10.1.2　事件的关系和运算

(共59张PPT)
10.1.2　事件的关系和运算
了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算（数学抽象、数学建模）.
课标要求
　　上一节课我们学习了用集合来表示样本空间，事件则被定义为样本空间的一个子集.我们知道，集合之间有确定的关系，可进行交、并、补等运算，那么用集合表示的事件之间是否也有这些情况呢？
情景导入
知识点一　事件的关系
01
知识点二　事件的运算
02
知识点三　互斥事件与对立事件
03
目录
课时作业
04
知识点一
事件的关系
01
PART
问题1　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事
件，例如：
Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6；
D1＝“点数小于3”；D2＝“点数不小于3”；
E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；
F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”；
……
用集合的形式表示事件C1＝“点数为1”和事件G＝“点数为奇数”，
借助集合与集合的关系和运算，你能发现两事件之间的联系吗？事件
D1与E1呢？
提示：G＝{1，3，5}，{1} {1，3，5}，即C1 G. D1＝{1，2}，E1＝
{1，2}，即D1＝E1.
【知识梳理】
定义 符号表示 图形表示
包含 关系 一般地，若事件A发生，
则事件B ，
称事件B包含事件A（或事
件A包含于事件B） B A （或A B）
相等 关系 如果事件B 事件
A，事件A 事件
B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等 A B
一定发生　
　
　
包含　
也包含　
＝　
【例1】　在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A＝“出现1点”；B＝“出现2点”；C＝“出现3点”；D＝“出现4
点”；E＝“出现5点”；F＝“出现6点”；G＝“出现的点数不大于
1”；H＝“出现的点数小于5”；I＝“出现奇数点”；J＝“出现偶数
点”.
请判断下列两个事件的关系：
（1）B H；（2）D J；（3）E I；（4）A G.
解析：因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点
四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；同理D J，
E I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.
　
　
　
＝　
【规律方法】
判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
训练1　掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A＝“3次正面
向上”，B＝“只有1次正面向上”，C＝“至少有1次正面向上”，试判
断事件A，B，C之间的包含关系.
解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发
生，因此有A C，B C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件
B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系.
综上，事件A，B，C之间的包含关系为A C，B C.
知识点二
事件的运算
02
PART
问题2　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数：
（1）用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1
或2”，事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的基本运算，你能发
现这些事件之间的联系吗？
提示：D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.{1，2}∪{2，3}＝{1，
2，3}，即E1∪E2＝D1.
（2）事件C2＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”，事件E2＝
“点数为2或3”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之
间的联系吗？
提示：C2＝{2}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}，{1，2}∩{2，3}＝{2}，即
E1∩E2＝C2.
【知识梳理】
定义 符号表示 图形表示
并事件 （或和
事件） 一般地，事件A与事件B
有一个发生，这样的一个
事件中的样本点或者在事件A
中，或者在事件B中，我们称这
个事件为事件A与事件B的并事
件（或和事件） A B （或A B）
至
少　
∪　
＋　
定义 符号表示 图形表示
交事件 （或积
事件） 一般地，事件A与事件B
发生，这样的一个事件中
的样本点既在事件A中，也在事
件B中，我们称这样的一个事件
为事件A与事件B的交事件（或
积事件） A B （或AB）
同
时　
∩　
　　提醒：对于三个事件A，B，C，至少有一个发生可表示为A∪B∪C
（或A＋B＋C）；同时发生可表示为A∩B∩C（或ABC）.
【例2】　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3
个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事
件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白
球”.
求：（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？
解： 对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个
白球，故D＝A∪B.
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
解： 对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白
球或3个均为红球，故C∩A＝A.
变式　在本例中，设事件E＝“3个红球”，事件F＝“3个球中至少有一
个白球”，那么事件C与B，E分别是什么关系？C与F的交事件是什么
事件？
解：由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3
个红球三种情况，故B C，E C. 而事件F包括的可能结果有1个白球、
2个红球或2个白球、1个红球或3个白球，所以C∩F＝D.
