2025-2026学年下学期安徽安庆高三数学3月二模试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期安徽安庆高三数学3月二模试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 374.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-20 00:00:00 | ||
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文档简介
安庆市 2026 年高三模拟考试(二模) 数学试题
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上，并在相应的方框内粘贴条形码。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 的模 等于
A. I B.
C. D.
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 已知等比数列 ,其公比 ,则 的最小值为
A. 3 B. C. D.
4. 已知 ,函数 为奇函数,则
A. 15 B. C. D. 4
5. 已知向量 ，且 ， ，则向量 夹角的余弦值为
A. B. C. D.
6. 已知函数 的部分图象如图所示,则该函数图象的一条对称轴是
A. B.
C. D.
7. 三棱锥的底面为边长为 1 的等边三角形, 三个侧面三角形中至少有两个为等腰直角三角形, 则该三棱锥的体积不可能为
A. B. C. D.
8. 椭圆 的左、右焦点分别为 上点 位于第一象限内, 为坐标原点， ，线段 与 轴交于点 且 ，若 的面积等于 ，则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知等差数列 的公差为 ,其前 项和为 ,且 ,则
A. B.
C. 若 ，则
D. 若 ，则
10. 在棱长为 1 的正方体 中,点 是正方形 内(含边界)一动点，若点 到平面 的距离为 ,则
第10题图
A. 点 的轨迹长度等于
B. 平面
C. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
D. 异面直线 与 所成角的余弦值的最小值为
11. 已知函数 ,将 的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列 ,对于任意的正整数 ,则
A. B. 是极小值点
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 统计某地区 2025 年上半年的月降水量, 数据如下表:
月份 1 2 3 4 5 6
月降水量/mm 58 48 53 46 56 56
则该地区上半年月降水量的 75% 分位数为_____
13. 在平面直角坐标系 内,圆 ,若直线 绕原点 逆时针旋转 后与圆 恰有两个交点，则 的取值范围是_____.
14. 有正整数 ,满足 ,且 , 现从以上 6 个正整数中任选 3 个组成三位数，则组成的不同三位数个数有_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 中,角 所对的边分别为 且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的最大值.
16. (15 分)某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下:每局比赛，若棋手赢机器人， 则棋手得 1 分；若棋手输给机器人，则棋手得 -1 分；若为平局，则棋手不得分；比赛共进行三局, 三局比赛结束后, 若棋手得分不低于 1 分, 则棋手获胜. 在每局比赛中, 棋手赢机器人的概率为 0.3 ，棋手输给机器人的概率为 0.5 ，平局的概率为 0.2 . 每局比赛的结果互不影响.
(1)求三局比赛结束后棋手得 2 分的概率;
(2)在比赛过程中，棋手每赢1局，获奖金 1000 元，输给机器人或平局都没有奖金. 记三局比赛结束后棋手获得的奖金为 元,求 的分布列与数学期望.
17. (15 分) 如图,在斜三棱柱 中， ，侧面 为矩形， 在底面 内的射影为 .
第17题图
(1)求证: ；
(2)若 ， 与底面 所成角的余弦值. 弦值为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18. (17 分) 已知直线 与抛物线
相切,抛物线 与抛物线 关于 对称,点 为 上一动点,
若过点 可以作 的两条切线 分别交 于 两点.
(1)求 ；
(2)若点 的纵坐标为 -4，求 ；
(3)求证:直线 与抛物线 相切.
19. (17分)已知函数 .
(1)证明:函数 的图象为轴对称图形；
(2)当 时，证明: ；
(3)若数列 满足: ， ， ，
证明: .
安庆市 2026 年高三模拟考试(二模) 数学试题参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A C D D A
1.【答案】B.
由 得 ,所以 ,故选 B.
2.【答案】C.
,所以 ,故选 C.
3.【答案】B.
由已知 ,当且仅当 取等号,选 B.
4.【答案】A.
由 ,得 ,得 ,故 , 选 A.
5.【答案】C.
设向量 夹角为 ,由条件知 ,即 ,得 , 解得 ,故选 C.
提示: 本题也可借助几何意义求解.
6.【答案】D.
由 ,得 . 因为 ,所以 ,由于 ,所以 ,于是 ,令 ,解得 ,故 为函数 的图象的一条对称轴,故选 D.
7.【答案】D.
如下图体积依次为: ,故选 D.
8.【答案】A.
由条件 知点 是 的重心,又 且 与 有公共点 ，所以 ， ， 三点共线，于是点 是线段 的中点，所以 ，所以 ， 于是 ，所以 ，即 ,解得 ,于是 ,所以 ,故选 A.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
题号 9 10 11
答案 ABD ACD BD
9.【答案】ABD.
