10.1.4　概率的基本性质

(共63张PPT)
10.1.4　概率的基本性质
1.结合具体实例，理解概率的性质（数学抽象）.
2.掌握互斥事件、对立事件概率的运算法则（数学运算）.
课标要求
　前面我们学习了概率的意义，知道概率是指事件在某些条件下发生的可能性大小，我们看几个例子：电话铃响时，响第一声拿起话筒，响第二声拿起话筒，这两个事情是不可能同时发生的，又如甲、乙两个运动员进行射击比赛，甲运动员射中10环，乙运动员射中10环，这两件事情能够同时发生，这些事件里面体现了概率的某些性质，今天我们就来研究这些性质.
情景导入
知识点一　概率的基本性质
01
知识点二　互斥事件与对立事件概率公式的应用
02
提能点　概率性质的综合应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
概率的基本性质
01
PART
问题　（1）在一次掷骰子试验中，设事件A＝“点数小于7”，事件B＝
“点数大于7”，事件C＝“点数大于1”.以上事件的概率是多少？你认为
任意事件的概率取值范围是多少？
提示：P（A）＝1，P（B）＝0，P（C）＝ .任意事件的概率取值范
围为[0，1].
（2）在一次掷骰子试验中，设事件D＝“出现1点”，事件E＝“出现2
点”，事件F＝“出现的点数小于3”.事件D与E有什么关系？事件D，
E，F的概率分别是多少呢？它们的概率又有怎样的关系？
提示：事件D与E互斥.P（D）＝ ，P（E）＝ ，P（F）＝ .P
（D）＋P（E）＝P（　F　）.
（3）在一次掷骰子试验中，设事件H＝“出现的点数为奇数”，事件I＝
“出现的点数为偶数”，事件H与事件I是什么关系呢？它们的概率有什
么关系呢？
提示：事件H与事件I是对立事件.P（H）＝ ，P（I）＝ ，P（H）
＋P（I）＝1.
（4）在一次掷骰子试验中，设事件M＝“出现的点数小于2”与事件F＝
“出现的点数小于3”是什么关系呢？它们的概率有什么关系呢？
提示：M F. P（M）＜P（　F　）.
（5）对于问题（4），P（M∪F）与P（M）＋P（F）相等吗？如果
不相等请你说明原因，并思考如何计算P（M∪F）？
提示：P（M∪F）≠P（M）＋P（F），原因是事件M与F不互斥.
由P（M）＝ ，P（F）＝ ，P（M）＋P（F）＝ ，而P（M∩F）
＝ ，因此P（M∪F）＝P（M）＋P（F）－P（M∩F）.
【知识梳理】
概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P（A） 0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）
＝ ，P（ ）＝ .
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝
.
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝
，P（A）＝ .
性质5：如果A B，那么P（　A　） P（　B　）.
≥　
1　
0　
P（A）＋P
（B）　
1－P
（A）　
1－P（B）　
A
≤　
B
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）
＝ .
　　提醒：（1）对于性质3，一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥
的事件，则P（A1∪A2∪…∪Am）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P
（Am）；P（A）＋P（ ）＝1；（2）对于性质6，要注意A，B是一个
随机试验中的两个事件.
P（A）＋P（B）－P（A∩B）　
【例1】　（1）〔多选〕下列说法正确的有（　AC　）
A. 必然事件的概率等于1
B. 某事件的概率等于1.1
C. 某事件的概率是0
D. 若A，B为两个事件，则P（A∪B）＝P（A）＋P（　B　）
解析： 必然事件一定发生，故其概率是1，故A正确；必然事件的概
率是1，故概率为1.1的事件不存在，故B错误；不可能事件的概率是0，故
C正确；对于一个随机试验中的两个事件，有P（A∪B）＝P（A）＋P
（B）－P（A∩B），故D错误.
AC
B
（2）投掷一枚骰子（质地均匀的正方体），设事件A为“掷得偶数点”，
事件B为“掷得的点数是2”，则P（A）与P（B）的大小关系为
（　A　）
A. P（A）＞P（B） B. P（A）＝P（B）
C. P（A）＜P（B） D. 不确定
解析： 因为n（A）＝3，n（B）＝1，所以P（A）＝ ＝ ，P
（B）＝ ，故P（A）＞P（B）.故选A.
A
【规律方法】
1. 由于事件的样本点数总是小于或等于试验的样本空间，所以任何事件的
概率都在0～1之间，即0≤P（A）≤1.
2. 利用概率性质进行判断，要注意每一条性质使用的条件，不能断章
取义.