【规律方法】
事件间的运算方法
（1）利用事件间运算的定义：列出同一条件下的试验所有可能出现的结
果，分析并利用这些结果进行事件间的运算；
（2）利用Venn图：借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有
可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
训练2　（1）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那
么A＝A1∪A2∪A3表示（　B　）
A. 全部击中 B. 至少击中1发
C. 至少击中2发 D. 以上均不正确
解析： A＝A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至
少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B.
B
（2）在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察掷出的点数”
中，事件M表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件N表示随机
事件“两次掷出的点数和比9大”，用（i，j）表示抛掷的结果，其中i表
示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则事件M∩N＝
（　D　）
A. {（6，6）}
B. {（4，6），（6，6）}
C. {（5，6），（6，6）}
D. {（4，6），（6，4），（6，6）}
D
解析： 根据题意，事件M＝{（2，2），（2，4），（2，6），
（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）}，事
件N＝{（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，
6）}，所以事件M∩N＝{（4，6），（6，4），（6，6）}.
03
PART
知识点三
互斥事件与对立事件
问题3　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数：
（1）用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”和事件C4＝“点数为4”，
借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：C3＝{3}，C4＝{4}，C3∩C4＝ .
（2）用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇
数”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}.F∪G＝Ω，F∩G＝ .
【知识梳理】
1. 互斥事件
定义 一般地，如果事件A与事件B 发生，也就是说
A∩B是一个 事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）
含义 A与B不能同时发生
符号表示 A∩B＝
图形表示
不能同时　
不可能　
　
2. 对立事件
定义 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中 发生，即A∪B＝ ，且A∩B＝ ，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为
含义 A与B 发生
符号表示 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
图形表示
　　提醒：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立.
有且仅有一个　
Ω　
　
有且仅有一个　
【例3】　（1）一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有一次
击中”互为对立事件的是（　D　）
A. 两次均击中 B. 恰有一次击中
C. 第一次击中 D. 两次均未击中
解析： 事件“至少有一次击中”包含“一次击中”和“两次均击
中”，与“两次均未击中”互为对立事件，因此D正确.
D
（2）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而
不对立的两个事件的是（　D　）
A. “至少有1个红球”与“都是黑球”
B. “恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C. “至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D. “都是红球”与“都是黑球”
D
解析： 从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果有
以下三种：1红1黑、2红、2黑.“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，与
“都是黑球”是对立事件，因此A不满足题意；“恰好有1个红球”和“恰
好有1个黑球，是同一个事件，因此B不满足题意；“至少有1个黑球”包
括1红1黑、2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，这两个事件不是
互斥事件，因此C不满足题意；“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件
而不是对立事件，因此D满足题意.
【规律方法】
辨析互斥事件与对立事件的思路
（1）从发生的角度看：①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发
生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；②两个对立事件必有一个发
生，但不可能同时发生；
（2）从事件个数的角度看：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立
的概念只适用于两个事件.
训练3　（1）一次试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，
则事件A与事件B的关系是（　C　）
A. 互斥不对立 B. 对立不互斥
C. 互斥且对立 D. 不互斥也不对立
解析： 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，
故事件A与事件B的关系是互斥且对立.
C
（2）如果事件A，B互斥，记 ， 分别为事件A，B的对立事件，则下
列说法正确的是（　B　）
A. A∪B是必然事件
B. ∪ 是必然事件
C. 与 一定互斥
D. 与 一定不互斥
解析： 用Venn图解决此类问题较为直观，
如图所示， ∪ 是必然事件，则B正确，A、C错误.若A
与B互斥且对立，则 ＝B， ＝A，则D错误.
B
1. 掷一枚骰子，设事件A＝“出现的点数不小于5”，B＝“出现的点数
为偶数”，则事件A与事件B的关系是（　　）
A. A B
B. A∩B＝“出现的点数为6”
C. 事件A与B互斥
D. 事件A与B对立
解析：　由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是
2或4或6.故A∩B＝“出现的点数为6”.
