章末整合提升 体系构建 素养提升

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章末整合提升 体系构建 素养提升
体系构建
素养提升
一、复数的概念
复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模
等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
【例1】　（1）已知a，b∈R， ＋ （i为虚数单位）是纯虚
数，则a，b应满足（　A　）
A. b＝－2a且a≠0 B. b＝a
C. ab＝1 D. ab＝0
解析： ＋ ＝ ＋ ＝
，因为 ＋ （a，b∈R）是纯虚数，所以2a
＋b＝0，且b－2a≠0，解得b＝－2a且a≠0.故选A.
A
（2）〔多选〕若复数z满足（1＋i）·z＝5＋3i（其中i是虚数单位），则
（　BD　）
A. z的虚部为－i
B. z的模为
C. z的共轭复数为4－i
D. z在复平面内对应的点位于第四象限
BD
解析：由（1＋i）·z＝5＋3i得z＝ ＝ ＝ ＝4－i，所以
z的虚部为－1，A错误；z的模为 ＝ ，B正确；z的共
轭复数为4＋i，C错误；z在复平面内对应的点为（4，－1），位于第四象
限，D正确.
【反思感悟】
处理复数概念问题的两个注意点
（1）当已知复数不是以代数形式给出时，要通过变形化为复数的代数形
式a＋bi（a，b∈R），以便确定其实部和虚部；
（2）求解与复数的概念有关的参数时，要注意实部和虚部本身对变量的
要求，否则容易产生增根.
二、复数的四则运算（考教衔接）
复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除法法则是
关键，注意与多项式的四则运算法则做类比.
教材原题
（教材P95复习参考题第7题）已知（1＋2i） ＝4＋3i，求z及 .
【例2】 （2024·新高考Ⅰ卷2题）若 ＝1＋i，则z＝（　　）
A. －1－i B. －1＋i
解析：　法一　因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1＋ ＝1－i.
故选C.
C
法二　由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝ ＝1
－i.
C. 1－i D. 1＋i
变式1　直接计算
已知z＝ ，则z· ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 16
解析：　∵z＝ ＝ ＝ ，
∴z· ＝｜z｜2＝ ＝ ＝16.
√
变式2　与复数的概念结合计算
复数z满足z（ ＋1）＝1＋i，其中i是虚数单位，则z＝（　　）
A. 1＋i或－2＋i B. i或1＋i
C. i或－1＋i D. －1－i或－2＋i
解析：　设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi，由z（ ＋1）＝1＋
i，得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝
－1.故z＝i或z＝－1＋i.
√
【反思感悟】
进行复数代数运算的策略
（1）复数运算的基本思路就是应用运算法则进行计算；
（2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另
一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式.
三、复数的几何意义
复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用复数运算
将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平面内的点，向
量之间的关系解题.
【例3】　（1）设复数z的共轭复数为 ，z（1－i）＝3－i，则复数 在复
平面内对应的点位于（　D　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： z＝ ＝ ＝2＋i，则 ＝2－i，所以复数 在复平
面内对应的点的坐标为（2，－1），位于第四象限.故选D.
D
（2）〔多选〕已知非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量 ， ，
且｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，线段AB的中点M对应的复数为4＋3i，则
（　AD　）
A. ⊥
B. ＝
C. ｜z1｜2＋｜z2｜2＝10
D. ｜z1｜2＋｜z2｜2＝100
AD
解析： 如图，由向量的加法及减法法则可知， ＝
＋ ， ＝ － .由复数加法及减法的几何意义可
知，｜z1＋z2｜对应 的模，｜z1－z2｜对应 的模.又｜
z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，所以四边形OACB是矩形，则 ⊥ .又因为线段AB的中点M对应的复数为4＋3i，所以｜ ｜＝2｜ ｜＝10，所以｜z1｜2＋｜z2｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＝100.
（3）复数z满足｜z＋3－ i｜＝ ，则｜z｜的最大值是 　 　，｜
z｜的最小值是 .
解析： ｜z＋3－ i｜＝ 表示以－3＋ i对应的点
P（－3， ）为圆心，以 为半径的圆，如图所示，
则｜OP｜＝｜－3＋ i｜＝ ＝2 ，显然｜z｜max
＝｜OA｜＝｜OP｜＋ ＝3 ，｜z｜min＝｜OB｜＝｜OP｜－ ＝ .
　
　
【反思感悟】
在复平面内确定复数对应的点的步骤
（1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数
对（a，b）；
（2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）；　
（3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量 ＝（a，b），同时也对应
复数z＝a＋bi（a，b∈R）.
THANKS
演示完毕 感谢观看