10.3　频率与概率

(共59张PPT)
10.3　频率与概率
1.结合具体实例，会用频率估计概率（数学抽象、数据分析）.
2.了解随机数的意义，会用模拟法估计概率，理解用模拟法估计概率的实质（数学建模）.
课标要求
　　对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率.但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断.例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法.
情景导入
知识点一　频率的稳定性
01
知识点二　游戏的公平性
02
知识点三　随机模拟
03
目录
课时作业
04
知识点一
频率的稳定性
01
PART
问题1　利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，
100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”
发生的频数nA和频率fn（A），结果如表所示：
序号 n＝20 n＝100 n＝500
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
你能计算出事件A的概率吗？频率与概率有什么关系？
提示：P（A）＝0.5，试验次数n相同，频率fn（A）可能不同，这说明
随机事件发生的频率具有随机性.从整体来看，频率在概率0.5附近波动.
当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小，
但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能
性更大.
【知识梳理】
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频
率具有 .一般地，随着试验次数n的 ，频率偏离概率的
幅度会 ，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐稳定于事件A发生
的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的 .因此，我们
可以用频率fn（A）估计概率P（　A　）.
　　提醒：频率是概率的试验值，概率是频率的稳定值，概率是一个确定
的数，与每次的试验无关.
随机性　
增大　
缩小　
稳定性　
A
【例1】　（1）气象台预测“本市明天降雨的概率是90％”，对预测的正
确理解是（　　）
A. 本市明天将有90％的地区降雨
B. 本市明天将有90％的时间降雨
C. 明天出行不带雨具肯定会淋雨
D. 明天出行不带雨具可能会淋雨
解析：“本市明天降雨的概率是90％”即为“本市明天降雨的可能性为90％”.故选D.
D
（2）某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
①填写表中击中靶心的频率；
解：①表中从左到右依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，
0.89，0.91.
②由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概
率约是0.9.
②这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
【规律方法】
1. 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.频率本身是随机变
量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.
2. 解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率
估计概率.
训练1　下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
（1）计算各组优等品频率，填入上表；
解： 根据优等品频率＝ ，可得优等品的频率从左到右依次
为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
（2）根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
解：（由（1）可知抽取的乒乓球优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故
可以估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
知识点二
游戏的公平性
02
PART
【例2】　（链接教材P256例2）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4
个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.
（1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，
谁摸出的球上所标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜
的概率；
解： 记甲、乙摸出的数字为（x，y），则共有16种情况，
则x＞y的有（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），（3，1），
（2，1），共6种情况，故甲获胜的概率为 ＝ .
（2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获
胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由.
解：不公平.理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有（4，4），（3，3），（2，2），（1，1），共4种情况，
故甲获胜的概率为 ＝ ，乙获胜的概率为 ＝ ，故不公平.
【规律方法】
游戏公平性的标准及判断方法
（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率
是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的；
（2）具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.
训练2　某校高一年级（1）、（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚
会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始
时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节
目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转
盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，
将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获
胜.该方案对双方是否公平？为什么？
解：该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有
6种，为奇数的也有6种，
所以（1）班代表获胜的概率P1＝ ＝ ，
（2）班代表获胜的概率P2＝ ＝ ，即P1＝P2，机会是均等的，
所以该方案对双方是公平的.
03
PART
知识点三
随机模拟
问题2　（1）用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法
可以替代试验呢？
提示：利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根
据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大
量重复试验了.
（2）随机模拟的步骤是怎样的？
提示：①建立概率模型；
②进行模拟试验（可用计算器或计算机进行）；
③统计试验结果.
【知识梳理】
1. 产生随机数的方法
（1）利用计算器或计算机软件产生随机数；
（2）构建模拟试验产生随机数.
2. 随机模拟方法（蒙特卡洛方法）
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到
的 来估计 ，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为
随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
　　提醒：利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形.
频率　
概率　
【例3】　（链接教材P259例3、P260例4）盒中有大小、形状相同的5个白
球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
（1）任取一球，得到白球；
（1）统计随机数个数N及小于6的个数N1，则 即为任取一球，得到白球
的概率的近似值.
解：用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，
5表示白球，6，7表示黑球.
解：三个数一组（每组内可重复），统计总组数K及三个数都小于6的
组数K1，
则 即为任取三球（分三次，每次放回再取），都是白球的概率的近
似值.
（2）任取三球（分三次，每次放回再取），都是白球.
【规律方法】
1. 利用随机模拟试验估计概率可适用的事件类型特点
（1）对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题；
（2）对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不
遗漏的概率问题，或对于基本事件的等可能性难以验证的概率问题.
