10.1.3第一课时　古典概型的定义及概率计算

(共62张PPT)
第一课时　古典概型的定义及概率计算
1.结合具体实例，理解古典概型（数学抽象）.
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率（数学运算）.
课标要求
　研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示.
　　我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
情景导入
知识点一　古典概型的定义
01
知识点二　古典概型概率的计算
02
目录
课时作业
03
知识点一
古典概型的定义
01
PART
问题1　我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚质地均匀的硬币的试验及掷
一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
提示：样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等.
【知识梳理】
一般地，若试验E具有以下特征：
（1）有限性：样本空间的样本点只有 个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性 .
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
有限　
相等　
【例1】　〔多选〕下列试验是古典概型的是（　　）
A. 在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B. 口袋里有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，从中任取一球为白球
的概率
C. 向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D. 老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
BD
解析：　对于A，在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等
可能性；对于B，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的
概率是等可能的；对于C，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆
心的概率，不符合有限性；对于D，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两
人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.故选B、D.
【规律方法】
判断一个试验是否为古典概型的步骤
（1）明确试验及其结果；
（2）判断所有结果（即样本点）是否有限；
（3）判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验.另外，
题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言.
训练1　下列概率模型中属于古典概型的是（　　）
A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C. 某小组有男生6人，女生4人，从中任选1人当组长
D. 一只使用中的灯泡寿命长短
√
解析：　对于A，不属于古典概型，因为所有横坐标和纵坐标都是整数的
点有无限多个，不满足有限性；对于B，不属于古典概型，因为命中0环，
1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性；对于C，属于古典
概型，该事件显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能
的；对于D，不属于古典概型，因为灯泡的寿命是任意一个非负实数，有
无限多种可能，不满足有限性.故选C.
知识点二
古典概型概率的计算
02
PART
问题2　在掷骰子的试验中，记事件A＝“点数为偶数”，事件A包含哪些
样本点？事件A发生的概率是多少？
提示：A＝{2，4，6}.
对于抛掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6
点的事件分别为A1，A2，…，A6，则P（A1）＝P（A2）＝…＝P
（A6），又P（A1）＋P（A2）＋…＋P（A6）＝1，所以P（A1）＝P
（A2）＝…＝P（A6）＝ ，P（A）＝ ＝ .
【知识梳理】
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其
中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝ 　 　＝ 　 　.其
中，n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
　
　
角度1　列举法求古典概型的概率
【例2】　（链接教材P237例8）一个口袋内装有大小相等的1个白球和已
编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：
（1）样本空间的样本点的总数n；
解： 由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是
古典概型.
将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω＝{（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑1，白），（黑2，黑
3），（黑2，白），（黑3，白）}，共6个样本点，所以n＝6.
（2）事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
解： 事件“摸出2个黑球”＝{（黑1，黑2），（黑2，黑3），（黑1，
黑3）}，共3个样本点.
（3）摸出2个黑球的概率.
解： 样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个数k＝
3，故P＝ ＝ ，即摸出2个黑球的概率为 .
【规律方法】
应用列举法求古典概型概率的三个步骤
角度2　树状图法求古典概型的概率
【例3】　甲、乙、丙三人互传一个篮球，持球者随机将球传给无球者之一.由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球回到甲手上的概率是（　　）
A. B.
解析：画树状图如图所示，
由树状图知，共有16种等可能结果，其中第4次传球后球回到甲手中的有6种结果，所以第4次传球后球回到甲手中的概率为 ＝ .
C. D.
√
【规律方法】
树状图法的应用
先明确一次试验的几个步骤及顺序，使用树状图列举出一次试验的所有可
能结果（即把样本点一一列举出来），求出所求事件和样本空间的样本点
个数，然后代入古典概型概率公式求解.树状图法便于分析样本点间的关
系，适用于较复杂的问题.
角度3　列表法求古典概型的概率
【例4】　（链接教材P238例9）先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
（1）求点数之和为7的概率；
解：抛掷两枚质地均匀的骰子，其情况
如表所示，共有36种等可能的结果.
