江苏省南京市2024年中考数学试题
一、选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．（2024·南京）下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】
A、-3是负数；
B、，是正数；
C、，是正数；
D、，是正数；
故正确答案为：A
【分析】负数的绝对值是正数，负数的相反数也是正数，负数的平方也是正数.
2．（2024·南京）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设较小的一个奇数为(其中是自然数)，则另一个奇数为，
根据题意，得
，
故一定能被8整除，
故选：D．
【分析】
设较小的一个奇数为(其中是自然数)，则另一个奇数为，再利用平方差公式分别因式可得结果为，即总能被8整除．
3．（2024·南京）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数混合运算法则（含乘方）；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】
故正确答案为：C
【分析】有理数的混合运算，先逆用同底数幂的乘法运算，再逆用乘法分配律即可.
4．（2024·南京）如图，在正边形中，，则的值是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．36
【答案】B
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】
故正确答案为：B
【分析】由圆周角定理知正n边形的中心角等于等于，再用除以即可得到边数n.
5．（2024·南京）如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．9
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接，作于点，
则，
，分别与扇形相切于点，，，，
，，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
解得：，
故答案为：D．
【分析】连接，作于点，根据相切线长定理得到，然后根据勾股定理求得，然后得到是矩形，即可得到，，再根据勾股定理得到，求出AD长解答即可．
6．（2024·南京）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ）
A．1元 B．99元 C．101元 D．199元
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】设A商品的单价是x元、B商品的单价是y元，由题意知
解得：
所以y的最小整数解为1
故正确答案为：A
【分析】 设A商品的单价是x元、B商品的单价是y元，由题意可列关于x、y的方程组并求出y的最小整数解即可.
二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
7．（2024·南京）比较大小： （填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，
又，
∴．
故答案为：．
【分析】正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；两个正数绝对值大的数大，两个负数绝对值大的反而小，据此求出两个负数的绝对值大小，通过比较绝对值的大小即可得出结论.
8．（2024·南京）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】
故正确答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.
9．（2024·南京）计算： .
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为： .
【分析】先进行二次根式的乘除法的运算，再将其化简为最简二次根式即可.
10．（2024·南京）如果实数满足 ，那么互为相反数．
【答案】
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】若，则
故正确答案为：
【分析】一对相反数的和为0.
11．（2024·南京）方程的解是 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】去分母得：
解方程得：
经检验，是原分式方程的根.
故正确答案为：
【分析】解分式方程的一般步骤是先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程，再把这个解代入到最简公分母中进行检验，若最简公分母为0则这个根是增根，应舍去，反之，这个根也是分式方程的根.
12．（2024·南京）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．完成下表：
… 4 …
… …
【答案】9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设
故正确答案为：9
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用双曲线上点的坐标特征求出当R＝4时对应的I的值即可.
13．（2024·南京）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ．
【答案】108
【知识点】角的运算；邻补角；角的双角平分线和型
【解析】【解答】分别平分
故正确答案为：108
【分析】先由双角平分和模型可得，再利用角的和差关系求出，再利用邻补角的概念即可.
14．（2024·南京）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，过点E分别作AD、BC的垂线段EF、EG交BC的延长线于点G，连接CG.
是等边三角形
四边形DGEF是矩形
故正确答案为：
【分析】过点E分别作AD、BC的垂线段EF、EG交BC的延长线于点G，连接CG，则四边形DGEF是矩形，即EG＝FD，再由等腰三角形三线合一结合勾股定理可得，再利用三角形的面积公式直接计算即可.
15．（2024·南京）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；求算术平方根
【解析】【解答】
故正确答案为：
【分析】根据材料所给方法可把表示成的完全平方，由于 ，则.
16．（2024·南京）已知是关于的方程（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ．
【答案】2；
【知识点】分母有理化；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
或
是一元二次方程的一个根
设方程另一个根是
、且是有理数
故正确答案依次为：2、
【分析】由乘法法则知原方程的一个根是有理数2，则关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，又因为都是有理数且，则由根与系数的关系结合已知一个根为，则另一个根为时恰好满足条件.
三、解答题 (本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024·南京）解不等式组：
【答案】解：
解不等式得：
解不等式得：
所以原不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求不等式组的解集，先分别求出各不等式的解集，再按照口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”求出各解集的公共部分即可.