训练1　若A，B为互斥事件，则（　　）
A. P（A）＋P（B）＜1 B. P（A）＋P（B）＞1
C. P（A）＋P（B）＝1 D. P（A）＋P（B）≤1
解析：　因为A，B为互斥事件，所以A∪B是随机事件或必然事件，则
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）≤1，当A，B为对立事件时，P（A）
＋P（B）＝1.故选D.
√
知识点二
互斥事件与对立事件概率公式的应用
02
PART
角度1　互斥事件概率公式的应用
【例2】　在数学考试（满分100分）中，小明的成绩在90分及90分以上的
概率是0.18，在80～89分（包括80分与89分，下同）的概率是0.51，在
70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是
0.07.计算下列事件的概率：
（1）小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；
解：分别记小明的成绩“在90分及90分以上”“在80～89分”“在
70～79分”“在60～69分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，
显然这五个事件两两互斥.
小明的成绩在80分及80分以上的概率为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
＝0.18＋0.51＝0.69.
（2）小明考试及格（60分及60分以上为及格）.
解：小明考试及格的概率为P（A∪B∪C∪D）＝P（A）＋P
（B）＋P（C）＋P（D）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
【规律方法】
运用互斥事件的概率加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）解题时，
首先要判断事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为若干个
两两互斥的事件，然后求出各事件的概率，用互斥事件的概率加法公
式得出结果.
角度2　对立事件概率公式的应用
【例3】　（链接教材P243例11）甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获
胜的概率为 ，求：
（1）甲获胜的概率；
解： “甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，
所以“甲获胜”的概率为P＝1－ － ＝ .
（2）甲不输的概率.
解： 法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这
两个互斥事件的并事件，所以P（A）＝ ＋ ＝ .
法二　设事件A为“甲不输”，是“乙获胜”的对立事件，
所以P（A）＝1－ ＝ ，
即甲不输的概率是 .
【规律方法】
1. 当直接计算符合条件的事件的概率比较麻烦时，可先计算出其对立事件
的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P（A）＋P（ ）＝1，求出
符合条件的事件的概率.
2. 当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑
其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.
训练2　盒子里装有外形、质量完全相同且编号为1，2，3，4，5的五个小
球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取
出1个球，共取两次.
（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；
解：试验的样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），
（5，3），（5，4），（5，5）}，共25个样本点.
（1）事件“取到的2个球中恰好有1个黑球”包含的样本点为（1，3），
（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），
（3，2），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），共12个，故所求
的概率为 .
（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.
解：事件“取到的2个球中至少有1个是红球”的对立事件为“没有一个红球”，即“全是黑球”.事件“全是黑球”包含的样本点为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4个，故所求的概率为1－ ＝ .
03
PART
提能点
概率性质的综合应用
【例4】　袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12
个，从中任取一球，取到红球的概率是 ，取到黑球或黄球的概率是 ，
取到黄球或绿球的概率也是 .
（1）试分别求取到黑球、黄球、绿球的概率；
解： 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”
“取到绿球”分别为A，B，C，D，它们彼此互斥，
则P（A）＝ ，P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝ ，
P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝ ，P（B∪C∪D）＝P（B）＋
P（C）＋P（D）＝1－P（A）＝1－ ＝ .
联立 解得
故取到黑球、黄球、绿球的概率分别为 ， ， .
（2）从中任取一球，求取到的不是红球也不是绿球的概率.
解： 事件“取到红球或绿球”可表示为A∪D，由（1）及互斥事件
的概率加法公式得P（A∪D）＝P（A）＋P（D）＝ ＋ ＝ ，
故取到的不是红球也不是绿球的概率为P＝1－P（A∪D）＝1－ ＝ .
【规律方法】
求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化
成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，
再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.
训练3　某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职
工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职
工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽取1人，求该职工为女
职工或第三分厂的职工的概率.
解：记事件A为“抽取的为女职工”，事件B为“抽取的为第三分厂的职
工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取
的为女职工或第三分厂的职工”，则有
P（A）＝ ＝ ，
P（B）＝ ＝ ，
P（A∩B）＝ ＝ ，
所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝ ＋ －
＝ .
故该职工为女职工或第三分厂的职工的概率为 .
1. 已知随机事件A和B互斥，且P（A∪B）＝0.5，P（B）＝0.3.则P
（ ）＝（　　）
A. 0.5 B. 0.6
C. 0.7 D. 0.8
解析：　因为A与B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B），可得
P（A）＝P（A∪B）－P（B）＝0.5－0.3＝0.2，所以P（ ）＝1－
P（A）＝1－0.2＝0.8.故选D.
√
2. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现
金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（　　）
A. 0.4 B. 0.3
C. 0.7 D. 0.6
解析：　由题得不用现金支付的概率为P＝1－0.4－0.3＝0.3.故选B.
