2025年安徽合肥高三数学二模试卷（含答案）

数 学
(考试时间: 120 分钟 满分: 150 分)
注意事项:
1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 在复平面内,复数 对应的点的坐标是 ,则复数 的虚部是( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
3. 若空间中三条不同的直线 满足 ,则 是 共面的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量 ， ，设 ， ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
5. 已知双曲线 ，过顶点 作 的一条渐近线的垂线，交 轴于点 ， 且 ，则 的离心率为( )
A. 3 B. 2 C. D.
6. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 为圆锥 的底面直径， 为底面圆心，正三角形 内接于 ，若 ， 圆锥的侧面积为 ，则 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8. 已知点 是 与 轴的交点. 点 满足: 以 为直径的圆与 相切,则 面积的最大值为( )
A. B. 8 C. 12 D. 16
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 从某校高一和高二年级分别随机抽取 100 名学生进行知识竞赛，按得分(满分 100 分)绘制如图所示的频率分布直方图, 根据频率分布直方图, 并用频率估计概率.记高一年级学生得分平均数的估计值为 ,高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为 . 从高一和高二年级各随机抽取一名学生,记事件 “高一年级学生得分不低于 60 分,高二年级学生得分不低于 80 分”,事件 “高一年级学生得分不低于 80 分,高二年级学生得分不低于 60 分”, 则( )
高一年级学生得分
高二年级学生得分
A. B. C. 事件 互斥 D.
10. 将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 ( )
A. 与 的图象关于直线 对称
B. 与 的图象关于点 对称
C. 当 时,
D. 当 时, 与 的图象恰有 4 个交点
11. 已知函数 的定义域为 ,且 , 则( )
A. B.
C. 的图象关于点 对称 D. 为偶函数
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知 为锐角三角形，且 ， 的面积为 ，则 _____.
13. 已知函数 的最小值为 -1，则 _____.
14. 如图，在 的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知 是等差数列， 是等比数列，且 .
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
16.(15分)
如图，三棱柱 的所有棱长都为 . 是 的中点， .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
17. (15 分)
已知函数 ,曲线 在点 处的切线方程为
(1)求 的值；
(2)讨论 的零点个数，并证明所有零点之和为 0 .
18.(17分)
已知抛物线 ,点 在 上.
(1)求 的最小值；
(2)设点 的横坐标为 2，过 作 的两条切线，分别交 于 ， 两点.
(i)求直线 斜率的取值范围；
(ii)证明直线 过定点.
19.(17 分)
当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中, 发挥着重要作用. 例如, 当新闻中分别出现 “ 7 点钟, 一场大火在郊区燃起” 和 “ 7 点钟，太阳从东方升起” 这两个事件的描述时，它们提供的 “信息量” 是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注. 假设通常情况下，它们发生的概率分别是 和 ,用 这个量来刻画 “信息量” 的大小，计算可得前者约为 9 ，后者接近于 0 . 现在,假设离散型随机变量 的分布列为 . 则称 为 的信息熵,用来刻画随机变量 蕴含的信息量的大小.
(1)若 的分布列为 ， ， . 求 的最大值；
(2)证明: ；
(3)若 ，且 为定值，设 ，证明: .
2025 年合肥市高三第二次教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.AB 10.ACD 11.ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
(1)设数列 的公差为 的公比为 ,则 ，即 ， 因为 ,所以 ,所以 . 6 分
(2)由(1)知， ，
令 ,则
两式相减得
所以 . 13 分
16. (15 分)
(1)设 的中点为 ，连接 .
因为 是 的中点，所以 ，
因为三棱柱 的所有棱长都为 2,
所以四边形 为菱形,所以 .
所以 .
又 ,
所以 平面 ,所以 .
又 ,且 平面 平面
所以 平面 .
因为 平面 ,所以平面 平面 . 7 分
(2)连接 ，由题意知 ，所以 ， ， 两两垂直，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则 ,
所以 .
设平面 的法向量为 ,
则 所以
取 ,则 ,
所以, 是平面 的一个法向量.
又 ,
设 与平面 所成角为 ,则 ,
即 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
17. (15 分)
(1)因为 ，
由题意得 ，所以 . 4 分
( 2 )由( 1 )知， ，所以 ，
令 ,则 .
所以当 时, ,即 在 上单调递减,
当 时, ,即 在 上单调递增,
又 ,且当 时, .
所以存在唯一 ,使得 ,
当 时, ,即 ,所以 在 上单调递减,
当 时, ,即 ,所以 在 上单调递增,
所以 ,
因为 ，即 (显然 )，也即 .
所以 .
又 ,
根据函数零点存在定理, 在区间 和 内各仅有一个零点,
所以 仅有两个零点. 11 分
设 是函数 的零点,则 ,
又 ,
所以 也是函数 的零点,
所以 的所有零点之和为 0 . 15 分
18.(17分)
(1)设点 ，则 .
又 ,所以 ,
所以当 时, 的最小值为 . 4 分
(2)记直线 的斜率分别是 .
设过 的圆 的切线方程为: ,则有
即
因为 是 方程的两个根,
所以 .
又 ,所以 .
即 ,也即 . -9 分
(i) 因为 的斜率为 ,所以 .
又因为 ,所以 .
即直线 斜率的取值范围为 . 13 分
(ii) 因为 ,所以直线 方程为: ,
即 .
也即 ,即
令 ,则 ,
所以直线 过定点 . 17 分
19. (17 分)
(1)由题意知, ,其中 .
令 ,则 .
所以当 时, ,所以 在 上单调递增;
当 时, ,所以 在 上单调递减.
所以 在 时取得最大值,且最大值为 . 5 分
(2)要证 ，即证 ，因为
(等号仅在 ,即 时成立)
所以 . 12 分
(3)由题意知 ,
由 易知 ,
所以 ,即得 . -17 分
注: 其他解法酌情给分.