18．（2024·南京）计算：
【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】分式的混合运算，先对括号内的异分母分式通分并作减法运算，再化除法为乘法，再对分子、分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式即可.
19．（2024·南京）已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标．
【答案】解：
点与点关于轴对称
将点向左平移3个单位长度得到点
都在直线上
解得
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
1、关于x轴对称的点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
2、点的坐标平移变换规律是：左减右加、下减上加；
3、再利用直线上点的坐标特征联立关于a、b的二元一次方程组并求解即可.
20．（2024·南京）如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．
【答案】证明：∵AC是⊙O的直径
在和 中
又
四边形ABCD是平行四边形
又
是矩形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定；矩形的判定；圆周角定理；全等三角形中对应边的关系
21．（2024·南京）甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球．
（1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是 ；
（2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
红 红 白
红 红、红 红、红 红、白
红 红、红 红、红 红、白
白 红、白 红、白 白、白
共有9种等可能结果，其中两次摸出都是红球共有4种结果
所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】
（1）
【分析】
（1）简单事件的概率直接利用公式计算即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
22．（2024·南京）某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．注：月增量当月的销售量上月的销售量，月增长率．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为万辆，那么9月份销售的月增量为（万辆），月增长率为．
（1）下列说法正确的是 ．
A.2月份的销售量为万辆
B.2月份至6月份销售的月增量的平均数为万辆
C.5月份的销售量最大
D.5月份销售的月增长率最大
（2）6月份的销售量比1月份增加了 万辆．
（3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由．
【答案】（1）B
（2）
（3）答：不同意，理由如下：
4月份增长量为，即4月份相比3月份销售量减少，但3月份增长量为，即3月份相比2月份销售量增加．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算
【解析】【解答】
（1）
A、2月份的月增量是0.4万辆；
B、2－6月份的月增量的平均值为（万辆）；
C、5月份的月增量最大，但不保证销量最大；
D、由于4月份的销量未知，故不确定5月的增长率是否最大；
故正确答案为：B
（2）0.4+0.2-0.2+0.5+0.4＝1.3
故正确答案为：1.3
【分析】
（1）2月份的月增量是0.4万辆，并非月销售量，故A错误；2-6月份的月增量的平均值就是0.26万辆，故B正确；由于4月份的销量未知，故不确定该月份的销量和月增长率是否最大，故C、D都错误；
（2）求6月份相对1月份的月增量，实质是求连续5个月增量的和；
（3）虽然4月份相对3月份销量呈下降趋势，但由于3月份相对于2月份的销量呈增加趋势，故2-4月份的月销量呈先升后降趋势.
23．（2024·南京）如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．）
【答案】解：如图所示，分别过点B、C作航线的垂线段BF、CD，再过点B作航线的平行线交CD的延长线于点E，设BE＝x.
四边形BFDE是矩形
、
，解得
答：港口C到航线的距离为8km.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】分别过点B、C作航线的垂线段BF、CD，再过点B作航线的平行线交CD的延长线于点E，设BE＝x，则可证四边形BFDE是矩形，则DE＝BF＝12，BE＝DF＝x，再分别解直角三角形可得AF＝16，、，再解关于x的方程得x=5，则可得CD的长，即港口到航线的距离可得.
24．（2024·南京）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，求四边形是菱形时的长．
【答案】（1）证明：
和关于点对称
、且A、E、B、D四点共线
四边形ACDF是平行四边形
（2）解：连接CF.
和关于点对称
、、且点O是CF中点
四边形ACDF是菱形
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；中心对称的性质
【解析】【分析】
（1）先由中心对称的性质知且A、E、B、D四点共线，再由全等的性质知，则由平行线的判定可得，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）先由中心对称的性质知OA＝OD，即点O是两对角线的交点，由于平行四边形ACDF是菱形，则CF垂直AD，再由等面积法结合勾股定理可依次求得AB、OC和AO.
