10.2第一课时　事件的相互独立性及相互独立事件的概率

(共63张PPT)
第一课时　事件的相互独立性及相互独立事件的概率
1.结合有限样本空间，了解两个事件相互独立的概念（数学抽象）.
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题（数学运算）.
课标要求
　　前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？
　　我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？
情景导入
知识点一　相互独立事件的概念
01
知识点二　相互独立事件的性质
02
知识点三　相互独立事件的概率
03
目录
课时作业
04
知识点一
相互独立事件的概念
01
PART
问题1　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B
＝“第二枚硬币反面朝上”.分别计算P（A），P（B），P（AB），你
有什么发现？
提示：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空
间为Ω＝{（1，1），（1，0），（0，1），（0，0）}，包含4个等可能的
样本点.而A＝{（1，1），（1，0）}，B＝{（1，0），（0，0）}，所以
AB＝{（1，0）}.由古典概型概率公式，得P（A）＝P（B）＝ ，P
（AB）＝ .于是P（AB）＝P（A）P（　B　）.
【知识梳理】
对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝ 成立，则
称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
P（A）P（B）　
【例1】　（链接教材P251例1）判断下列事件是否为相互独立事件：
解： “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选
出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件.
（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组
各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出
1名女生”；
解： “从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 ，若
这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白
球”的概率为 ；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 ，
可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者
不是相互独立事件.
（2）容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的
是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1
个，取出的还是白球”；
（3）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”与“两枚结果相
同”.
解： 设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“两枚结果相同”，根
据相互独立事件的定义，只要P（AB）＝P（A）P（B）成立即可.
易知P（A）＝0.5，P（B）＝0.5，P（AB）＝0.25，故P（AB）＝
P（A）P（B），故二者是相互独立事件.
【规律方法】
判断两个事件是否相互独立的方法
（1）定量法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事
件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.即利用P（AB）＝P
（A）·P（B）是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立；
（2）定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影
响，若没有影响就是相互独立事件.
训练1　（1）甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目
标”，事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B（　A　）
A. 相互独立但不互斥
B. 互斥但不相互独立
C. 相互独立且互斥
D. 既不相互独立也不互斥
解析：同时对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，即事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A.
A
（2）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随
机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙
表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的
数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
（　B　）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
B
解析：事件甲发生的概率为P（甲）＝ ，事件乙发生的概率为P（乙）＝ ，事件丙发生的概率为P（丙）＝ ，事件丁发生的概率为P（丁）＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为 ＝ ，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为 ＝ ，P（乙丙）≠P（乙）·P（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
知识点二
相互独立事件的性质
02
PART
问题2　互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事
件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验
为例，分别验证A与 ， 与B， 与 是否独立，你有什么发现？
提示：对于A与 ，因为A＝AB∪A ，而且AB与A 互斥，所以P
（A）＝P（AB∪A ）＝P（AB）＋P（A ）＝P（A）P（B）＋P
（A ），所以P（A ）＝P（A）－P（A）P（B）＝P（A）[1－P
（B）]＝P（A）P（ ）.由事件的独立性定义，知A与 相互独立.类
似地，可以证明事件 与B， 与 也都相互独立.
【知识梳理】
1. 如果事件A与事件B相互独立，那么A与 ， 与B， 与 也都
.
2. 一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生
的概率等于每个事件发生的概率的乘积.
　　提醒：当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）＝P
（A）P（B）P（C）不一定成立，事件相互独立与事件两两独立是不等
同的.
相
互独立　
【例2】　一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示
第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与 是（　　）
A. 相互独立事件 B. 不相互独立事件
C. 互斥事件 D. 对立事件
解析：　由题意可得 表示“第二次摸到的不是白球”，即 表示“第
二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白
球互不影响，故事件A1与 是相互独立事件.
√
【规律方法】
相互独立事件的性质
（1）如果事件A和事件B可以同时发生，且它们发生的概率互不影响，那
么事件A和事件B相互独立；
（2）如果有n个事件相互独立，那么将其中任意一个事件换成它的对立事
件，所得的n个事件仍相互独立.