√
3. 袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一
球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率
为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　）
A. 0.64 B. 0.72
C. 0.76 D. 0.82
解析：设摸出红球的概率为P（A），摸出白球的概率为P（B），摸出黑球的概率为P（C），所以P（A）＋P（B）＝0.56，P（A）＋P（C）＝0.68，且P（A）＋P（B）＋P（C）＝1，所以P（C）＝1－P（A）－P（B）＝0.44，P（B）＝1－P（A）－P（C）＝0.32，所以P（B）＋P（C）＝0.76，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76.故选C.
√
4. 某商店的月收入（单位：元）在[10 000，30 000）内的概率如下表
所示：
月收入/元 [10 000， 15 000） [15 000， 20 000） [20 000， 25 000） [25 000，
30 000）
概率 0.12 a b 0.14
已知月收入在[10 000，30 000）内的概率为0.67，则月收入在[15 000，30
000）内的概率为 .
0.55　
解析：记月收入在[10 000，15 000），[15 000，20 000），[20 000，25
000），[25 000，30 000）内分别为事件A，B，C，D. 因为事件A，
B，C，D两两互斥，且P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝
0.67，所以P（B∪C∪D）＝0.67－P（A）＝0.55.
课堂小结
1.理清单
（1）概率的基本性质；
（2）互斥事件概率公式的应用；
（3）对立事件概率公式的应用.
2.应体会
利用概率的性质求解概率问题常用转化法及正难则反的思想.
3.避易错
将事件拆分成若干个互斥的事件时，易重复和遗漏.
课时作业
04
PART
1. 下列说法中正确的是（　　）
A. 对立事件一定是互斥事件
B. 若A，B为随机事件，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
C. 若事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1
D. 若事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，则A与B是对立事件
解析：　A说法显然正确；B说法不正确，当事件A，B能同时发生时，
不满足P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；C说法不正确，P（A）＋P
（B）＋P（C）不一定等于1，还可能小于1；D说法不正确，当事件A，
B不属于同一个试验时，显然不成立.
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2. 某校高三（1）班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，
其余人成绩都是B或C. 从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，
则抽得C的概率是（　　）
A. 0.14 B. 0.20
C. 0.40 D. 0.60
解析：　由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－ －0.4＝0.14.
故选A.
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3. 已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝
0.3，P（C）＝0.6，则P（A∪B）＝（　　）
A. 0.3 B. 0.6
C. 0.7 D. 0.9
解析：　因为P（C）＝0.6，事件B与C对立，所以P（B）＝0.4，又
P（A）＝0.3，A与B互斥，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝
0.3＋0.4＝0.7.故选C.
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4. 盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，是肉
馅包子的概率为 ，不是豆沙馅包子的概率为 ，则素馅包子的个数为
（　　）
A. 1 B. 2
√
C. 3 D. 4
解析：　由题意可知，肉馅包子的个数为10× ＝4.从中随机取出1个，
不是豆沙馅包子的概率为 ，则该包子是豆沙馅包子的概率为1－ ＝
，所以豆沙馅包子的个数为10× ＝3.因此，素馅包子的个数为10－4
－3＝3.
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5. 已知随机事件A，B发生的概率满足条件P（A∪B）＝ ，某人猜测事
件 ∩ 发生，则此人猜测正确的概率为（　　）
A. 1 B.
C. D. 0
解析：　事件 ∩ 与事件A∪B是对立事件，则此人猜测正确的概率P
（ ∩ ）＝1－P（A∪B）＝1－ ＝ .
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6. 〔多选〕高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2
名学生去参加数学竞赛，则（　　）
A. 恰有一名参赛学生是男生的概率为
B. 至少有一名参赛学生是男生的概率为
C. 至多有一名参赛学生是男生的概率为
D. 两名参赛学生都是男生的概率为
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解析：　从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共
有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1
人，从3名女生中任选1人，有9种结果，所以恰有一名参赛学生是男生的
概率为 ＝ ，A对；“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两
名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一
名参赛学生是男生的概率为1－ ＝ ，B错；“两名参赛学生都是男
生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为 ＝ ，D错；“至多有
一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至
多有一名参赛学生是男生的概率为1－ ＝ ，C对.故选A、C.
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7. 〔多选〕在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是
0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是（　　）
A. A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B. A1∪A2∪A3不一定是必然事件
C. P（A2∪A3）＝0.8
D. P（A1∪A2）≤0.5
解析： 　因为A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以A不正确，B正确；
P（A2∪A3）≤0.8，P（A1∪A2）≤0.5，所以C不正确，D正确.