25．（2024·南京）已知二次函数的图象经过点，它的顶点在函数的图象上．
（1）当取最小值时， ．
（2）用含的代数式表示．
（3）已知点都在函数的图象上，当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
【答案】（1）2
（2）解：
点在抛物线上
二次函数的顶点坐标为
点在抛物线上
（3）且
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】
（1）解：由题意知，
n的最小值为0，此时m=0
二次函数的顶点为
二次函数的解析式为
点 在抛物线上
（3）解：如图所示，
点都在抛物线上且
且
【分析】
（1）由抛物线上点的坐标特征知，则n的最小值为0，此时m=0，即抛物线的标点坐标为，再利用抛物线上点的坐标特征可得a=2；
（2）由抛物线上点的坐标特征可得，再借助顶点坐标可化抛物线的解析式为，再利用抛物线上点的坐标特征可得，由于二次项系数不为0，故；
（3）对于抛物线，当时抛物线上的点到对称轴的距离越大则对应的函数值越大，反之对应的函数值越小.
26．（2024·南京）
（1）如图（1），点分别在正方形边上，连接．求作，使点分别在边上（均不与顶点重合），且．
（2）已知点的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】（1）答：线段GH即为所求作.
（2）答：
方法一：如图所示：
连接QS；
过点P作与QS的垂直且相等的线段PM；
连接MR；
分别过点Q、S作直线MR的垂线段QA、SB；
再分别过点P作直线QA、SB的垂线段PD和PC，即线段CD所在的直线即为所求作；
方法二：如图所示：
分别连接PS、QR；
再分别以PS、QR为直径作；
再分别作PS的中垂线交于点N、QR的中垂线交于点M；
再作直线MN分别交于点C、A；
再作直线AR交CS于点B、AQ交CP于点D；
即线段CD所在的直线为所求作.
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定；垂径定理；圆周角定理；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】
（1）以F为圆心，AE长为半径画弧交CD于点M，连接AM；
再以C为圆心，DM长为半径画弧交BC于点N，连接DN；
再在AD上取不与A、D重合的点H，再以N为圆心，DH长为半径画弧交CB于点G，连接HG，
即线段HG即为所求作；
（2）
【分析】
（1）由基本尺规作图知四边形AEFM是平行四边形，则AM平行EF，再由一线三垂直全等模型知，由全等三角形的对应角相等结合正方形的性质知，由于可证四边形DHGN是平行四边形，则GH平行DN，由平行公理知且 ；
（2）方法一：如图所示：
作DE平行QS交CB于点E，作CF平行PM交AB于F，则由一线三垂直模型可证明，则DC=CB，则矩形ABCD是正方形；
方法二：如图所示
由圆周角定理结合垂径定理知、，同理、则，则四边形ABCD是正方形.
27．（2024·南京）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线．
（1）结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
（2）路灯的高度是 m．
（3）设的坡角为．
①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
【答案】（1）答：点A的横坐标表示小明行走到距离路灯正下方6米处，点A的纵坐标表示小明此时的影子的长度，即小明的影子的顶端恰好位于点P2处，即影子长为2米；
（2）6
（3）abc
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；用图象表示变量间的关系；正比例函数的性质
【解析】【解答】
（2）解：由题意知，，设路灯高为h，则由题意知
解得：h=6
答：路灯的高度为6米；
（3）
① 解：
如图，设小明行走到P2P3上点F处时，FG是小明此时的影子，直线BC交LP1的延长线于点H.
设米、米，则：
即：直线BC小于OA的的倾斜程度；
②观察AB段函数图象知，y随x的增大先增大后减小，故正确答案为C.
【分析】
（1）由题意知，当小明行走了距离路灯正下方P16米处时，他的影子的顶端恰好与点P2重合，所以他的影子长为2米，即点A的横坐标表示小明距离P16米，纵坐标表示此时他的影子长2米；
（2）设路灯高为h，由此时小明的身高与影长的比可得，即h=6；
（3） ① 如图，设小明在斜坡P2P3上点F处时影子FG的长为y，则设斜坡所在直线与路灯在竖起方向上的直线交于点H.
由于EF平行LH，则利用三角形相似的预备定理可得，此时可解直角三角形表示出P1H、P2H，再利用相似比可得y是关于x的一次函数，则一次项系数即直线BC的斜率，再利用的三角函数估算出其取值范围，再利用直线上点的坐标特征可直接得直线OA的斜率再进行比较即可；
②直接利用函数图象获取信息即可.