　　提醒：概率为0的事件与任何事件相互独立.
训练2　若P（AB）＝ ，P（ ）＝ ，P（B）＝ ，则事件A与B的关
系是（　　）
A. 事件A与B互斥
B. 事件A与B对立
C. 事件A与B相互独立
D. 事件A与B既互斥又相互独立
解析：因为P（ ）＝ ，所以P（A）＝ ，又P（B）＝ ，P（AB）＝ ，所以有P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立但不一定互斥.
√
03
PART
知识点三
相互独立事件的概率
【例3】　（链接教材P251例2）甲、乙两人破译一份密码，他们各人能破
译的概率分别为 和 ，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下
事件发生的概率：
（1）两人都能破译的概率；
解： 由题意，甲、乙两人破译一份密码，他们各人能破译的概率分
别为 和 ，
两人能否破译密码相互独立，
所以两人都能破译的概率为 × ＝ .
（2）恰有一人能破译的概率；
解： 恰有一人能破译的概率为 ×（1－ ）＋（1－ ）× ＝ .
（3）至多有一人能破译的概率.
解： 事件“至多有一人能破译”与事件“两人都能破译”互为对立事件，
所以至多有一人能破译的概率为1－ × ＝1－ ＝ .
【规律方法】
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定各事件之间是相互独立的；
（2）求出每个事件的概率，再求积.
2. 使用相互独立事件同时发生的概率公式计算时，要掌握公式的适用条
件，即各个事件是相互独立的.
训练3　（1）甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个
螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成
A型螺栓的概率为（　C　）
A. B.
C
C. D.
解析：设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则事件M与N相互独立，P（M）＝ ＝ ，P（N）＝ ＝ ，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝ × ＝ .
（2）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分
别为 ， ， ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率
为 .
解析： 加工出来的零件的正品率是（1－ ）×（1－ ）×（1－
）＝ ，因此加工出来的零件的次品率为1－ ＝ .
　
互斥与独立事件关系的判断
1. 互斥事件与独立事件的区别与联系
从互斥事件和独立事件的概念我们可以看出，互斥事件即互不相容，是不
可能同时发生的事件，交集为空集，但会产生相互影响（比如A发生，B
就一定不发生）；独立事件A和B的发生互不影响，可能会同时发生.简单
的说就是互斥必相互影响，独立必相容.
2. 互斥事件与独立事件的运算性质
已知事件A，B发生的概率分别为P（A），P（B），则有
事件 表示 概率（A，B互斥） 概率
（A，B相互独立）
A，B中至少有
一个发生 P（A∪B） P（A）＋P（B） 1－P（ ）P（ ）或P（A）＋P（B）－P（AB）
A，B都发生 P（AB） 0 P（A）P（B）
事件 表示 概率 （A，B互斥） 概率
（A，B相互独立）
A，B都不发生 P（ ） 1－[P（A）＋P（B）] P（ ）P（ ）
A，B恰有 一个发生 P（A ∪ B） P（A）＋P（B） P（A）P（ ）
＋P（ ）P（B）
A，B中至多 有一个发生 P（ ∪A
∪ B） 1 1－P（A）P（B）
【迁移应用】
1. 掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，设事件A＝“出现偶数点”，事件
B＝“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是（　　）
A. 互斥但不相互独立
B. 相互独立但不互斥
C. 互斥且相互独立
D. 既不相互独立也不互斥
√
解析：事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.所以P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ × ，即P（AB）＝P（A）P（B），因此事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
2. 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接
的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是
0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
解： 设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N*），
那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，
根据互斥事件的概率加法公式，得：
P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）
＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
解：事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A的对立事件，记为 ，
根据对立事件的概率公式，得P（ ）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05.