√
2. 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（　　）
A. “甲站排头”与“乙站排头”
B. “甲站排头”与“乙站排尾”
C. “甲站排头”与“乙不站排头”
D. “甲不站排头”与“乙不站排头”
解析：　根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中
两事件能同时发生，故不是互斥事件.
√
3. 掷一颗骰子，若事件A：出现奇数点，则A的对立事件为
.
解析：掷一颗骰子，事件A：出现奇数点，则A的对立事件为出现偶数点.
4. 甲、乙两人破译同一个密码，记甲、乙破译出密码分别为事件A，B，
则 B∪A 表示的含义是 ，事件“密码被破译”
可表示为 .
出现偶数
点　
只有一人破译出密码　
B∪A ∪AB　
课堂小结
1.理清单
（1）事件的包含关系与相等关系；
（2）并事件和交事件；
（3）互斥事件和对立事件.
2.应体会
列举法、Venn图法.
3.避易错
互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.
课时作业
04
PART
1. 一个射手进行一次射击，事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数
大于5，则（　　）
A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件
C. A B D. A B
解析：　事件A：命中环数大于8即命中9或10环；事件B：命中环数大于
5即命中6或7或8或9或10环，所以A B. 故选C.
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√
2. 从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件
A，则A的对立事件是（　　）
A. 至多有一件次品 B. 两件全是正品
C. 两件全是次品 D. 至多有一件正品
解析：　从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次
品”为事件A，则A的对立事件是两件全是正品.
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3. 从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A表示“所取的3个
球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（　　）
A. 所取的3个球中至少有一个白球
B. 所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球
C. 所取的3个球都是黑球
D. 所取的3个球中恰有1个白球、2个黑球
解析：　从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A为“所
取的3个球中至多有1个白球”，事件A的对立事件是所取的3个球中白
球多于1个，结合选项知事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白
球、1个黑球.
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4. 从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，记“这2个数的和大于4”为
事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点
个数分别为（　　）
A. 1，6 B. 4，2
√
解析：　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间
为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，
4）}，其中事件A包含的样本点有（1，4），（2，3），（2，4），（3，
4），共4个，事件B包含的样本点有（1，3），（2，4），共2个.所以事
件A＋B包含的样本点有（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），
（3，4），共5个.事件AB包含的样本点有（2，4），共1个.故选C.
C. 5，1 D. 6，1
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5. 设A，B为随机事件，则下列阴影部分表示事件 ∩B的是（　　）
解析：　对于A，阴影部分表示A∩ ，故A错误；对于B，阴影部分表
示 ∩B，故B正确；对于C，阴影部分表示A∪B，故C错误；对于D，阴
影部分表示（A∩ ）∪（ ∩B），故D错误.
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6. 〔多选〕从一批既有正品也有次品的产品中取出三件产品，记事件A：
全不是次品，事件B：全是次品，事件C：有次品，但不全是次品，则下
列结论中正确的是（　　）
A. A与C互斥 B. B与C互斥
C. 任何两个事件都互斥 D. A与B对立
√
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解析： 　由题意，事件A：全不是次品，即三件产品都是正品，事件
B：全是次品，事件C：有次品，但不全是次品，包括一件次品两件正
品，两件次品一件正品，共两个样本点，所以事件A与C互斥，B与C互
斥，A与B互斥，即任何两个事件都互斥，故A、B、C都正确；A与B互
斥，由于样本空间中还包括一件次品两件正品，两件次品一件正品两个样
本点，所以事件A与B不对立，故D错误.
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7. 〔多选〕对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件
A＝“两枚炮弹都击中飞机”，事件B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，事
件C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D＝“至少有一枚炮弹击中飞
机”，则下列关系正确的是（　　）
A. A∩D≠ B. B∩D＝
C. A∪B＝B∪D D. A∪C＝D
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解析：由题意得，事件C＝“第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中”，事件D＝“恰有一枚击中或两枚都击中”.对于A，由事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∩D＝A，A正确；对于B，由事件B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得事件B与事件D是互斥事件，所以B∩D＝ ，B正确；对于C，由事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∪B不是必然事件，B∪D为必然事件，所以A∪B≠B∪D，C不正确；对于D，事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∪C＝D，D正确.故选A、B、D.