2. 利用随机模拟试验估计概率的两个关注点
（1）当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每
个随机数代表一个样本点；
（2）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来
处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
训练3　（1）通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰有三次击中目标，求四次
射击中恰有三次击中目标的概率；
解：表示恰有三次击中目标的随机数分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5组，而随机数总共20组，用频率估计概率得，所求的概率约为 ＝ .
（2）在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，
分别标有数字1，2，3，4.现有放回地每次从中任意取出一个小球，若标
有偶数的球都取到过，则停止摸球.小明用随机模拟的方法估计恰好在第3
次停止摸球的概率，利用计算机软件产生1～4之间（包括1和4）取整数值
的随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产
生了以下18组随机数：
131 432 123 233 234 122 332 141 312
241 122 214 431 241 141 433 223 442
由此估计恰好在第3次停止摸球的概率.
解：在18组随机数中，表示恰好在第3次停止摸球的是432，234，214，442，共4组，用频率估计概率，则估计恰好在第3次停止摸球的概率近似为 ＝ .
1. 在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为 ，当n很大时，事件A
发生的概率P（A）与 的关系是（　　）
A. P（A）≈ B. P（A）＜
C. P（A）＞ D. P（A）＝
解析：　在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为 ，当n很大时，
越来越接近于P（A），所以可以用 近似的代替P（A），即P（A）
≈ .故选A.
√
2. 用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于（　　）
A. 产生的随机数的大小 B. 产生的随机数的个数
C. 随机数对应的结果 D. 产生随机数的方法
解析：　随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值.
√
3. 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试
验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为
（　　）
A. 0.56，0.56 B. 0.56，0.5
C. 0.5，0.5 D. 0.5，0.56
解析：　某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上
出现了560次，那么出现正面朝上的频率为 ＝0.56；由于每次抛硬币
时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，故出现正面朝上的概率
为0.5.
√
4. 已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行
了 次试验.
解析：设进行了n次试验，则有 ＝0.02，得n＝500，故进行了500次
试验.
500　
课堂小结
1.理清单
（1）概率与频率的关系；
（2）用频率估计概率；
（3）用随机模拟估计概率.
2.避易错
频率与概率的关系易混淆.
课时作业
04
PART
1. 下列说法中正确的有（　　）
A. 任何事件发生的概率总是在（0，1）之间
B. 概率是随机的，在试验前不能确定
C. 频率是客观存在的，与试验次数无关
D. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
解析：　概率的取值范围为[0，1]，故A错误；频率是不能脱离试验次数
的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，故B、C错
误；D显然正确.
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√
2. 某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示“投
进球”这一事件，则事件A发生的（　　）
A. 概率为 B. 频率为
C. 频率为8 D. 概率接近0.8
解析：　投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A发生
的频数为8，所以事件A发生的频率为 ＝ .
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3. 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如
下表：
最高水位范围（米） ＜10 [10，12） [12，14） [14，16） ≥16
频率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
若当最高水位低于14米时为“安全水位”，则出现“安全水位”的频率是
（　　）
A. 0.28 B. 0.38
C. 0.66 D. 0.76
解析：由表格得，出现“安全水位”的频率是0.1＋0.28＋0.38＝0.76.
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4. （2025·宁德月考）某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员
对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，
则该厂所生产的2 500套座椅中次品套数大约为（　　）
A. 10 B. 20
C. 25 D. 50
解析：　设有n套次品，由概率的统计定义，知 ＝ ，解得n＝
50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品.
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5. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟的方法估计“3例心脏手
术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间的整数随机
数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，
7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，
经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（　　）
A. 0.2 B. 0.3
√
C. 0.4 D. 0.5
解析：　由题意，10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有
569，989，共2组，估计“3例心脏手术全部成功”的概率为 ＝0.2.
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6. 〔多选〕小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了10次，每次朝上
的点数都是6，则下列说法正确的是（　　）
A. 朝上的点数是6的概率和频率均为1
B. 若抛掷10 000次，则朝上的点数是6的概率约为
C. 抛掷第11次，朝上的点数一定不是6
D. 抛掷6 000次，朝上的点数为6的次数大约为1 000
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解析： 　对于A，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的
概率为 ，故A错误；对于B，因为频率随着实验的次数的不同而不同，随
着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的值，而抛掷一枚质地均匀的正
方体骰子，朝上的点数是6的概率为 ，故B正确；对于C，抛掷一枚质地
均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为 ，所以抛掷第11次，朝上点
数可能是6，也可能不是6，故C错误；对于D，抛掷一枚质地均匀的正方体
骰子，朝上的点数是6的概率为 ，抛掷6 000次，其频率接近 ，所以朝上
的点数为6的次数大约为1 000，故D正确.
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7. 〔多选〕甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（　　）
A. 抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B. 同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C. 从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色
则乙胜
D. 甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
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解析： 　A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝ ；B项，P
（点数之和大于7）＝ ＝ ，P（点数之和小于等于7）＝ ＝ ；C
项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝ ；D项，P（同奇或同偶）＝P
（奇偶不同）＝ .故选A、C、D.
