模块综合检测

(共40张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 从总数为N的一批零件中随机抽取一个容量为30的样本，若每个零件被
抽中的可能性为25％，则N＝（　　）
A. 200 B. 150
C. 120 D. 100
解析：　由 ＝0.25，得N＝120.故选C.
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2. 已知复数z满足iz＋2＝3z＋i（i为虚数单位），则 在复平面内对应的
点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　由iz＋2＝3z＋i，则z＝ ＝ ＝ － i，则 ＝
＋ i.即 在复平面内对应的点为（ ， ），位于第一象限.故选A.
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3. 已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与d
同向共线，则实数λ＝（　　）
A. －1或－ B. －
C. 1或－ D. 1
解析：　因为c与d同向共线，所以存在μ（μ＞0）使得c＝μd，即λa＋
b＝μ[a＋（2λ－1）b]＝μa＋μ（2λ－1）b，又向量a，b不共线，所以
解得λ＝－ （舍去）或λ＝1.故选D.
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4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的
长度（单位：mm）（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数
据都在区间[5，40]中，其频率分
布直方图如图所示.估计棉花纤维
的长度的样本数据的80％分位数是
（　　）
A. 28 mm B. 28.5 mm
C. 29 mm D. 29.5 mm
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解析：　棉花纤维的长度在25 mm以下所占的比例为（0.01＋0.01＋
0.04＋0.06）×5＝0.6＝60％，在30 mm以下所占的比例为60％＋25％＝
85％，因此，80％分位数一定位于[25，30）内，因为25＋5× ＝
29，所以估计棉花纤维的长度的样本数据的80％分位数是29 mm.故选C.
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5. 从甲队60人、乙队40人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取10
人，进行一轮答题.相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差
为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方
差为（　　）
A. 0.8 B. 0.675
C. 0.74 D. 0.82
√
解析：　根据题意，按照分层随机抽样的方法从甲队中抽取10× ＝6
人，从乙队中抽取10× ＝4人，这10人答对题目的平均数为 ×（6×1
＋4×1.5）＝1.2，所以这10人答对题目的方差为 ×{6×[1＋（1－
1.2）2]＋4×[0.4＋（1.5－1.2）2]}＝0.82.故选D.
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6. 在多面体ABC-DEF中，△ABC是边长为2的正三角形，AD，BE，CF都与平面ABC垂直，且AD＝2，BE＝1，CF＝3，则多面体ABC-DEF的体积是（　　）
A. B. 2
C. 3 D. 4
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解析：　如图，将多面体ABC-DEF补成三棱柱MNF-
ABC，三棱柱MNF-ABC的体积V1＝SABC·｜CF｜＝
×22×3＝3 ，设h为该四棱锥F-MNED的高，其数值为
底面等边△FMN的底边MN上的高，则h＝ ，而四棱锥
F-MNED的体积V2＝ ·S四边形MDEN·h＝ × ×2×
＝ ，则多面体ABC-DEF的体积是3 － ＝2 .故选B.
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7. 学习以下过程：若 ＝（x1，y1）， ＝（x2，y2），则S△ABC＝ ｜ ｜·｜ ｜· sin A＝ ｜ ｜·｜ ｜
＝ ＝ ＝ ｜x1y2－x2y1｜，完
成下面题目：已知f（a，b，c，d）＝（a2＋b2）（c2＋d2）－ac－bd
（a，b，c，d∈R），且ad－bc＝2，则f（a，b，c，d）min＝（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　由题意知S△ABC＝ ｜ ｜·｜ ｜· sin A＝
＝ ｜x1y2－x2y1｜.可得
f（a，b，c，d）＝（a2＋b2）·（c2＋d2）－ac－bd＝（ad－bc）2
＋（ac＋bd）2－ac－bd＝4＋（ac＋bd）2－（ac＋bd）（a，b，c，
d∈R）.当ac＋bd＝ 时，f（a，b，c，d）min＝ .验证
经验证a＝b＝1，c＝－ ，d＝ 符合题意.