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8. 甲、乙两个元件构成一串联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元
件故障”，则表示电路有故障的事件为 ；表示电路无故障的事
件为 .
解析：因为该电路为两个电子元件串联，如图所示，
由题意知 ＝“甲元件无故障”， ＝“乙元件无故
障”，则表示电路有故障的事件为E∪F，表示电路无故障的事件为 ∩ .
E∪F　
∩ 　
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9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，
事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2
和4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是
.
A
与C　
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10. 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，
“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面
向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为
事件E.
（1）试判断事件A与事件B，C，E的关系；
解： 事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次
反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个
样本点，
所以B A，C A，E A，A＝B∪C∪E.
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（2）试求A∩D，B∪C所包含的样本点，并判断A∩D与B∪C的关系.
解： “至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次
反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个
样本点，可以看出事件A与事件D有相同的两个样本点，即“一次正面向
上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”，故A∩D＝{一次
正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，B∪C＝{一次正
面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，所以A∩D＝
B∪C.
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11. 盒子内有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项
中的两个事件互斥而不对立的是（　　）
A. “至少有1个白球”和“至多有1个白球”
B. “至少有1个白球”和“至少有1个红球”
C. “至少有1个白球”和“没有白球”
D. “至少有1个白球”和“红球、黑球各1个”
√
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解析：　当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中
的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A、B；C中，两个事
件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是互斥且对
立事件，所以排除C；D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个
球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件
但不是对立事件.
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12. 〔多选〕从1，2，3，…，9中任取两个数，其中不是对立事件的是
（　　）
A. 恰有一个偶数和恰有一个奇数
B. 至少有一个偶数和两个都是偶数
C. 至少有一个奇数和两个都是偶数
D. 至少有一个奇数和至少有一个偶数
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解析：根据题意，从1，2，3，…，9中任取两个数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”，共三种情况，依次分析所给的4个事件.对于A，恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”的情况，不是对立事件；对于B，至少有一个偶数包括“两个偶数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个都是偶数”不是对立事件；对于C，至少有一个奇数包括“两个奇数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个都是偶数”是对立事件；对于D，至少有一个奇数包括“两个奇数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件.
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13. （2025·丽水月考）如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝
.（用B，C，D间的运算关系式表示）
B∩（C∪D）（或（BC）∪
（BD））　
解析：要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用关系式表示为B∩（C∪D）.也可分类讨论，即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合，即事件BC发生或事件BD发生，用关系式表示为（BC）∪（BD）.
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14. 有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝
“只订乙报”，事件C＝“至少订一种报纸”，事件D＝“至多订一种报
纸”，事件E＝“一种报纸也没订”，事件F＝“两种报纸都订”.根据上
述事件回答下列问题：
（1）请列举出具有包含关系的事件；
解： “至少订一种报纸”包含“只订甲报”，即A C.
同理，B C，F C，A D，B D，E D.
（2）用并事件的定义判断上述事件中哪些是并事件；
解：由题意及事件的相互关系可知，C＝A∪B∪F，D＝A∪B∪E.
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（3）从上述事件中找出成对的互斥事件和对立事件.
解： 由互斥事件及对立事件的定义知，互斥事件有A和B，A和E，
A和F，B和E，B和F，E和F，D和F，C和E；对立事件有C和E，D和F.
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15. 如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生.
（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所
代表的事件；
解：区域1表示事件“这名学生同时订阅了数学、语文、英语三种学习资料”；区域4表示事件“这名学生订阅了数学、语文两种学习资料，但没有订阅英语学习资料”；区域5表示事件“这名学生仅订阅了语文学习资料”；区域8表示事件“这名学生没有订阅数学、语文、英语学习资料”.
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（2）用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
解： ①A∪B∪C.
②A ＋ B ＋ C.
③ .
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