1 / 1江苏省南京市2024年中考数学试题
一、选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．（2024·南京）下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·南京）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
3．（2024·南京）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·南京）如图，在正边形中，，则的值是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．36
5．（2024·南京）如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．9
6．（2024·南京）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ）
A．1元 B．99元 C．101元 D．199元
二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
7．（2024·南京）比较大小： （填“”“”或“”）
8．（2024·南京）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
9．（2024·南京）计算： .
10．（2024·南京）如果实数满足 ，那么互为相反数．
11．（2024·南京）方程的解是 ．
12．（2024·南京）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．完成下表：
… 4 …
… …
13．（2024·南京）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ．
14．（2024·南京）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ．
15．（2024·南京）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是 ．
16．（2024·南京）已知是关于的方程（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ．
三、解答题 (本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024·南京）解不等式组：
18．（2024·南京）计算：
19．（2024·南京）已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标．
20．（2024·南京）如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．
21．（2024·南京）甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球．
（1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是 ；
（2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？
22．（2024·南京）某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．注：月增量当月的销售量上月的销售量，月增长率．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为万辆，那么9月份销售的月增量为（万辆），月增长率为．
（1）下列说法正确的是 ．
A.2月份的销售量为万辆
B.2月份至6月份销售的月增量的平均数为万辆
C.5月份的销售量最大
D.5月份销售的月增长率最大
（2）6月份的销售量比1月份增加了 万辆．
（3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由．
23．（2024·南京）如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．）
24．（2024·南京）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，求四边形是菱形时的长．
25．（2024·南京）已知二次函数的图象经过点，它的顶点在函数的图象上．
（1）当取最小值时， ．
（2）用含的代数式表示．
（3）已知点都在函数的图象上，当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
26．（2024·南京）
（1）如图（1），点分别在正方形边上，连接．求作，使点分别在边上（均不与顶点重合），且．
（2）已知点的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
27．（2024·南京）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线．
（1）结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
（2）路灯的高度是 m．
（3）设的坡角为．
①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】
A、-3是负数；
B、，是正数；
C、，是正数；
D、，是正数；
故正确答案为：A
【分析】负数的绝对值是正数，负数的相反数也是正数，负数的平方也是正数.
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设较小的一个奇数为(其中是自然数)，则另一个奇数为，
根据题意，得
，
故一定能被8整除，
故选：D．
【分析】
设较小的一个奇数为(其中是自然数)，则另一个奇数为，再利用平方差公式分别因式可得结果为，即总能被8整除．
3．【答案】C
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数混合运算法则（含乘方）；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】
故正确答案为：C
【分析】有理数的混合运算，先逆用同底数幂的乘法运算，再逆用乘法分配律即可.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】
故正确答案为：B
【分析】由圆周角定理知正n边形的中心角等于等于，再用除以即可得到边数n.
5．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接，作于点，
则，
，分别与扇形相切于点，，，，
，，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
解得：，
故答案为：D．
【分析】连接，作于点，根据相切线长定理得到，然后根据勾股定理求得，然后得到是矩形，即可得到，，再根据勾股定理得到，求出AD长解答即可．
6．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】设A商品的单价是x元、B商品的单价是y元，由题意知
解得：
所以y的最小整数解为1
故正确答案为：A
【分析】 设A商品的单价是x元、B商品的单价是y元，由题意可列关于x、y的方程组并求出y的最小整数解即可.
7．【答案】
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，
又，
∴．
故答案为：．
【分析】正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；两个正数绝对值大的数大，两个负数绝对值大的反而小，据此求出两个负数的绝对值大小，通过比较绝对值的大小即可得出结论.
8．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】
故正确答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.
9．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为： .
【分析】先进行二次根式的乘除法的运算，再将其化简为最简二次根式即可.
10．【答案】
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】若，则
故正确答案为：
【分析】一对相反数的和为0.
11．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】去分母得：
解方程得：
经检验，是原分式方程的根.
故正确答案为：
【分析】解分式方程的一般步骤是先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程，再把这个解代入到最简公分母中进行检验，若最简公分母为0则这个根是增根，应舍去，反之，这个根也是分式方程的根.
12．【答案】9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设
故正确答案为：9
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用双曲线上点的坐标特征求出当R＝4时对应的I的值即可.