对 ,由 ,知 正确; 对 ,若 ,则 ,即 ,故 ; 若 ,则 ,
即 ,故 , B 正确; 对 ,若 ,则 ,与已知矛盾, 故 单调递递增, 错误; 对 ,若 ,由①有 ,解得 , D 正确;
故选 ABD.
10.【答案】ACD.
以点 为原点,以 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,则 ,设平面 的法向量为 ,则 ,于是 ,取 ,设 ,则 ,则点 到平面 的距离为 ,所以 或 (舍),于是点 的轨迹是以边 的中点 ,边 的中点 为端点的线段,其长度为 正确;
连 ,发现 与平面 不平行, B 错误;
根据图形可知当点 位于线段 的中点时,线段 最短, ,此时直线 与平面 所成角最大,故所成角的正弦值的最大值为 正确;
平移 至 ,根据图形可知当点 位于点 时,异面直线 与 所成角最大,其余弦值最小,最小值为 ,选项 D 正确.
故选 ACD.
11.【答案】BD.
由 ,得 ,由函数 及 的图象可知,
对于 错误;
对于 是极小值点, 正确;
对于 ,由于 ,且 , ,所以 ,故 错误;
对于 , ,所以 ,
,令 ,
则 是单调递增函数,即 单增,所以 , D 正确.
故选 BD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.【答案】56.
把这组数据由小到大排序得:46,48,53,56,56,58. 由于 ,故 分位数为 56 .
13.【答案】 .
直线 旋转后方程为 ’: ,圆心 到旋转后直线的距离为 ,当圆 与直线 ’相交时, ,解得 .
14.【答案】 13 .
由题意, 不可能都是 1; 不可能都大于等于 2,否则 ,矛盾; 因此, . 同理, .
所以 .
① 当 时， ，得 ， .
② 当 时，设
故 ,即 ,故 或 , 均不满足 .
综上,6个正整数为1,1,1,1,2,6,从中任选 3 个组成三位数,不同三位数个数有 个.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
(1) 由正弦定理得 ,
即 , 2 分
于是
两边同除以 ,得 , 4 分
若 ,则 ,
所以 ,
因此 的值为 8 . 6 分
(2)由余弦定理得 , 8 分
由正弦定理
, 11 分
当且仅当 或 时取等号,
所以 的最大值为 . 13 分
16. (15 分)
(1) 记事件 “三局比赛结束后棋手得 2 分”,即棋手在三局比赛中赢了 2 局,平了 1 局, 2 分
则概率为 . 6 分
(2)记表示三局比赛结束后棋手恰好赢 局，则 ，
10 分
所以 ,
0 1000 2000 3000
0.343 0.441 0.189 0.027
12 分
则 (元),
所以三局比赛结束后棋手获得的奖金的数学期望为 900 元.
15 分
17. (15 分)
(1) 证明: 由已知, 平面 ,
,又
又 面 . 4 分
. 6 分
(2)不妨设 ，则 ，
由已知, 与底面 所成角为
又 ,由等腰三角形性质知 .
. 8 分
如图，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,
则 , 10 分
设平面 的法向量为 ,
由 ,令 ,得 ,
故平面 的一个法向量为 . 12 分
同理,平面 的一个法向量为 . 14 分
平面 与平面 的夹角为 ,则
. 15 分
18. (17 分)
(1) 由
所以 ,解得 3 分
(2)由(1)抛物线 分别为
设切线 与 的切点分别为
由 ,得 方程为 ,
即 , 5 分
由 ,
由 ,设
所以 ,又 ,消去 得:
又 ,于是有
同理 ,
所以直线 的方程为 , 8 分
由 ,得 ,故
10 分
(3)设 ，由(2)知: ， ，
又 ，消去 得:
又 ,于是有
同理: , 12 分
所以直线 的方程为 14 分
所以 ,
于是直线 与抛物线 相切. 17 分
19. (17 分)
(1) 证明: 由于 的定义域关于 对称,因此函数 的图象关于 对称. 证明如下.
设点 为函数 的图象上任意一点,
则 关于 对称的点为 , 1 分
由于 , 3 分
故 也在函数 的图象上,
故函数 的图象为关于 对称的轴对称图形. 4 分
(2)即证明: ， 5 分
令 ,则 ,且 在 上单调递减,由于
,故存在 ,使得 ,则在区间 上,
单调递增,在区间 上, 单调递减,故
,故 . 7 分
令 ,则 ,故 ,故 在 上单调递增,故 ,即 .