1. 若P（AB）＝ ，P（ ）＝ ，P（B）＝ ，则事件A与B的关系是
（　　）
A. 互斥 B. 相互独立
C. 互为对立 D. 无法判断
解析：　因为P（ ）＝ ，所以P（A）＝ ，又P（B）＝ ，所以事
件A与事件B不对立，又因为P（AB）＝ ，所以有P（AB）＝P（A）
P（B），所以事件A与B相互独立但不一定互斥.故选B.
√
2. 甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为
0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（　　）
A. 0.3 B. 0.63
C. 0.7 D. 0.9
解析：　设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P（AB）＝P（A）P
（B）＝0.9×0.7＝0.63.故选B.
√
3. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中
一次的概率为 ，则该队员每次罚球的命中率为 　 　.
解析：设该队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝ ，所以p＝ .
　
4. 一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.
（1）从口袋内有放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B
＝“第二次抽到黄球”；
解： 有放回地抽取小球，事件A是否发生对事件B是否发生没有影
响，它们是相互独立事件.
解： 无放回地抽取小球，记红、黄、蓝球的号码分别为1，2，3，则
样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），
（3，2）}，共包含6个样本点，
A＝{（1，2），（1，3）}，B＝{（1，2），（3，2）}.
因为P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ，
所以P（AB）≠P（A）P（　B　），
所以事件A，B不是相互独立事件.
（2）从口袋内无放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B
＝“第二次抽到黄球”.
试分别判断（1）（2）中的事件A，B是否为相互独立事件.
课堂小结
1.理清单
（1）相互独立事件的判断；
（2）相互独立事件的性质；
（3）相互独立事件概率的计算.
2.应体会
求相互独立事件的概率时常用定义法和列举法.
3.避易错
对事件是否相互独立判断错误.
课时作业
04
PART
1. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，
则两粒种子都发芽的概率是（　　）
A. 0.26 B. 0.08
C. 0.18 D. 0.72
解析：　由题意知，P＝0.8×0.9＝0.72.故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则
下列命题一定成立的是（　　）
A. A与B相互独立 B. A与C互斥
C. B与C互斥 D. 与 相互独立
解析：　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不
可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另
一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独立，由两事件相互独立的
性质易知D正确.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 下列各对事件中，是相互独立事件的为（　　）
A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有
射中目标”
D. 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标
但乙未射中目标”
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可
能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在B中，甲、乙各射击一
次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是
相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与
“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独
立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射
中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P
（A）P（B），故事件A，B不相互独立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，
飞行目标被雷达发现的概率为（　　）
A. 0.72 B. 0.26
C. 0.7 D. 0.98
解析：　由题意知，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为0.1，0.2，
所以飞行目标被雷达发现的概率为1－0.1×0.2＝0.98.故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 端午节是我国传统节日，甲、乙、丙3人端午节来徐州旅游的概率分别
是 ， ， ，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1
人来徐州旅游的概率为（　　）
A. B.
解析：　由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为（1－ ）×（1－
）×（1－ ）＝ × × ＝ ，所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的
概率为1－ ＝ .
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中正确的命题为
（　　）
A. 若P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则 ， 为相互独立
事件
B. 若P（ ）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则M，N为相互独立
事件
C. 若P（M）＝ ，P（ ）＝ ，P（MN）＝ ，则 ，N为相互独立
事件
D. 若P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（ ）＝ ，则M，N为相互独立
事件
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则P（MN）＝P（M）P（N），故由相互独立事件的性质知 ， 为相互独立事件，故A正确；P（ ）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则P（M）＝1－P（ ）＝ ，P（MN）＝P（M）P（N），故M，N为相互独立事件，故B正确；P（M）＝ ，P（ ）＝ ，P（MN）＝ ，则P（N）＝1－P（ ）＝ ，P（M）P（N）＝ × ＝ ≠P（MN），故由相互独立事件的性质知 ，N不相互独立，故C错误；P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（ ）＝ ，则P（MN）＝1－P（ ）＝ ＝P（M）P（N），故M，N为相互独立事件，故D正确.故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 〔多选〕已知事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B）＝ ，则
（　　）
A. P（ ）＝ B. P（A ）＝
C. P（A＋B）＝ D. P（A ＋ B）＝
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　根据事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B）＝ ，可
得P（ ）＝1－P（A）＝1－ ＝ ，故A正确；而P（ ）＝1－P
（B）＝1－ ＝ ，所以P（A ）＝P（A）P（ ）＝ × ＝ ，故B
错误；P（AB）＝P（A）P（B）＝ × ＝ ，所以P（A＋B）＝P
（A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋ － ＝ ，故C正确；由概率加法公式
可得P（A ＋ B）＝P（A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ ，故D
错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，
B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别
如表：
购买A种医 用外科口罩 购买B种医 用外科口罩 购买C种医
用外科口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为 .
