10.2第二课时　相互独立事件概率的应用

(共59张PPT)
第二课时　相互独立事件概率的应用
1.进一步掌握事件相互独立的定义（数学抽象）.
2.会求较为复杂相互独立事件的概率（数学运算）.
课标要求
知识点一　相互独立事件乘法公式的应用
01
知识点二　相互独立事件的综合应用
02
提能点　统计与事件相互独立性的综合应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
相互独立事件乘法公式的应用
01
PART
【例1】　在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有
关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是 ，甲、乙两人都回答错
误的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 .设每人回答问题正确与
否相互独立.
（1）求乙答对这道题的概率；
解： 记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C，
设乙答对这道题的概率P（B）＝x，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立
事件.
由题意，并根据事件的独立性定义，
得P（ ）＝P（ ）P（ ）＝（1－ ）×（1－x）＝ ，解得x＝
，
所以乙答对这道题的概率为P（B）＝ .
（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
解： 设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，
设丙答对这道题的概率P（C）＝y.
由（1），并根据事件的独立性定义，得P（BC）＝P（B）P（C）＝ ×y＝ ，解得y＝ .甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P（ ）＝P（ ）P（ ）P（ ）＝（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ .
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至
少有一人答对这道题”是对立事件，
所以所求事件概率为P（M）＝1－ ＝ .
【规律方法】
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
（1）用恰当的字母表示题中有关事件；
（2）根据题设条件，分析事件间的关系；
（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积
之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）；
（4）利用乘法公式计算概率.
训练1　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 .假设两人
是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也
没有影响.
（1）求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
解： 记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，
依题意知事件A和事件B相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P（AB）＝P（A）P（B）
＝ × ＝ .
（2）求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率.
解：记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”（其中i＝1，2，3，4），
并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C，
则C＝A1A2A3 ∪ A2A3A4，且A1A2A3 与 A2A3A4是互斥事件，
由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，
所以Ai与 （i，j＝1，2，3，4，且i≠j）之间也相互独立.
由于P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（A4）＝ ，
故P（C）＝P（A1A2A3 ∪ A2A3A4）＝P（A1）P（A2）P（A3）
P（ ）＋P（ ）P（A2）·P（A3）P（A4）＝（ ）3× ＋ ×
（ ）3＝ .
知识点二
相互独立事件的综合应用
02
PART
【例2】　一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，
否则得0分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题
能答对的概率分别为p， ， ，且每道题答对与否相互独立.
（1）当p＝ 时，求考生填空题得20分的概率；
解： 设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，C.
考生填空题得20分的概率为P（A）＝ × × ＝ .
（2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值.
解： P（B）＝p× ×（1－ ）＋p×（1－ ）× ＋（1－p）×
× ＝ p＋ ，
P（C）＝p×（1－ ）×（1－ ）＋（1－p）× ×（1－ ）＋（1－
p）×（1－ ）× ＝ － p.
由P（B）＝P（C），解得p＝ .
【规律方法】
求较复杂事件的概率的一般步骤
（1）列出题中所涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；
（2）厘清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独
立），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对
立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
训练2　11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每
球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.已知甲、乙两位同
学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，假设甲发球时甲
得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.
（1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；
解： 设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，
3，…），又打了X个球比赛结束，
则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（ ）＝P（A1）·P（A2）＋P
（ ）P（ ）＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
（2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率.
解： P（X＝4且甲获胜）＝P（A1 A3A4）＋P（ A2A3A4）
＝P（A1）P（ ）P（A3）P（A4）＋P（ ）P（A2）·P（A3）P
（A4）
＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1.
03
PART
提能点
统计与事件相互独立性的综合应用
【例3】　某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这
100人去年可支配收入（单位：万元）均在区间[4.5，10.5]内，按[4.5，
5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5），[7.5，8.5），[8.5，9.5），
[9.5，10.5]分成6组，所得频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配
收入数据的第60百分位数为8.1.
（1）求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
解： 由频率分布直方图，可得
0.05＋0.12＋a＋b＋0.2＋0.08＝1，
则a＋b＝0.55，　①
因为居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1，
所以0.05＋0.12＋a＋（8.1－7.5）×b＝0.6，
则a＋0.6b＝0.43，　②
将①与②联立，解得
所以平均值为0.05×5＋0.12×6＋0.25×7＋0.3×8＋0.2×9＋0.08×10
＝7.72.