记“点数之和为7”为事件A，从表中可
以看出，事件A包含的样本点共有6个，
分别为（6，1），（5，2），（4，3），
（3，4），（2，5），（1，6），
故P（A）＝ ＝ .所以点数之和为7的概率为 .
（2）求掷出两个4点的概率；
解： 记“掷出两个4点”为事件B，从表中可以看出，事件B包含的
样本点只有1个，即（4，4），故P（B）＝ .所以掷出两个4点的概率为 .
（3）求点数之和能被3整除的概率.
解： 记“点数之和能被3整除”为事件C，从表中可以看出，事件C
包含的样本点共12个，分别为（1，2），（2，1），（1，5），（5，
1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（4，
5），（5，4），（6，6），故P（C）＝ ＝ .所以点数之和能被3整除的概率为 .
【规律方法】
列表法的应用
利用表格的形式列出所有的样本点，通常用来解决试验中包含两个元素，
且试验结果比较多的概率求解问题，表格的行与列分别表示不同的元素，
根据试验的要求直接在表格中列出相应的结果，这种方法直观、简洁，不
易出错.
角度4　图示法求古典概型的概率
【例5】　市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的情况，抽
样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的
有297户，其中两种报纸都订的有150户，则两种报纸都不订的概率
为 .
解析：记500户居民组成的集合为U，订阅晨报的居
民的全体为集合A，订阅晚报的居民的全体为集合
B，如图所示，由题意及图知两种报纸至少订阅一种
的有334＋297－150＝481（户），从而两种报纸都不
订的有500－481＝19（户）.故两种报纸都不订的概率为 ＝0.038.
0.038　
【规律方法】
从集合观点看，在一次试验中等可能出现的结果组成全集U，即card
（U）＝n，而事件A所包含的k个结果组成U的一个子集，即card（A）
＝k，则有P（A）＝ ，因此可建立事件与集合的关系，借助
Venn图的直观性来研究事件，便于弄清各种事件间的关系，并易确定n，
k的值.
训练2　（1）人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，决定眼皮单双的基因有两
种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；基因总
是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），而成对的基因中，只要出现了显
性基因，那么这个人就一定是双眼皮.有一对夫妻，父亲的基因为Bb，母
亲的基因是bb，不考虑基因突变，则他们的孩子是单眼皮的概率为
（　C　）
A. 0 B.
C. D.
C
解析： 用连着写的两个字母来表示孩子的成对基因，其中第一个字
母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因，则所有的样本
点为Bb，Bb，bb，bb，共4个，孩子要是单眼皮，成对的基因只能是
bb，因此所求概率为 ＝ .故选C.
（2）甲、乙、丙、丁四人随机地排成一行，则甲、乙两人相邻，丙、丁
两人不相邻的概率为（　B　）
A. B.
B
C. D.
解析：根据题意，列出所有等可能的情况，如图所示，故所有排列共有24种情况，其中甲、乙两人相邻，丙、丁两人不相邻共有4种情况（画“√”的情况）.故所求概率P＝ ＝ .
（3）2025年，从春晚扭秧歌的机器人，到广场舞狮的机器狗，中国人把
高科技玩出了新花样.为了紧跟社会热点，某商场推出了机器人服务，其
从甲公司购买了3台不同的机器人，从乙公司购买了2台不同的机器人，现
计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务，则这2台机器人来自
不同公司的概率为 .
　
解析： 设从甲公司购买的3台记为A，B，C，从乙公司购买的2台记
为a，b，从中任取2台的情况为（A，B），（A，C），（A，a），
（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，
b），（a，b），共10种，其中这2台来自不同公司的情况为（A，a），
（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），共6种，
故所求的概率为 ＝ .
1. 在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保
质期的牛奶的概率是（　　）
A. 0.02 B. 0.05
C. 0.1 D. 0.9
解析：　由题意知，在50瓶牛奶中任取1瓶，有50个样本点，取到已过保
质期的牛奶包括5个样本点，根据古典概型概率计算公式求得概率是 ＝
0.1.