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8. 已知△ABC中， · ＝－3，AB＝2， cos 2A＋ sin 2B＋ sin 2C＋
sin B sin C＝1，D是边BC上一点，∠CAD＝3∠BAD，则AD＝（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵ cos 2A
＋ sin 2B＋ sin 2C＋ sin B sin C＝1，即 sin 2B＋ sin 2C＋ sin B sin C＝ sin
2A，∴b2＋c2＋bc＝a2，∴ cos A＝ ＝－ ，又A∈（0，π），
∴A＝ ，又 · ＝－3，AB＝2，∴ · ＝2b cos A＝2b×
（－ ）＝－3，即b＝3，∴a2＝b2＋c2＋bc＝32＋22＋3×2＝19，故a＝
，∴ cos C＝ ＝ ＝ ，∵C∈（0， ），∴ sin C＝
＝ ，tan C＝ ，又∠CAD＝3∠BAD，A＝ ，∴∠CAD
＝ ，AD＝ACtan C＝3× ＝ .
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 设向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1，且｜b－2a｜＝ ，则以下结论
正确的是（　　）
A. a⊥b B. ｜a＋b｜＝2
C. ｜a－b｜＝ D. ＜a，b＞＝
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解析： 　因为｜a｜＝｜b｜＝1，且｜b－2a｜＝ ，所以b2－
4a·b＋4a2＝5，所以a·b＝0，故a⊥b，A正确；因为（a＋b）2＝a2
＋2a·b＋b2＝2，所以｜a＋b｜＝ ，B错误；因为（a－b）2＝a2－
2a·b＋b2＝2，所以｜a－b｜＝ ，C正确；因为a⊥b，所以＜a，b
＞＝ ，D错误.故选A、C.
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10. 某保险公司为客户定制了5个险种，甲：一年期短险；乙：两全保险；
丙：理财类保险；丁：定期寿险；戊：重大疾病保险.各种保险按相关约
定进行参保与理赔，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出
如下的统计图：
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A. 30～41周岁参保人数最多
B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少
C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20％
D. 丁险种最受参保人青睐
解析： 　对于A，由题中扇形图可知，30～41周岁的参保人数最多，故
A正确；对于B，由题中折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越
多，故B错误；对于C，由题中扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总
参保人数的80％，故C错误；对于D，由题中柱状图可知，丁险种参保比例
最高，故D正确.故选A、D.
用样本估计总体，以下四个选项正确的是（　　）
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11. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，点E为棱B1C1上任
意一点，则下列结论正确的是（　　）
A. 直线AA1与直线BE所成角的范围是
B. 在棱B1C1上存在一点E，使AB1⊥平面A1BE
C. 若E为棱B1C1的中点，则平面ABE截三棱柱ABC-
A1B1C1所得截面图形的面积为
D. 若F为棱A1B1上的动点，则三棱锥F-ABE体积的最大值为
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解析：对于A，由直三棱柱ABC-A1B1C1，所以AA1∥BB1，所以∠B1BE为直线AA1与直线BE所成的角，当E与B1重合时，直线AA1与直线BE所成的角为0，当E与C1重合时，直线AA1与直线BE所成的角为 ，所以直线AA1与直线BE所成角的范围是 ，故A正确.对于B，假设AB1⊥平面A1BE，又BE 平面A1BE，所以AB1⊥BE，设BC中点为H，连接AH，B1H，则AH⊥BC，则AH⊥平面BCC1B1，所以AB1在平面BCC1B1上的射影为B1H，由三垂线定理的逆定理得B1H⊥BE，又因为四边形BCC1B1为正方形，所以点E为CC1中点，与点E为棱B1C1上一点矛盾，故B错误.对于C，取A1C1中点G，连接EG，GA，则平面ABE截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面为等腰梯
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形ABEG，AB＝1，EG＝ ，在Rt△BB1E中，EB＝ ，
所以梯形的高为 ＝ ，梯形的面积为
S＝ × × ＝ ，故C正确.对于D，因为S△ABF＝ AB×BB1＝ ，且VF-ABE＝VE-ABF，所以当E与C1重合时，三棱锥F-ABE的体积最大，取A1B1中点M，连接C1M，则C1M⊥平面ABB1A1，得 ＝ S△ABF×C1M＝ × × ＝ ，故D错误.故选A、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 如图，△A'B'C'是斜二测画法画出的水平放置的
△ABC的直观图，D'是B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，
B'C'∥x'轴，A'D'＝1，B'C'＝2，则△ABC的面积为 .