（2）在这100位居民中随机抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不
影响，求抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率.
解：根据题意，设事件A，B，C分别表示甲、乙、丙在[7.5，8.5）
内，则P（A）＝P（B）＝P（C）＝0.3.
①“抽取的3人中有2人在[7.5，8.5）内”为事件AB ∪A C∪ BC，
且AB 与A C与 BC两两互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独
立的定义，得
P1＝P（AB ∪A C∪ BC）
＝0.3×0.3×（1－0.3）＋0.3×（1－0.3）×0.3＋（1－0.3）
×0.3×0.3＝0.189.
②“抽取的3人中有3人在[7.5，8.5）内”为事件ABC，由相互独立的定
义，得
P2＝P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝0.3×0.3×0.3＝0.027.
所以抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率为
P1＋P2＝0.189＋0.027＝0.216.
【规律方法】
求统计与事件相互独立性综合问题的步骤
（1）由统计图表及文字叙述厘清问题中所涉及的事件和对应该事件的数
据，并用字母表示；
（2）研析各事件的相互关系（互斥、对立、相互独立）以及和事件、积
事件等；
（3）利用事件间的关系及相应的概率公式求解.
　　提醒：（1）注意公式的正用和逆用；（2）只有明确了两事件具有的
关系后，才能使用相应的概率公式.
训练3　某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测
试.现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据按照《国家学生
体质健康标准》整理成表.规定：总分≥60，体质健康为合格.
等级 总分 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90，100] 5 91.3 2 91
良好 [80，89.9] 4 83.9 4 84.1
及格 [60，79.9] 8 70 11 70.2
不及格 60以下 3 49.6 3 49.1
总计 — 20 — 20 —
（1）从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康等级是合格的
概率；
解： 样本中体质健康等级是合格的学生人数为5＋2＋4＋4＋8＋11＝
34，
样本总数为20＋20＝40，
所以这名学生体质健康等级是合格的概率为 ＝ .
（2）从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康
等级是优秀的概率.
解： 设事件A为“从男生样本中随机选出一人，其体质健康等级是优
秀”，事件B为“从女生样本中随机选出一人，其体质健康等级是优
秀”，
则P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ .
因为A，B为相互独立事件，所以所求概率为
P（A ＋ B）＝P（A ）＋P（ B）＝P（A）[1－P（B）]＋[1－
P（A）]P（B）＝ ×（1－ ）＋（1－ ）× ＝ .
1. 甲射击命中目标的概率是 ，乙命中目标的概率是 ，丙命中目标的概
率是 ，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　若三人均未击中目标，则概率为 × × ＝ ，所以目标被击
中的概率为P＝1－ ＝ .故选D.
√
2. 某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的
题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道
题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为（　　）
A. 0.7 B. 0.91
C. 0.973 D. 0.981
解析：　由题意知，小王最终通过面试的概率为P＝0.7＋0.3×0.7＋
0.3×0.3×0.7＝0.973.
√
3. 甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，
甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为
（　　）
A. 0.3 B. 0.5
C. 0.7 D. 0.52
解析：　记“甲获奖”为事件A，“乙获奖”为事件B，易知P（A）＝
0.6，P（B）＝0.4，且P（AB）＝0.24，显然P（AB）＝P（A）P
（B），即可得事件A与事件B相互独立，因此甲、乙两人恰有一人获奖
的概率为P（A ＋ B）＝P（A）[1－P（B）]＋P（B）·[1－P
（A）]＝0.6×（1－0.4）＋（1－0.6）×0.4＝0.52.故选D.
√
4. 某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移
栽.已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽后成活的
概率分别为0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率
为 .
解析：记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A，“乙种蔬菜能培
育成苗且移栽成活”为事件B，则P（A）＝0.5×0.6＝0.3，P（B）＝
0.6×0.8＝0.48，P（ ）＝0.7，P（ ）＝0.52，故恰好有一种蔬菜能
培育成苗且移栽成活的概率为P（A ）＋P（ B）＝P（A）P（ ）
＋P（ ）P（B）＝0.3×0.52＋0.7×0.48＝0.492.
0.492　
课堂小结
1.理清单
（1）相互独立事件乘法公式的应用；
（2）相互独立事件的综合应用；
（3）统计与事件相互独立性的综合应用.