√
2. 〔多选〕下列有关古典概型的说法正确的有（　　）
A. 试验的样本空间的样本点总数有限
B. 每个事件出现的可能性相等
C. 每个样本点出现的可能性相等
D. 已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的
概率P（A）＝
解析： 　由古典概型概念可知，试验的样本空间的样本点总数有限；
每个样本点出现的可能性相等，故A、C正确；每个事件不一定是样本点，
可能包含若干个样本点，故B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D
正确.故选A、C、D.
√
√
√
3. 从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则甲、
乙均不被选中的概率为 .
解析：从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，有
甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，共10
种选法，其中甲、乙均不被选中的有3种，所以所求事件的概率为 .
　
4. 从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段
为边可以构成三角形的概率是 .
解析：此试验的样本空间Ω＝{（2，3，4），（2，3，5），（2，4，
5），（3，4，5）}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则
A＝{（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）}，共有3个样本点，故P
（A）＝ ＝ .
　
课堂小结
1.理清单
（1）古典概型的定义；
（2）古典概型的概率公式及计算.
2.应体会
求古典概型的概率时，常用列举法、列表法、树状图法、图示法等方法.
3.避易错
在列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.
课时作业
03
PART
1. 下列试验是古典概型的是（　　）
A. 口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球
B. 在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D. 某人射击中靶或不中靶
解析：　对于A，取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不是古典概
型；对于B，一次试验的结果有无限个，故不是古典概型；对于C，满足古
典概型特征，是古典概型；对于D，中靶与不中靶发生的可能性可能不
同，故不是古典概型.
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√
2. 同时掷两枚质地均匀的硬币，“至少出现一枚正面向上”的概率是
（　　）
A. B.
C. D.
解析：　同时掷两枚质地均匀的硬币，向上的面的可能结果有正正，正
反，反正，反反，共4种，其中“至少出现一枚正面向上”含有正反，反
正及正正3个可能结果，所以概率为P＝ .故选D.
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3. 我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如
春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院甲、乙、丙、
丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完
成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅
彩绘的概率是（　　）
A. B.
√
C. D.
解析：　甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个
季节的6幅彩绘绘制，共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6幅彩绘是其中一
个样本点，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为 .
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4. 从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，则线段过正六边形
中心的概率为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，有线段
AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，
DE，DF，EF，共15条，其中过正六边形中心的有AD，BE，CF，共3
条，所以线段过正六边形中心的概率为 ＝ .故选D.
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5. 从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一
个黑球的概率是（　　）
A. B.
解析：　设两个白球为a1，a2，两个黑球为b1，b2，则从4个球中任取2
个球有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，
b2），（b1，b2），共6种等可能结果，其中至少摸到一个黑球有（a1，
b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），共5种等可能
结果，故至少摸到一个黑球的概率为P＝ .故选C.
√
C. D.
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6. 〔多选〕投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见
解，其中正确的有（　　）
A. “出现点数为奇数”的概率等于“出现点数为偶数”的概率
B. 只要连掷6次，一定会“出现1点”
C. 投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大
D. 连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19
√
√
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解析： 　掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是 ，故A正
确；“出现1点”是随机事件，故B错误；概率是客观存在的，不因为人的
意念而改变，故C错误；连续掷3次，若每次都出现最大点数6，则三次之
和为18，故D正确.
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7. 〔多选〕先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分
别记为a，b，则下列结论正确的是（　　）
A. a＋b＝8时的概率为
B. ≥2时的概率为
C. ab＝6时的概率为
D. a＋b是6的倍数的概率为
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解析： 　先后抛掷两枚质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.满足a
＋b＝8的情形有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），
故所求概率为 ，故A错误；满足 ≥2的情形有（2，1），（3，1），
（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），
（6，3），故所求概率为 ＝ ，故B错误；满足ab＝6的情形有（1，
6），（2，3），（3，2），（6，1），故所求概率为 ＝ ，故C正确；
满足a＋b是6的倍数的情形有（1，5），（2，4），（3，3），（4，
2），（5，1），（6，6），故所求概率为 ＝ ，故D正确.