2　
解析：根据斜二测画法的规则，可得水平放置的△ABC的
直观图，如图所示，因为A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，且A'D'＝
1，B'C'＝2，可得BC＝2，AD＝2，且AD⊥BC，所以
△ABC的面积为S＝ ｜BC｜｜AD｜＝2.
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13. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2
名同学中至少有1名女同学的概率是 .
解析：设3名男同学分别为A，B，C，2名女同学分别为a，b，则试验的
样本空间为Ω＝{（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），
（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，
b）}，共10个样本点，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的样本点为
（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，
b），（a，b），共7个，故所求概率为 .
　
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14. 若△ABC是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG
上任意一点，则 · 的取值范围是 .
解析：因为△ABC为等边三角形，G是边BC的中点，所以
AG⊥BC， ＝ （ ＋ ）.又M是线段AG上任意一
点，故设 ＝λ （0≤λ≤1）.因为 ＝ ＋ ，
所以 ＝ － ，所以 · ＝（ － ）· ＝ · － ＝－λ2 .又AG＝ ，0≤λ≤1，故－λ2· ∈［－ ，0］.
［－ ，0］　
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才
市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通信专
业，小青学的是电气工程专业.
（1）若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通信专业的概率；
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解： 从这5人中随机采访3人，有（小红、小东、小军），（小红、
小东、小英），（小红、小东、小青），（小红、小军、小英），（小
红、小军、小青），（小红、小英、小青），（小东、小军、小英），
（小东、小军、小青），（小东、小英、小青），（小军、小英、小青）
共10种情况，
其中至少有1人是通信专业的，对立事件是没有通信专业的，即（小红、
小东、小青），
所以3人中至少有1人是通信专业的概率为1－ ＝ .
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（2）若小红应聘成功的概率是 ，小军应聘成功的概率是 ，小青应聘成
功的概率是 ，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应
聘成功的概率.
解：设事件A＝“小红应聘成功”，事件B＝“小军应聘成功”，事
件C＝“小青应聘成功”，则3人中至少有2人应聘成功的概率为P＝P（ABC）＋P（ BC）＋P（　A C　）＋P（　AB 　）
＝ × × ＋（1－ ）× × ＋ ×（1－ ）× ＋ × ×（1－ ）＝
.因此，3人中至少有2人应聘成功的概率为 .
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16. （本小题满分15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知 sin C sin （A－B）＝ sin B sin （C－A）.
（1）证明：2a2＝b2＋c2；
解：证明：因为 sin C sin （A－B）＝ sin B sin （C－A），
所以 sin C sin A cos B－ sin C sin B cos A＝ sin B sin C cos A－ sin B sin A cos C，
所以ac· －2bc· ＝－ab· ，
即 －（b2＋c2－a2）＝－ ，所以2a2＝b2＋c2.
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（2）若a＝5， cos A＝ ，求△ABC的周长.
解：因为a＝5， cos A＝ ，
由（1）得b2＋c2＝50，
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，则50－ bc＝25，
所以bc＝ ，
故（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81，所以b＋c＝9.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14.
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17. （本小题满分15分）近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为
推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在询问了解了本平台600个
直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百
元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示.
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（1）求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
解： 由题意可知（0.005×2＋0.015＋m＋0.025＋0.03）×10＝1，
解得m＝0.020.
设中位数为n，则0.05＋0.15＋0.2＋（n－70）×0.025＝0.5，解得n＝
74，所以中位数为74.
平均数为（45＋95）×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.25＋85×0.3＝
72.5.
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（2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励
方案，方案一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，方案二是对平
均日利润排名在前 的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得
哪种方案受到奖励的商家更多？并说明理由.
解： 由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为（ ×0.25＋
0.3＋0.05）×600＝240，
方案二受到奖励的商家的个数为 ×600＝200，
因为240＞200，所以方案一受到奖励的商家更多.
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18. （本小题满分17分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长
为1的正方形，SA＝SB＝2，E，F分别是SC，BD的中点.