2.应体会
求较复杂事件的概率常利用构造方程（组）及正难则反的思想.
3.避易错
相互独立事件与互斥事件易混淆.
课时作业
04
PART
1. （2025·济宁月考）某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分
别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且每关相互独立.
一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（　　）
A. 0.48 B. 0.4
C. 0.32 D. 0.24
解析：　由题意可知该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立
事件的概率可知P＝0.8×0.6×（1－0.5）＝0.24，故该选手只闯过前两
关的概率为0.24.
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2. 某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的
概率分别为 ， ， ，则汽车在这三处停车一次的概率为（　　）
A. B.
解析：　设汽车分别在甲、乙、丙三处绿灯通行为事件A，B，C，则P
（A）＝ ，P（B）＝ ，P（C）＝ .停车一次即为事件 BC＋A C
＋AB ，故概率为P＝（1－ ）× × ＋ ×（1－ ）× ＋ × ×（1
－ ）＝ .
C. D.
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3. 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不影响.
已知师傅加工一个零件是精品的概率为 ，师徒二人各加工2个零件都是精
品的概率为 ，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　记师傅加工2个零件都是精品的概率为P（A），则P（A）＝
× ＝ ，徒弟加工2个零件都是精品的概率为P（B），则师徒二人各加
工2个零件都是精品的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝ ，得P
（B）＝ ，故徒弟加工2个零件都是精品的概率为 .
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4. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除
颜色外完全相同.从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析：　设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件 为
“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白球”，则事件 为
“取得红球”.∵事件A与B相互独立，∴事件 与 相互独立，∴从每袋
中任取1个球，取得同色球的概率为P（AB∪ ）＝P（AB）＋P
（ ）＝P（A）P（B）＋P（ ）P（ ）＝ × ＋ × ＝ .
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5. 某校组织《最强大脑》竞赛，最终A、B两队进入决赛，两队各由三名
选手组成，每局两队各派一名选手比赛，除第三局胜者得2分外，其余各
局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为 ，且
各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为
（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况：①A全
胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A
胜，第三局A胜.所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为P＝
（ ）3＋ × × ＋ × × ＝ .故选C.
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6. 〔多选〕将两个质地均匀且四面分别标有1，2，3，4的正四面体各掷一
次，记事件A＝“第一个正四面体向下的一面为偶数”；事件 B＝“第二
个正四面体向下的一面为奇数”；事件C＝“两个正四面体向下的一面均
为奇数或者均为偶数”，则下列结论正确的是（　　）
A. P（A）＝ B. P（AB）＝
解析： 　由题意知P（A）＝ ＝ ，故A正确；∵P（B）＝ ＝ ，事
件A与B相互独立，∴P（AB）＝ × ＝ ，故B正确，D错误；∵事件
AB与事件C为互斥事件，∴P（ABC）＝0，故C错误.
C. P（ABC）＝ D. P（B）＝
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7. 〔多选〕某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一
张奖券.奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖
活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05，则两次抽奖中（　　）
A. 都中奖的概率为0.05
B. 都没有中奖的概率为0.95
C. 恰有一次中奖的概率为0.095
D. 至少有一次中奖的概率为0.097 5
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解析：记“第一次抽奖中奖”为事件A， “第二次抽奖中奖”为事件B，则“两次抽奖都中奖”为事件AB. 由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立.于是由事件独立性可得，两次抽奖都中奖的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.05×0.05＝0.002 5.同理“两次抽奖都没有中奖”的概率为P（ ）＝P（ ）P（ ）＝0.95×0.95＝0.902 5；“两次抽奖恰有一次中奖”可以用A ∪ B表示.由于事件A 与 B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，得所求的概率为P（A ）＋P（ B）＝P（A）P（ ）＋P（ ）P（B）＝0.05×（1－0.05）＋（1－0.05）×0.05＝0.095；“两次抽奖至少有一次中奖”可用AB∪A ∪ B表示.由于事件AB，A 和 B两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，得所求的概率为P（AB）＋P（A ）＋P（ B）＝0.002 5＋0.095＝0.097 5.
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8. 小明去参加法制知识答题比赛，比赛共有A，B，C三道题且每个问题
的回答结果相互独立.已知三道题的分值和小明答对每道题的概率如表：
A题分值：3分 B题分值：3分 C题分值：4分
答对的概率 0.6 0.5 0.4
记小明所得总分为X（分），则 ＝ 　 　.