综上, . 9 分
(3)显然 ,令 ,
则 ,故 ,
于是 . 11 分
由于
13 分
由于 ,故 ,
故 ,
于是: . 15 分
由 (2) 知: , 16 分
即 ,得证! 17 分
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上，并在相应的方框内粘贴条形码。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 的模 等于
A. I B.
C. D.
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 已知等比数列 ,其公比 ,则 的最小值为
A. 3 B. C. D.
4. 已知 ,函数 为奇函数,则
A. 15 B. C. D. 4
5. 已知向量 ，且 ， ，则向量 夹角的余弦值为
A. B. C. D.
6. 已知函数 的部分图象如图所示,则该函数图象的一条对称轴是
A. B.
C. D.
7. 三棱锥的底面为边长为 1 的等边三角形, 三个侧面三角形中至少有两个为等腰直角三角形, 则该三棱锥的体积不可能为
A. B. C. D.
8. 椭圆 的左、右焦点分别为 上点 位于第一象限内, 为坐标原点， ，线段 与 轴交于点 且 ，若 的面积等于 ，则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知等差数列 的公差为 ,其前 项和为 ,且 ,则
A. B.
C. 若 ，则
D. 若 ，则
10. 在棱长为 1 的正方体 中,点 是正方形 内(含边界)一动点，若点 到平面 的距离为 ,则
第10题图
A. 点 的轨迹长度等于
B. 平面
C. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
D. 异面直线 与 所成角的余弦值的最小值为
11. 已知函数 ,将 的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列 ,对于任意的正整数 ,则
A. B. 是极小值点
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 统计某地区 2025 年上半年的月降水量, 数据如下表:
月份 1 2 3 4 5 6
月降水量/mm 58 48 53 46 56 56
则该地区上半年月降水量的 75% 分位数为_____
13. 在平面直角坐标系 内,圆 ,若直线 绕原点 逆时针旋转 后与圆 恰有两个交点，则 的取值范围是_____.
14. 有正整数 ,满足 ,且 , 现从以上 6 个正整数中任选 3 个组成三位数，则组成的不同三位数个数有_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 中,角 所对的边分别为 且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的最大值.
16. (15 分)某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下:每局比赛，若棋手赢机器人， 则棋手得 1 分；若棋手输给机器人，则棋手得 -1 分；若为平局，则棋手不得分；比赛共进行三局, 三局比赛结束后, 若棋手得分不低于 1 分, 则棋手获胜. 在每局比赛中, 棋手赢机器人的概率为 0.3 ，棋手输给机器人的概率为 0.5 ，平局的概率为 0.2 . 每局比赛的结果互不影响.
(1)求三局比赛结束后棋手得 2 分的概率;
(2)在比赛过程中，棋手每赢1局，获奖金 1000 元，输给机器人或平局都没有奖金. 记三局比赛结束后棋手获得的奖金为 元,求 的分布列与数学期望.
17. (15 分) 如图,在斜三棱柱 中， ，侧面 为矩形， 在底面 内的射影为 .
第17题图
(1)求证: ；
(2)若 ， 与底面 所成角的余弦值. 弦值为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18. (17 分) 已知直线 与抛物线
相切,抛物线 与抛物线 关于 对称,点 为 上一动点,
若过点 可以作 的两条切线 分别交 于 两点.
(1)求 ；
(2)若点 的纵坐标为 -4，求 ；
(3)求证:直线 与抛物线 相切.
19. (17分)已知函数 .
(1)证明:函数 的图象为轴对称图形；
(2)当 时，证明: ；
(3)若数列 满足: ， ， ，
证明: .
安庆市 2026 年高三模拟考试(二模) 数学试题参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A C D D A
1.【答案】B.
由 得 ,所以 ,故选 B.
2.【答案】C.
,所以 ,故选 C.
3.【答案】B.
由已知 ,当且仅当 取等号,选 B.
4.【答案】A.
由 ,得 ,得 ,故 , 选 A.
5.【答案】C.
设向量 夹角为 ,由条件知 ,即 ,得 , 解得 ,故选 C.
提示: 本题也可借助几何意义求解.
6.【答案】D.
由 ,得 . 因为 ,所以 ,由于 ,所以 ,于是 ,令 ,解得 ,故 为函数 的图象的一条对称轴,故选 D.
7.【答案】D.
如下图体积依次为: ,故选 D.
8.【答案】A.
由条件 知点 是 的重心,又 且 与 有公共点 ，所以 ， ， 三点共线，于是点 是线段 的中点，所以 ，所以 ， 于是 ，所以 ，即 ,解得 ,于是 ,所以 ,故选 A.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
题号 9 10 11
答案 ABD ACD BD
9.【答案】ABD.
