＝e675πi＝ cos 675π＋i sin 675π＝－1，故B正确；对于C，由eix
＝ cos x＋i sin x，e－ix＝ cos （－x）＋i sin （－x）＝ cos x－i sin x，所以
eix＋e－ix＝2 cos x，得出｜eix＋e－ix｜＝｜2 cos x｜≤2，故C正确；对于
D，由C分析得eix－e－ix＝2i sin x，推不出－2≤eix－e－ix≤2，故D错误.故
选A、B、C.
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13. 在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为Z1，Z2，
Z3，O（其中O是原点），已知Z1对应复数z1＝1＋ i.若Z3对应的复数
为z3，则Z1和Z3对应的复数的乘积z1z3＝ .
解析：由题意得｜z3｜＝｜z1｜＝2，复平面上线段OZ1与
x轴正半轴的夹角为 ，则线段OZ3与x轴正半轴的夹角为
，所以z3＝2（ cos ＋i sin ）＝－ ＋i，所以z1z3
＝（1＋ i）（－ ＋i）＝－2 －2i.
－2 －2i　
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14. 设z＝ － i对应的向量为 ，将 绕原点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转60°和30°，求所得两个向量对应的复数（用代数形式表示）.
解： 绕原点O按逆时针方向旋转60°所得向量对应的复数为（ －
i）（ cos 60°＋i sin 60°）＝（ － i）（ ＋ i）＝1；
绕原点O按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数为（ － i）
[ cos （－30°）＋i sin （－30°）]＝（ － i）（ － i）＝－i.
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15. 已知复数z＝（m＋3）－（m＋1）i在复平面内对应的点在第一象
限，i是虚数单位.
（1）求实数m的取值范围；
解： 因为复数z＝（m＋3）－（m＋1）i在复平面内对应的点在第一
象限，
所以 解得－3＜m＜－1，所以实数m的取值范围为
（－3，－1）.
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（2）当m＝－2时，求复数z的三角表示式；
解： 当m＝－2时，z＝1＋i，所以r＝ ＝ ， cos θ＝ sin θ
＝ ＝ ，
所以θ＝45°，
所以z＝ （ cos 45°＋i sin 45°）.
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（3）若在复平面内，向量 对应（2）中的复数z，把 绕点O按顺时
针方向旋转60°得到 ，求向量 对应的复数z1（结果用代数形式表
示）.
解： 根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量 ＝（1，1），将
其顺时针旋转60°后得到向量 ，则 对应的复数z1＝
＝ ＝ ＋ i.
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演示完毕 感谢观看