2025-2026学年下学期四川德阳高三数学3月第二次诊断考试试卷（含答案）

德阳市高中 2023 级第二次诊断考试 数学试卷
说明:
1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷, 共 4 页, 考生作答时, 须将答案答在答题卡上, 在本试卷、草稿纸上答题无效. 考试结束后, 将答题卡交回.
2. 本试卷满分 150 分, 120 分钟完卷.
第I卷(选择题 58 分)
一. 选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项 是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
2. 当 时,复数 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量 ，若 “ ”，则
A. 0 或 B. 0
C. D.
4. 若两条直线 与圆 的四个交点能构成矩形,则
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
5. 若 ,则
A. B. C. D.
6. 某知识过关题库中有 、 、 三种难度的题目数分别为300、200、100，其中小明完成 、 、 型题目的正确率分别为 ,小明从该题库中任选一道题完成,做对的概率为
A. B. C. D.
7. 若 ,则
A. B. C. D.
8. 过点 作曲线 的两条切线,记两切点分别为 , ,若两条切线斜率之积为 1,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有几项是 符合题目要求的.
9. 下列命题中正确的是
A. 若 ，则向量 与 的夹角为钝角
B. 若 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为
C. 两个非零向量 ,若 ,则 与 共线且方向相反
D. 若 为 的外心，且 ，则 为 的垂心。
10. 设函数 ，且记 ，则()
A. 数列 的首项为 1 B. 数列 的前 10 项和为 512
C. 数列 的前 10 项和为 D. 数列 的前 10 项和为 0
11. 已知关于 的方程: 有两个根 ,则下列说法正确的有
A. B.
D.
第II卷(非选择题 92 分)
三. 填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分
12. 已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 _____
13. 是抛物线 上一动点，则 到直线 的最小距离为_____.
14. 被称为欧拉公式. 我们运用欧拉公式,可以推导出倍角公式如 类 比 方法,我们可以得到 _____(用含有 的式子表示).
四. 解答题: 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题 13 分)
在 中，内角 的对边分别为 ，已知该三角形的面积
(1)求角 的大小；
(2)若 时，求 面积的最大值.
16. (本题 15 分)
如图，在平行六面体 中， 在线段 上，且 分别为线段 的中点,且底面 为正方形
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若 与底面 不垂直，直线 与平面 所成角为 ,且 ,求点 到平面 的距离.
17.(本题 15 分)
东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园. 公园总面积超过 80 公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人、公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点, 使游人感到典雅、古朴、和谐自然. 她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵, 成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地. 出入东湖山公园有三道门供游客自由选择, 分别是东门、西门、南门,若每位游客选择东门入园的概率是 ,游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机选取 3 人，记 3 人中选择东门入园的人数为X，求 的分布列、均值和方差；
(2)东湖山公园管理处计划在 2026 年中秋节当天, 在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为 0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值 的概率为 (不考虑人流量有限的限制).
① 求 ;
② 求 .
18.(本题 17 分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆 的左、右顶点分别为 为椭圆 的右焦点, 为椭圆 上不同于 的动点,若 , 直线 与椭圆 的另一个交点为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求 面积的最大值；
(3)若 在 轴的上方，设直线 、 的斜率分别为 、 ，是否存在常数 ，使得 成立 若存在,请求出 的值; 若不存在,请说明理由.
19.(本题 17 分)
已知 ,函数 ,记 为 的从小到大的第 个零点.
(1)当 时,求 ；
(2)若
证明: (i) 数列 是等比数列;
(ii) 若 ,则对一切 恒成立.
德阳市高中 2023 级第二次诊断考试 数学参考答案及评分标准
一. 单项选择题(本题共8小题，每小题 5 分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A A C C A D
二. 多项选择题(本题共3小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有几项是符合题目要求的.)
9 10 11
BCD BD ACD
三.填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.2
13.
14.
四. 解答题(共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或法算步骤.)
15. 解: (1) 在 中， ，而 ，即 ， ,由余弦定理得 ,
. 6分
(2)由(1)知， ， ，而 .
,即 ,当且仅当 时取等,
的面积 ,
当 时, 面积取得最大值 . .13分
16. 解:(1)证明: 为 中点，
，即 ， 2 分
底面 是正方形, ,
, 分别是 的中点, , 4分
又EG 平面EGF.
平面 ， 6分
又 平面 .
平面 平面 7分
(2)以 为坐标原点，过 作与平面 垂直的直线为 轴，以 ， 的方向为 轴 1 函数正方向，建立如图空间直角坐标系，
则 ,设 .
则 . 9分
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,
, -11 分
又 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 , 13分
又
解得 .
点 到平面 的距离为 ,则点 到平面 的距离为 15分
17. 解:(1)随机变量 的可能取值为0,1,2,3 . 且 ，其中 ， ，
1分
随机变量 的分布列为
X 0 1 2 3
25 36 125 54 27 125
5分
均值为 ,方差为 .
7分
(2)①由题意可知， 9 分
② 当 时，
10分
数列 是以 为首项、 为公比的等比数列、
13分
15分
18. 解: 设
(1)由题知 ， 在椭圆 上
①
,即 ·②
将②代入①整理得
椭圆 的标准方程为 4分
(2)由(1)知
又 不闭于
直线 的斜率不为 0
不妨设直线 的方程为 ,将其带入椭圆 的方程并整理得
7 分
令 ,
在 单调递增
(当 时取
面积的最大值为 10 分
(3)假设存在常数 ，使得 .
由 知
又
.
又 , 13分
即 ,所以存在常数,使得 17分
19. 解: (1) 当 时 1分
由 解得 ,
3分
(2)证明:(i)因 ，由 可得
,其中 5分
6分
又 8分
数列 是以 为首项,以 为公比的等比数列 9 分
(ii) 欲证: ,即证:
只需证:
只需证: ; 即证: 11 分
令 ,则 ;
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增;
,故 .13 分
则只需证: ,即证:
当 时, 成立; 14分
当 时, ,此时 ,又 ;
,即 ;
时, ,故 成立;
即 15分
当 时, ,故
16分
综上当 时,则对一切 恒成立. 17 分