13．【答案】108
【知识点】角的运算；邻补角；角的双角平分线和型
【解析】【解答】分别平分
故正确答案为：108
【分析】先由双角平分和模型可得，再利用角的和差关系求出，再利用邻补角的概念即可.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，过点E分别作AD、BC的垂线段EF、EG交BC的延长线于点G，连接CG.
是等边三角形
四边形DGEF是矩形
故正确答案为：
【分析】过点E分别作AD、BC的垂线段EF、EG交BC的延长线于点G，连接CG，则四边形DGEF是矩形，即EG＝FD，再由等腰三角形三线合一结合勾股定理可得，再利用三角形的面积公式直接计算即可.
15．【答案】
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；求算术平方根
【解析】【解答】
故正确答案为：
【分析】根据材料所给方法可把表示成的完全平方，由于 ，则.
16．【答案】2；
【知识点】分母有理化；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
或
是一元二次方程的一个根
设方程另一个根是
、且是有理数
故正确答案依次为：2、
【分析】由乘法法则知原方程的一个根是有理数2，则关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，又因为都是有理数且，则由根与系数的关系结合已知一个根为，则另一个根为时恰好满足条件.
17．【答案】解：
解不等式得：
解不等式得：
所以原不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求不等式组的解集，先分别求出各不等式的解集，再按照口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”求出各解集的公共部分即可.
18．【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】分式的混合运算，先对括号内的异分母分式通分并作减法运算，再化除法为乘法，再对分子、分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式即可.
19．【答案】解：
点与点关于轴对称
将点向左平移3个单位长度得到点
都在直线上
解得
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
1、关于x轴对称的点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
2、点的坐标平移变换规律是：左减右加、下减上加；
3、再利用直线上点的坐标特征联立关于a、b的二元一次方程组并求解即可.
20．【答案】证明：∵AC是⊙O的直径
在和 中
又
四边形ABCD是平行四边形
又
是矩形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定；矩形的判定；圆周角定理；全等三角形中对应边的关系
21．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
红 红 白
红 红、红 红、红 红、白
红 红、红 红、红 红、白
白 红、白 红、白 白、白
共有9种等可能结果，其中两次摸出都是红球共有4种结果
所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】
（1）
【分析】
（1）简单事件的概率直接利用公式计算即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
22．【答案】（1）B
（2）
（3）答：不同意，理由如下：
4月份增长量为，即4月份相比3月份销售量减少，但3月份增长量为，即3月份相比2月份销售量增加．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算
【解析】【解答】
（1）
A、2月份的月增量是0.4万辆；
B、2－6月份的月增量的平均值为（万辆）；
C、5月份的月增量最大，但不保证销量最大；
D、由于4月份的销量未知，故不确定5月的增长率是否最大；
故正确答案为：B
（2）0.4+0.2-0.2+0.5+0.4＝1.3
故正确答案为：1.3
【分析】
（1）2月份的月增量是0.4万辆，并非月销售量，故A错误；2-6月份的月增量的平均值就是0.26万辆，故B正确；由于4月份的销量未知，故不确定该月份的销量和月增长率是否最大，故C、D都错误；
（2）求6月份相对1月份的月增量，实质是求连续5个月增量的和；
（3）虽然4月份相对3月份销量呈下降趋势，但由于3月份相对于2月份的销量呈增加趋势，故2-4月份的月销量呈先升后降趋势.
23．【答案】解：如图所示，分别过点B、C作航线的垂线段BF、CD，再过点B作航线的平行线交CD的延长线于点E，设BE＝x.
四边形BFDE是矩形
、
，解得
答：港口C到航线的距离为8km.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】分别过点B、C作航线的垂线段BF、CD，再过点B作航线的平行线交CD的延长线于点E，设BE＝x，则可证四边形BFDE是矩形，则DE＝BF＝12，BE＝DF＝x，再分别解直角三角形可得AF＝16，、，再解关于x的方程得x=5，则可得CD的长，即港口到航线的距离可得.
24．【答案】（1）证明：
和关于点对称
、且A、E、B、D四点共线
四边形ACDF是平行四边形
（2）解：连接CF.