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8. 已知P（A）＝0.4，P（B）＝0.2.
（1）如果B A，则P（A∪B）＝ ，P（A∩B）＝ ；
解析：因为B A，所以P（A∪B）＝P（A）＝0.4，P（A∩B）＝P（B）＝0.2.
（2）如果A，B互斥，则P（A∪B）＝ ，P（A∩B）＝ .
解析： 因为A，B互斥，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝
0.4＋0.2＝0.6，P（A∩B）＝P（ ）＝0.
0.4　
0.2　
0.6　
0　
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9. 若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2
－a，P（B）＝4a－5，则实数a的取值范围是 .
解析：因为随机事件A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝
3a－3，依题意及概率的性质得 即
解得 ＜a≤ ，所以实数a的取值范围是（ ， ］.
（ ， ］　
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10. 某商场有奖促销中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000
张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖
券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.
（1）求P（A），P（B），P（ C ）；
解： 由题意，每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等
奖50个，
故P（A）＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（C）＝ ＝ .
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（2）求抽取1张奖券中奖的概率；
解： 设“抽取1张奖券中奖”为事件D，
则P（D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝ ＋ ＋ ＝ .故
抽取1张奖券中奖的概率为 .
（3）求抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
解： 设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，
则P（E）＝1－P（A）－P（B）＝1－ － ＝ .故所求的概
率为 .
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11. 人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人
输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；③
X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的（其中X代表O，
A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者）.已知我
国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41％，28％，24％，7
％，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位
受血者正确输血的概率为（　　）
A. 0.27 B. 0.31
C. 0.42 D. 0.69
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解析：　当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种
血型不能为供血者，我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为
41％，28％，24％，7％，所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的
概率为P＝24％＋7％＝31％＝0.31.故选B.
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12. 〔多选〕口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球，
从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1
个黄球”，C＝“取出的2球中至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同
色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”.则下列判断中正确的是
（　　）
A. A与D为对立事件 B. C与E是对立事件
C. P（C∪E）＝1 D. P（B）＝P（　C　）
C
√
√
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解析： 　因为口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的
小球，从中取出2球，由对立事件的定义得A与D为对立事件，故A正
确；C与E有可能同时发生，不是对立事件，故B错误；P（C）＝1－
＝ ，P（E）＝ ，P（C∩E）＝ ，从而P（C∪E）＝P（C）＋P
（E）－P（C∩E）＝1（或由C∪E为必然事件，得P（C∪E）＝
1），故C正确；黄球与白球的个数不同，从而P（B）≠P（C），故D
错误.
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13. 从1，2，3，…，30这30个数中任意取出一个数，则取出的数是偶数或
能被5整除的数的概率是 .
解析：设事件A＝“取出的数为偶数”，事件B＝“取出的数能被5整
除”，则P（A）＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（A∩B）＝ ＝ ，所以
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝ ＋ － ＝ .
　
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14. 某医院首批救灾人员中有2名医生、3名护士和1名管理人员.采用抽签
的方式，从这六名人员中随机选取两人在表彰大会上发言.
（1）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；
解：2名医生记为A1，A2，3名护士记为B1，B2，B3，1名管理人员记为C，
则样本空间Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），
（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），
（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），
（B3，C）}.
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（2）求选中1名医生和1名护士发言的概率；
解：设事件M＝“选中1名医生和1名护士发言”，则M＝{（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）}，所以n（M）＝6，
又n（Ω）＝15，所以P（M）＝ ＝ .
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（3）求至少选中1名护士发言的概率.
解： 设事件N＝“至少选中1名护士发言”，
则 ＝{（A1，A2），（A1，C），（A2，C）}，
所以n（ ）＝3，所以P（ ）＝ ＝ ，
所以P（N）＝1－P（ ）＝1－ ＝ .
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15. 袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，
从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是
，试求：
（1）袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？
解： 从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，
C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知，
得
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解得
所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ， ， .
所以黑球的个数为9× ＝3，黄球的个数为9× ＝2，绿球的个数为9×
＝4，
所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3，2，4.
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（2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率是
多少？
解： 由（1）知黑球、黄球的个数分别为3，2， 所以从所有黑球、黄
球中任取两个球的样本空间中共有10个样本点，记黑球与黄球各得一个为
事件D，其中事件D包含6个样本点，则P（D）＝ ＝ .
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（3）经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不相同的
概率是多少？
解： 因为从袋中任取两个球可得36个样本点，其中两个黑球的样本
点是3个，两个黄球的样本点是1个，两个绿球的样本点是6个，于是，两
个球同色的概率为 ＝ ，则两个球颜色不相同的概率是1－ ＝ .
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THANKS
演示完毕 感谢观看