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8. 有1号、2号、3号3个信箱和A，B，C，D4封信，若4封信可以投入任
意信箱，投完为止，则A信投入1号或2号信箱的概率是 .
解析：由于每封信可以投入任意信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性
是相等的，一共有3种不同的结果，投入1号或2号信箱是其中的2种结果，
故A信投入1号或2号信箱的概率是 .
　
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9. 吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然
风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功
山”“钓源古村”“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景
点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓
源古村”的概率为 .
　
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解析：“武功山”“钓源古村”“后河梦回庐陵”分别记为a，b，c，随
机安排三个景点的游览顺序，安排方法有（a，b，c），（a，c，
b），（b，a，c），（b，c，a），（c，a，b），（c，b，a），
共有6种，其中第一天游览“武功山”或“钓源古村”共有4种方法，其概
率为P＝ ＝ .
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10. 一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次
摸出2个球.
（1）共有多少个样本点？
解： 分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有
如下样本点（摸到1，2号球用（1，2）表示）：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），
（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.因此，共有10个样本点.
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（2）摸出的2个球都是白球的概率是多少？
解： 上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到2
个白球（记为事件A），
即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）＝ .
故摸出的2个球都是白球的概率为 .
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11. 先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，
2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率
为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析：　所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，
y∈{1，2，3，4，5，6}，所以 或 或 故事件
“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝ ＝ .
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12. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙
猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，
5，6}，若｜a－b｜≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个
游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　记“｜a－b｜≤1”为事件A，由
于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，列表如下：
则事件A包含的样本点共16个，又依题意
得，样本点总数为36，且每个样本点出现的
可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率
为P＝ ＝ .
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13. （2025·金华月考）某学校成立三个社团，共60人参加，参加A社团
的有39人，参加B社团的有33人，参加C社团的有32人，同时只参加A，
B社团的有10人，同时只参加A，C社团的有11人，三个社团都参加的有8
人.随机选取1人，则他参加不超过两个社团的概率为 .
解析：由Venn图可求得参加各社团的人数情况如图所示，参
加不超过两个社团的概率为P＝ ＝ .
　
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14. 书架上放有三套不同的书，每套书均分上、下册，共六本，从中任取
两本，试求下列事件的概率：
（1）取出的书不成套；
解：设第一套书的上、下册分别为A1，A2，第二套书的上、下册分别为
B1，B2，第三套书的上、下册分别为C1，C2.
不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，
A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，
B2C1，B2C2，C1C2}，共含有15个样本点，因为任取两本，所以这15个样
本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率.
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（1）设事件A表示“取出的书不成套”，
则A＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，
B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个，
故P（A）＝ ＝ .所以取出的书不成套的概率为 .
（2）取出的书均为上册；
解：设事件B表示“取出的书均为上册”，
则B＝{A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个，
故P（B）＝ ＝ .所以取出的书均为上册的概率为 .
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（3）取出的书上、下册各一本，但不成套.
解：设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，
则C＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}，样本点有6个，故P
（C）＝ ＝ .所以所求的概率为 .
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15. 某县有特级教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教
师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为
D. 现从这6名特级教师中选出3名教师组成下届教师职称评审团，要求
甲、乙、丙、丁四个学校中每校至多选出1名.
（1）请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点；
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解：从6名特级教师中选出3名教师组成
评审团，树状图如图所示，
故组成人员的全部样本点为（A1，B1，
C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），
（A1，B2，D），（A1，C，D），（A2，B1，C），（A2，B1，D），（A2，B2，C），（A2，B2，D），（A2，C，D），
（B1，C，D），（B2，C，D）.
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（2）求教师A1被选中的概率；
解： 在组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有（A1，B1，
C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），（A1，B2，D），（A1，C，
D），共5个，
所以教师A1被选中的概率为 .
（3）求评审团中没有乙校教师的概率.
解： 评审团中没有乙校教师的样本点有（A1，C，D），（A2，
C，D），共2个，
所以评审团中没有乙校教师的概率为 ＝ .
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THANKS
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