解析：由已知得P（X＝3）＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＝0.3，P
（X＝10）＝0.6×0.5×0.4＝0.12，所以 ＝ .
　
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9. 国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确
对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考
核中能够准确杀毒的概率依次是 ， ， ， ，且各轮考核能否通过互不
影响.则该软件至多进入第三轮考核的概率为 .
　
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解析：设事件Ai（i＝1，2，3，4）表示“该软件能通过第i轮考核”，由
已知得P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（A3）＝ ，P（A4）＝ ，设事
件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P（C）＝P（ ＋ ＋
A1A2 ）＝P（ ）＋P（A1 ）＋P（A1A2 ）＝ ＋ × ＋ ×
× ＝ .
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10. 甲、乙、丙三人分别独立做一道题，甲做对的概率是 ，三人都做对的
概率是 ，三人都做错的概率是 .
（1）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
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解： 设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A，B，C，
则P（A）＝ ，由题意得
解得 或
所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为 和 或 和 .
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（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率.
解： 设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D，
则P（D）＝P（A）P（ ）P（ ）＋P（ ）P（B）P（ ）＋P
（ ）P（ ）P（C）
＝ ＋ ＋ ＝ .
所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 .
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11. 专家甲独立地破译一个密码成功的概率为 ，为提高破译概率需增加专
家数量，若要达到破译出密码的概率为99％（各专家相互独立互不交
流），至少需要像甲这样的专家的人数为（参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3
＝0.477 1）（　　）
A. 15 B. 16
C. 17 D. 18
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解析：　设需要像甲这样的专家的人数为x，要达到破译出密码的概率为
99％，则（ ）x≤ ，则xlg ≤lg ，即x≥ ＝ ≈16.01，
故至少需要像甲这样的专家的人数为17.
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12. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 ，且每个开关是否闭合是
相互独立的，则灯亮的概率为（　　）
A. B.
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解析：　记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D开关闭
合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条线路同时断开的
概率为P（ ）P（ ）[1－P（AB）]＝ × ×（1－ × ）＝ ，所
以灯亮的概率为1－ ＝ .故选C.
C. D.
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13. 在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳
跃时，均从一片跳到另一片），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳
的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停
在A片荷叶上的概率是 .
　
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解析：由题意知逆时针方向跳的概率为 ，顺时针方向跳的概率为 ，青蛙
跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：第一条：A→B→C→A，P1＝
× × ＝ ；第二条：A→C→B→A，P2＝ × × ＝ ，所以跳三次
之后停在A片荷叶上的概率为P＝P1＋P2＝ ＋ ＝ .
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14. 为刺激消费，逐渐形成以国内大循环为主体，国内、国际双循环相互
促进的新发展格局，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样
调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其
概率如表：
200元 300元 400元 500元
老年 0.4 0.3 0.2 0.1
中年 0.3 0.4 0.2 0.1
青年 0.3 0.3 0.2 0.2
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某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅
游景点.
（1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；
解： 设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1，
则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.
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（2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率.
解： 消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，
消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）2×0.1＝0.01，
消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋
0.1×0.4×0.2＋（0.2）3＋2×（0.2）2×0.1＝0.033，
0.002＋0.01＋0.033＝0.045，
所以这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.
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15. 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，
0.5，0.5，0.4，每个人是否需使用设备相互独立.
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，
1，2，
B表示事件：甲需使用设备，
C表示事件：丁需使用设备，
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，
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E表示事件：同一工作日4人需使用设备，
F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.
（1）D＝A1BC＋A2B＋A2 C，P（B）＝0.6，P（C）＝0.4，P
（A1）＝2×0.5×0.5＝0.5，
P（A2）＝0.5×0.5＝0.25，
所以P（D）＝P（A1BC＋A2B＋A2 C）＝P（A1BC）＋P（A2B）＋
P（A2 C）＝P（A1）P（B）·P（C）＋P（A2）P（B）＋P
（A2）P（ ）P（C）＝0.31.
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（2）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作
日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.
解：由（1）知，若k＝2，则P（F）＝0.31＞0.1.
又E＝BCA2，
所以P（E）＝P（BCA2）＝P（B）P（C）P（A2）＝0.06.
若k＝3，则P（F）＝0.06＜0.1.
所以k的最小值为3.
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THANKS
演示完毕 感谢观看