（1）求证：EF∥平面SAB；
解：证明：如图，
因为点F是正方形ABCD的对角线BD的中点，所以A，
F，C三点共线，连接AC，
点F是对角线AC，BD的交点，所以F是AC的中点，因
为E是SC的中点，所以EF∥SA，
又EF 平面SAB，SA 平面SAB，所以EF∥平面SAB.
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②求直线SD与平面ABCD所成角的大小.
（2）若二面角S-AB-D的大小为 ，
①求SA与BD所成角的余弦值；
解：①连接BE，若二面角S-AB-D的大小为 ，
则平面SAB⊥平面ABCD，且平面SAB∩平面ABCD
＝AB，
BC⊥AB，且BC 平面ABCD，
所以BC⊥平面SAB，SB 平面SAB，所以BC⊥SB，
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又因为SB＝2，BC＝1，所以SC＝ ，则BE＝ SC＝ ，
又EF＝ SA＝1，BF＝ BD＝ ，
异面直线SA与BD所成的角即为EF与BD所成的角
∠BFE或其补角，
在△BEF中， cos ∠BFE＝ ＝ ，
所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为 .
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②取AB的中点O，连接SO，因为SA＝SB，所以
SO⊥AB，所以SO⊥平面ABCD，
连接OD，则∠SDO为直线SD与底面ABCD所成的角，
因为底面边长为1，SA＝SB＝2，
所以SO＝ ＝ ，OD＝ ＝ ，
tan∠SDO＝ ＝ ，所以∠SDO＝60°.
所以直线SD与平面ABCD所成角的大小为60°.
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19. （本小题满分17分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两
个向量m＝（x1，y1），n＝（x2，y2），作 ＝m， ＝n.当m，n
不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S（m，n）＝｜
x1y2－x2y1｜；当m，n共线时，规定S（m，n）＝0.
（1）分别根据下列已知条件求S（m，n）：
①m＝（2，1），n＝（－1，2）；
②m＝（1，2），n＝（2，4）；
解：①因为m＝（2，1），n＝（－1，2），易知m，n不共线，所以S（m，n）＝｜x1y2－x2y1｜＝｜2×2－1×（－1）｜＝5.
②因为m＝（1，2），n＝（2，4），n＝2m，可知m，n共线，所以S
（m，n）＝0.
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（2）若向量p＝λm＋μn（λ，μ∈R，λ2＋μ2≠0），求证：S（p，m）
＋S（p，n）＝（｜λ｜＋｜μ｜）S（m，n）；
解：因为向量m＝（x1，y1），n＝（x2，y2），且向量p＝λm＋
μn（λ，μ∈R，λ2＋μ2≠0），
则p＝（λx1＋μx2，λy1＋μy2），
所以S（p，m）＝｜（λx1＋μx2）y1－（λy1＋μy2）x1｜＝｜μ｜｜x1y2－
x2y1｜，
同理S（p，n）＝｜λ｜｜x1y2－x2y1｜，
所以S（p，m）＋S（p，n）＝（｜λ｜＋｜μ｜）S（m，n）.
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（3）记 ＝a， ＝b， ＝c，且满足c＝λa＋μb，a⊥b，｜a｜
＝｜b｜＝｜c｜＝1，求S（c，a）＋S（c，b）的最大值.
解：设＜c，a＞＝α，因为a⊥b，所以＜c，b＞＝ －α或＜c，
b＞＝ －α，当＜c，b＞＝ －α时，S（c，a）＋S（c，b）＝2· ｜c｜｜a｜ sin α＋2· ｜c｜｜b｜ sin （ －α）
＝ sin α＋ sin （ －α）＝ sin α－ cos α＝ sin （α－ ），
当α－ ＝ ，即α＝ 时，S（c，a）＋S（c，b）取得最大值 .
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当＜c，b＞＝ －α时，S（c，a）＋S（c，b）＝2· ｜c｜·｜
a｜· sin α＋2· ｜c｜｜b｜ sin （ －α）＝ sin α＋ cos α＝ sin （α
＋ ），
当α＝ 时，S（c，a）＋S（c，b）取得最大值 .
综上，S（c，a）＋S（c，b）的最大值为 .
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THANKS
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