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8. 在用随机数（整数）模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，被抽
选的4个中有2个男生、2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机
整数，并且1～4代表男生，用5～9代表女生.因为是选出4个，所以每4个
随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义
是 .
解析：用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示选出的4人中有1个男
生、3个女生.
选出的4人中有1个男生、3个女生　
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9. 某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80％，第二场投篮30次的命中率为70％，则该同学这两场投篮的命中率为
.
解析：该同学这两场投篮的命中率为 ＝74％.
74
％　
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10. 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000根，该公司对这些灯管
的使用寿命（单位：h）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [700， 900） [900， 1 100） [1
100， 1 300） [1
300， 1 500） [1
500， 1 700） [1
700， 1 900） [1
900，
2 100]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
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（1）将各组的频率填入表中；
解： 填表如下：
分组 [700， 900） [900， 1 100） [1
100， 1 300） [1
300， 1 500） [1
500， 1 700） [1
700， 1 900） [1
900，
2 100]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
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（2）用频率估计概率，根据上述统计结果，估计该种型号的灯管的使用
寿命不足1 500 h的概率.
解： 样本中使用寿命不足1 500 h的频数是48＋121＋208＋223＝
600，所以样本中使用寿命不足1 500 h的频率是 ＝0.6，即估计该种型
号灯管的使用寿命不足1 500 h的概率为0.6.
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11. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率
折线图如图所示，则下列选项中符合这一结果的试验可能是（　　）
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张
牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
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解析：　由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.抛一枚硬币，出现正面朝
上的概率为0.5，不符合，故A错误；掷一个正六面体的骰子，出现3点朝
上的概率为 ，不符合，故B错误；一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中
任抽一张牌的花色是红桃的概率为 ，不符合，故C错误；从一个装有2个
红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为 ，在0.3到0.4
之间，符合题意，故D正确.故选D.
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12. 〔多选〕某评分网站将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星
2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数
所得的分值作为最终评分.某影片的评分情况如图，假如参与评价的观众
中有97.6％的评价不低于二星，
则下列说法正确的是（　　）
A. m的值是32.0％
B. 随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C. 随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D. 若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与
事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
√
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√
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解析： 　对于A，参与评价的观众中有97.6％的评价不低于二星，则
24.0％＋32.9％＋m＋8.7％＝97.6％，所以m＝32.0％，故A正确；对于
B，随机抽取100名观众，可能有100×24.0％＝24（人）评价五星，但不
是一定的，故B错误；对于C，由A知，评价是三星或五星的概率约为32.0
％＋24.0％＝56.0％，故C正确；对于D，根据互斥事件和对立事件的定义
可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不
对立事件，故D正确.
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13. 某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一
次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（1）
摇号的初始中签率为0.19；（2）当中签率不超过1时，可借助“好友助
力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签
率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请 　　位好友参与“好
友助力”活动.
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解析：因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增
加的中签率大于0.9－0.19＝0.71，因为每邀请到一位好友参与“好友助
力”活动可使中签率增加0.05，且 ＝14.2，所以至少需要邀请15位好
友参与“好友助力”活动.
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14. 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，
当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人
参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的
数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种方
案中选一种：
A. 猜“是奇数”或“是偶数”；
B. 猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C. 猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答下列问题：
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（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样
猜？为什么？
解：如题图，方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为 ＝0.5；
方案B中“不是4的整数倍数”的概率为 ＝0.8，“是4的整数倍数”的概
率为 ＝0.2；
方案C中“是大于4的数”的概率为 ＝0.6，“不是大于4的数”的概率为
＝0.4.乙为了尽可能获胜，应选方案B，猜“不是4的整数倍数”.
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（2）为了保证游戏的公平性，你认为应制定哪种猜数方案？为什么？
解： 为了保证游戏的公平性，应当选择方案A. 因为方案A猜“是奇
数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的.
（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.
解： 可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，此方
案也可以保证游戏的公平性.
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15. 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆
中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数 500 130 100 150 120
（1）若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额
的概率；
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解： 设A表示事件“赔付金额为3 000元”，
B表示事件“赔付金额为4 000元”，
以频率估计概率得P（A）＝ ＝0.15，
P（B）＝ ＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是3 000元和4
000元，
所以其概率约为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
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（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10％，在赔付金额为4 000元的样
本车辆中，车主是新司机的占20％，估计在已投保车辆中，新司机获赔金
额为4 000元的概率.
解： 设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4 000元”，由已
知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100（辆），而赔付金额
为4 000元的样本车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24（辆）.
所以样本车辆中新司机获赔金额为4 000元的频率为 ＝0.24，由频率估
计概率得P（C）＝0.24.
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THANKS
演示完毕 感谢观看