对 ,由 ,知 正确; 对 ,若 ,则 ,即 ,故 ; 若 ,则 ,
即 ,故 , B 正确; 对 ,若 ,则 ,与已知矛盾, 故 单调递递增, 错误; 对 ,若 ,由①有 ,解得 , D 正确;
故选 ABD.
10.【答案】ACD.
以点 为原点,以 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,则 ,设平面 的法向量为 ,则 ,于是 ,取 ,设 ,则 ,则点 到平面 的距离为 ,所以 或 (舍),于是点 的轨迹是以边 的中点 ,边 的中点 为端点的线段,其长度为 正确;
连 ,发现 与平面 不平行, B 错误;
根据图形可知当点 位于线段 的中点时,线段 最短, ,此时直线 与平面 所成角最大,故所成角的正弦值的最大值为 正确;
平移 至 ,根据图形可知当点 位于点 时,异面直线 与 所成角最大,其余弦值最小,最小值为 ,选项 D 正确.
故选 ACD.
11.【答案】BD.
由 ,得 ,由函数 及 的图象可知,
对于 错误;
对于 是极小值点, 正确;
对于 ,由于 ,且 , ,所以 ,故 错误;
对于 , ,所以 ,
,令 ,
则 是单调递增函数,即 单增,所以 , D 正确.
故选 BD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.【答案】56.
把这组数据由小到大排序得:46,48,53,56,56,58. 由于 ,故 分位数为 56 .
13.【答案】 .
直线 旋转后方程为 ’: ,圆心 到旋转后直线的距离为 ,当圆 与直线 ’相交时, ,解得 .
14.【答案】 13 .
由题意, 不可能都是 1; 不可能都大于等于 2,否则 ,矛盾; 因此, . 同理, .
所以 .
① 当 时， ，得 ， .
② 当 时，设
故 ,即 ,故 或 , 均不满足 .
综上,6个正整数为1,1,1,1,2,6,从中任选 3 个组成三位数,不同三位数个数有 个.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
(1) 由正弦定理得 ,
即 , 2 分
于是
两边同除以 ,得 , 4 分
若 ,则 ,
所以 ,
因此 的值为 8 . 6 分
(2)由余弦定理得 , 8 分
由正弦定理
, 11 分
当且仅当 或 时取等号,
所以 的最大值为 . 13 分
16. (15 分)
(1) 记事件 “三局比赛结束后棋手得 2 分”,即棋手在三局比赛中赢了 2 局,平了 1 局, 2 分
则概率为 . 6 分
(2)记表示三局比赛结束后棋手恰好赢 局，则 ，
10 分
所以 ,
0 1000 2000 3000
0.343 0.441 0.189 0.027
12 分
则 (元),
所以三局比赛结束后棋手获得的奖金的数学期望为 900 元.
15 分
17. (15 分)
(1) 证明: 由已知, 平面 ,
,又
又 面 . 4 分
. 6 分
(2)不妨设 ，则 ，
由已知, 与底面 所成角为
又 ,由等腰三角形性质知 .
. 8 分
如图，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,
则 , 10 分
设平面 的法向量为 ,
由 ,令 ,得 ,
故平面 的一个法向量为 . 12 分
同理,平面 的一个法向量为 . 14 分
平面 与平面 的夹角为 ,则
. 15 分
18. (17 分)
(1) 由
所以 ,解得 3 分
(2)由(1)抛物线 分别为
设切线 与 的切点分别为
由 ,得 方程为 ,
即 , 5 分
由 ,
由 ,设
所以 ,又 ,消去 得:
又 ,于是有
同理 ,
所以直线 的方程为 , 8 分
由 ,得 ,故
10 分
(3)设 ，由(2)知: ， ，
又 ，消去 得:
又 ,于是有
同理: , 12 分
所以直线 的方程为 14 分
所以 ,
于是直线 与抛物线 相切. 17 分
19. (17 分)
(1) 证明: 由于 的定义域关于 对称,因此函数 的图象关于 对称. 证明如下.
设点 为函数 的图象上任意一点,
则 关于 对称的点为 , 1 分
由于 , 3 分
故 也在函数 的图象上,
故函数 的图象为关于 对称的轴对称图形. 4 分
(2)即证明: ， 5 分
令 ,则 ,且 在 上单调递减,由于
,故存在 ,使得 ,则在区间 上,
单调递增,在区间 上, 单调递减,故
,故 . 7 分
令 ,则 ,故 ,故 在 上单调递增,故 ,即 .
综上, . 9 分
(3)显然 ,令 ,
则 ,故 ,
于是 . 11 分
由于
13 分
由于 ,故 ,
故 ,
于是: . 15 分
由 (2) 知: , 16 分
即 ,得证! 17 分
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