和关于点对称
、、且点O是CF中点
四边形ACDF是菱形
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；中心对称的性质
【解析】【分析】
（1）先由中心对称的性质知且A、E、B、D四点共线，再由全等的性质知，则由平行线的判定可得，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）先由中心对称的性质知OA＝OD，即点O是两对角线的交点，由于平行四边形ACDF是菱形，则CF垂直AD，再由等面积法结合勾股定理可依次求得AB、OC和AO.
25．【答案】（1）2
（2）解：
点在抛物线上
二次函数的顶点坐标为
点在抛物线上
（3）且
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】
（1）解：由题意知，
n的最小值为0，此时m=0
二次函数的顶点为
二次函数的解析式为
点 在抛物线上
（3）解：如图所示，
点都在抛物线上且
且
【分析】
（1）由抛物线上点的坐标特征知，则n的最小值为0，此时m=0，即抛物线的标点坐标为，再利用抛物线上点的坐标特征可得a=2；
（2）由抛物线上点的坐标特征可得，再借助顶点坐标可化抛物线的解析式为，再利用抛物线上点的坐标特征可得，由于二次项系数不为0，故；
（3）对于抛物线，当时抛物线上的点到对称轴的距离越大则对应的函数值越大，反之对应的函数值越小.
26．【答案】（1）答：线段GH即为所求作.
（2）答：
方法一：如图所示：
连接QS；
过点P作与QS的垂直且相等的线段PM；
连接MR；
分别过点Q、S作直线MR的垂线段QA、SB；
再分别过点P作直线QA、SB的垂线段PD和PC，即线段CD所在的直线即为所求作；
方法二：如图所示：
分别连接PS、QR；
再分别以PS、QR为直径作；
再分别作PS的中垂线交于点N、QR的中垂线交于点M；
再作直线MN分别交于点C、A；
再作直线AR交CS于点B、AQ交CP于点D；
即线段CD所在的直线为所求作.
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定；垂径定理；圆周角定理；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】
（1）以F为圆心，AE长为半径画弧交CD于点M，连接AM；
再以C为圆心，DM长为半径画弧交BC于点N，连接DN；
再在AD上取不与A、D重合的点H，再以N为圆心，DH长为半径画弧交CB于点G，连接HG，
即线段HG即为所求作；
（2）
【分析】
（1）由基本尺规作图知四边形AEFM是平行四边形，则AM平行EF，再由一线三垂直全等模型知，由全等三角形的对应角相等结合正方形的性质知，由于可证四边形DHGN是平行四边形，则GH平行DN，由平行公理知且 ；
（2）方法一：如图所示：
作DE平行QS交CB于点E，作CF平行PM交AB于F，则由一线三垂直模型可证明，则DC=CB，则矩形ABCD是正方形；
方法二：如图所示
由圆周角定理结合垂径定理知、，同理、则，则四边形ABCD是正方形.
27．【答案】（1）答：点A的横坐标表示小明行走到距离路灯正下方6米处，点A的纵坐标表示小明此时的影子的长度，即小明的影子的顶端恰好位于点P2处，即影子长为2米；
（2）6
（3）abc
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；用图象表示变量间的关系；正比例函数的性质
【解析】【解答】
（2）解：由题意知，，设路灯高为h，则由题意知
解得：h=6
答：路灯的高度为6米；
（3）
① 解：
如图，设小明行走到P2P3上点F处时，FG是小明此时的影子，直线BC交LP1的延长线于点H.
设米、米，则：
即：直线BC小于OA的的倾斜程度；
②观察AB段函数图象知，y随x的增大先增大后减小，故正确答案为C.
【分析】
（1）由题意知，当小明行走了距离路灯正下方P16米处时，他的影子的顶端恰好与点P2重合，所以他的影子长为2米，即点A的横坐标表示小明距离P16米，纵坐标表示此时他的影子长2米；
（2）设路灯高为h，由此时小明的身高与影长的比可得，即h=6；
（3） ① 如图，设小明在斜坡P2P3上点F处时影子FG的长为y，则设斜坡所在直线与路灯在竖起方向上的直线交于点H.
由于EF平行LH，则利用三角形相似的预备定理可得，此时可解直角三角形表示出P1H、P2H，再利用相似比可得y是关于x的一次函数，则一次项系数即直线BC的斜率，再利用的三角函数估算出其取值范围，再利用直线上点的坐标特征可直接得直线OA的斜率再进行比较即可；
②直接利用函数图象获取信息即可.
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