解析：由表知，甲购买A种口罩的概率为0.5，乙购买B种口罩的概率为
0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率为P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋
0.4×0.2＝0.28.
0.28　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可
能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会
淋雨.则他们淋雨的概率是 .
解析：由题意，A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P（A）＝P（B）
＝ ，所以淋雨的可能性为P（A）P（ ）＝ × ＝ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为 ，乙投篮
命中的概率为 ，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
（1）求甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
解：记“甲投篮命中”为事件A，“乙投篮命中”为事件B， 则P（A）＝ ，P（B）＝ ，因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B相互独立，那么恰好有1人命中的概率P＝P（A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
解： 由（1）知，两人都没有命中的概率为P（ ）＝ × ＝ ，
所以至少有1人命中的概率为P1＝1－P（ ）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且
A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1，A2正常工作
的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的
概率为（　　）
A. 0.960 B. 0.864
解析：　根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C，则P
（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.8，A1，A2至少有一个正常工
作的概率为1－P（ ）P（ ）＝1－（1－0.8）×（1－0.8）＝0.96，
则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.
C. 0.720 D. 0.576
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需
要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为 ，则甲队获得冠军
的概率为（　　）
A. B.
解析：　由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况：①第一局甲队获
胜，此时的概率为 ；②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率
为 × ＝ ，综上所述，甲队获胜的概率为 ＋ ＝ .故选D.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为 ，A发生B不发生的概
率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）＝ .
解析：由题意知，P（ ）P（ ）＝ ，P（ ）·P（B）＝P（A）
P（ ）.设P（A）＝x，P（B）＝y，x，y∈（0，1），则
即 ∴x2－2x＋1＝ ，解得
x＝ 或x＝ （舍去），故P（A）＝ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节.现
已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是 ， ， ， ，且
每个环节是否通过互不影响.求：
（1）此人进入第四环节才被淘汰的概率；
解： 由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四环节才被淘汰
的概率为 × × ×（1－ ）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）此人至多进入第三环节的概率.
解： 法一　此人进入第一环节被淘汰的概率为1－ ＝ ，
此人进入第二环节被淘汰的概率为 ×（1－ ）＝ ，
此人进入第三环节被淘汰的概率为 × ×（1－ ）＝ ，
所以此人至多进入第三环节的概率为 ＋ ＋ ＝ .
法二　此人进入第四环节的概率为 × × ＝ ，所以此人至多进入第
三环节的概率为1－ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加
两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比
赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ， ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出
的概率分别为 ， .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解： 设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中
胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜
出”，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”.
∵P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（B1）＝ ，P（B2）＝ ，
∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝ × ＝ ，P（B1B2）＝P（B1）P
（B2）＝ × ＝ ，
∵ ＞ ，∴派甲参赛赢得比赛的概率更大.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
解： 由（1）知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”，
∵P（ ）＝1－P（A1A2）＝1－ ＝ ，P（ ）＝1－P（B1B2）＝1－
＝ .
设E＝“两人中至少有一人赢得比赛”.
∴P（E）＝1－P（ ）＝1－P（ ）P（ ）＝1－ × ＝ .
∴两人中至少有一人赢得比赛的概率为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看