2025-2026学年下学期江西南昌高三数学3月一模试卷（含答案）

2026 届高三年级三月测试 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 ( )
A. 1 B. C. D. 5
3. 若 ，则 所在的范围是( )
A. B. C. D.
4. 某圆锥的轴截面是一个斜边长为 4 等腰直角三角形, 则此圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
5. 已知 ,则不等式 的解集为 ( )
A. B.
C. D.
6. 已知圆 点 在圆 外， 直线 与圆 有两个公共点, 则 是 的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
7. 已知函数 的部分图象如图所示,则 ( )
A. -1
B.
C. D.
8. 已知函数 ，若函数 为偶函数，则()
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 ,则下列选项中正确的有( )
A. B.
C. D.
10. 在正三棱柱 中， 分别为 的中点，则下列说法中正确的有( )
A. 平面 B. 平面 平面
C. D. 平面
11. 在平面直角坐标系 中,已知 ,动圆 ,过点 分别作斜率为 的两条直线与动圆 相切,两切线交于第一象限的点 ，设点 到直线 的距离为 ，则下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 的展开式中， 的系数是_____.
13. 已知向量 ，若向量 满足 ，则 的最大值为_____.
14. 已知 盒中装有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球, 盒中装有大小相同的 3 个红球,从 盒中随机取一个球,若是红球,则放回 盒; 若是黑球,则从 盒中取一红球与其替换,这样称为 1次操作，重复以上操作，直到 盒中 6 个球全是红球为止. 记 次重复操作后， 盒中 6 个球恰好全是红球的概率为 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题 13 分) 已知 的角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 2，求 和 .
16. (本题 15 分) 近年来, 青少年近视问题备受关注. 为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联, 某研究小组在某中学随机抽取了 200 名学生进行问卷调查. 调查项目包括平均每天使用手机的时间(分为“少于 1 小时”和“1 小时及以上”两类)以及是否被医院诊断为近视(分为“是”和“否”两类). 调查结果汇总如下表:
使用手机时间 近视 不近视 总计
少于 1 小时 40 60 100
1 小时及以上 65 35 100
总计 105 95 200
(1)从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件 ，记“该人近视”为事件 . 根据上表数据,用频率估计概率,分别估计 ,并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由；
(2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量 (精确到 0.001 )，并判断是否有 99% 的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
附:公式 ,
独立性检验临界值表:
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17. (本题 15 分) 已知等比数列 的公比 为整数,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18. (本题 17 分) 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 的零点为 ，设曲线 在 处的切线为 ，求证: .
(3)当 时，设 ，且满足 ，求证: .
19. (本题 17 分)已知正方体 的棱长为 ，对角线 的中点为 ，动点 在平面 内,且点 到平面 的距离等于 .
(1)求四棱锥 体积的最小值；
(2)记点 的轨迹为曲线 ，点 是曲线 上不同三点.
(i) 若平面 与轨迹 相交于 两点,求线段 的长;
(ii) 若点 在点 上方,且 与平面 所成角相等,平面 过 且与 平行，判断平面 与平面 的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值； 若不是定值, 请说明理由.
2026届高三年级三月测试 数学 参考答案及评分意见
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题所给的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A D C A B
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题所给的四个选项中, 有多项是符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有错选的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BCD BC ABD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 80 ; 13. ; 14. .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(1) 由正弦定理可得 ,即 ; 5 分
(2)因为 ，所以 ，
所以 ,即 , 8 分
所以 ,即 , 11 分所以 . 13 分
16.(1)在 (平均每天使用手机时间 1 小时以下)条件下，
近似的频率为 ,
用频率估计概率,得 , 3 分
在 (平均每天使用手机时间 1 小时及以上) 条件下,近视的频率为 ,
用频率估计概率,得 , 6 分
使用手机时间少于 1 小时的学生近视概率约为 0.4 ，而使用手机时间 1 小时及以上的学生近视概率约为 0.65 ，两者有较大差异. 因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高. 8 分
(2) ,
12 分
由于 ,所以有 的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
15 分
17.(1)由已知, ,
两式相除可得 ,即 ,解得 , 4 分
故 ,所以 ; 7 分
(2) ， 9 分
所以 ①
所以 ②
则②- ①得:
所以 . 15 分
18.(1) ,
由 ,
当 时, ,即 在 为增函数;
当 时, ,即 在 为减函数; 5 分
(2)由 ，解得 ，
又因为 ,则 ,
所以切线方程为 , 7 分
设 ,
可知 在 为增函数， 在 为减函数,
,所以 ; 10 分
(3)由(1)可知 ，
① 若 ，则 ，
不符合题意；
所以 ,
②若 ，则 ，
③若 ，又因为 在 为减函数，，
所以 ,所以 ,
综上所述 , 12 分
又因为 ,由 ,
所以 ,
即 ,即 ,
设 , 14 分
所以 ,
方法一: 设 ,所以 ,
因为 在 为单调递增,
当 时, ,
所以存在 ,使得 ,即 ,
又因为 ， ，即 在 为减函数；
又因为 ， ，即 在 为增函数；
所以 ,
又因为 ,则有 ,又因为 ,
所以 ,即 在 为增函数,
又因为 ,所以 ,即 . 17 分
方法二:
设 ,因为 在 单调递增,
又因为 所以
所以 ,即 在 为增函数,
又因为 ,所以 ,即 . 17 分
19.(1)设点 到平面 和直线 的距离分别为 ，因为点 在平面 内,且平面 与平面 的夹角为 ,因此 ,得 ,所以点 的轨迹是 为焦点， 为准线的抛物线，当点 在抛物线的顶点 处时， 最小， 最小值为 ,此时 ,
所以四棱锥 体积的最小值为 ; 5 分
(2)设 的中点为 ，则 ，如图 1，以 的中点 为原点， 所在直线为 轴,过点 且垂直于平面 的直线为 轴,过点 且平行于 的直线为 轴,建立空间直角坐标系 ,设点 ,则 , 7 分
(i) 若平面 与平面 的交线为 ,因此 是直线 与抛物线 的交点,
如图 2,在平面 中,可以设 ,
与抛物线 方程联立,得: ,
因此, . 10 分
(ii) 如图 3,在平面 中,点 在点 上方,且 ,
得到点 坐标为 ,因为 与平面 所成角相等,
所以 与 所成角相等,因此, 的斜率互为相反数,
设 ,则 ,
得 ,
因此, , 13 分
因此,在空间直角坐标系中, 的方向向量为 ,又 ,
设平面 的法向量 ,
由 ,由 ,令 ,则 ,
又平面 的法向量 ,
平面 与平面 的夹角为定值,其余弦值为 . 17 分
图 1
图 2
图 3