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2026年中考解答题题型训练05
1．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A＝60°，求∠BDE的度数；
（2）若AC＝5，CE＝7，求BD的长度．
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设运动时间为ts．
[问题1]BC边的长为 cm，AC边上的高为 cm．
[问题2]当t＝2时，求P，Q两点之间的距离．
[问题3]当CP平分△ABC的面积时，求点P到AC的距离．
[问题4]当AQ平分∠BAC时，求点Q到AC的距离．
[问题5]当△AQC是等腰三角形时，求腰长．
3．综合与探究：如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集；
（3）已知P为反比例函数图象上的一点，且S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
4．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，求出这个方程的两个根．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．
（1）求证：DB＝DC；
（2）若∠EAD＝60°，，求的长度．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
7．在“趣味化学实验室”课上，黄老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液：
（1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是 ；
（2）张老师从四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率．
8．如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，现测得灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC＝127°，同学们想知道灯管支架BC的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：
测量项目 测量数据
从D处测得灯杆顶部B处仰角α α＝37°
从E处测得灯杆支架C处仰角β β＝63°26'；
两次测量之间的水平距离 DE＝5.1m
灯杆的高度 AB＝8.1m
求灯管支架BC的长度．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，tan63°26′≈2.00）
9．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，连接CD，过点A作AP∥BC交CD的延长线于点P．
（1）求证：AP为⊙O的切线；
（2）若AB＝13，AP＝5，求⊙O的半径．
10．“直播带货”已经成为商家的一种促销重要手段．某商家在直播间销售一种成本为40元/千克的农产品，若按50元/千克销售，每日可售出40千克，经市场调查得知，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克．设日销售利润为y（元），销售价为x（元/千克）．
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若商家想每日销售利润达到600元，又要让消费者得到实惠，则应将销售价定为多少元/千克？
（3）若商家想每天至少销售35千克，当销售价定为每千克多少元时，商家会获得最大日销售利润？最大日销售利润是多少元？
11．小明参加某个智力竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
（2）如果小明将“求助”在第一题使用，请用画树状图或列表的方法，求小明顺利通关的概率．
12．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
13．如图，已知A，O，E三点在同一条直线上．
（1）若OB平分∠AOC，OD平分∠COE，试求∠BOD的度数；
（2）若OB平分∠AOC，∠AOB+∠DOE＝90°，试判断∠COD与∠DOE有怎样的数量关系，并说明理由．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为10，，求BH的长．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称，并写出点A′、B′、C′的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上找一点P，使PC+PB的值最小．
16．某水果商店推出一款水果拼盘套餐受到广大消费者的喜爱，每天销售量y盒与销售单价x元∕盒之间存在一次函数关系（如表所示）．已知水果拼盘套餐的成本为30元∕盒．
销售单价x元∕盒 40 50 60
销售量y盒 220 200 180
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，当天的销售利润最大？
（3）若水果商店希望通过调整，将这一款拼盘套餐降低成本m元/盒（m＞0），使每天在销售量不超过100盒的前提下，最大销售利润为7600元．求出m的值．
17．旋转是一种常用的几何变换，在平面几何中有着广泛的应用．它是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针方向旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换，其目的是在条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变换使之集中，为我们解决问题提供一条解题途径．
（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB上的一点，AD＝49，BD＝29，且四边形FDEC是正方形，求阴影部分的面积．
已知条件中只给出了两个直角三角形的斜边AD、BD的长度，直接分别计算两个三角形的面积来求阴影部分的面积有点困难，一起来看看小明的解决方法吧！小明运用图形旋转的方法，将Rt△DBE绕点D逆时针旋转90°，得到Rt△DGF如图（2）所示，这时，可证△ADG是直角三角形，利用直角三角形算出阴影部分的面积是49×29．你能说一下小明这样做的理由并给出说理过程吗？
（2）请你用小明的方法解决下面的问题：如图（3），在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，连接AE．如果AB＝2，DC＝4，求△ABE的面积．
18．玉溪新平县哀牢山出产的“褚橙”以含大量维生素C、营养价值高、高糖低酸、味甜清香而著称．某水果商以每千克30元的价格批发了一批“褚橙”，再按每千克40元的价格到市区销售，平均每天可售出60千克，经调查发现：如果每千克该“褚橙”的售价每降低1元，那么该水果商平均每天的销售量会增加10千克，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售，设该“褚橙”每千克的价格降低x元．
（1）降价后，该水果商每天的销售量为 千克；（用含x的代数式表示）
（2）若该水果商销售该“褚橙”每天盈利630元，每千克“褚橙”的售价应降至多少元？
（3）若x满足1≤x≤6，求该水果商每天销售该“褚橙”的最低利润．
19．请阅读以下材料，并解决下列问题：
调查主题 某中学八年级学生的春游需求
调查人员 该中学数学兴趣小组
调查方法 抽样调查
背景介绍
某中学计划组织八年级学生前往5个武汉市景点中的1个开展春游活动，这5个景点为：A．黄鹤楼；B．晴川阁；C．东湖；D．省博；E．园博园．该中学数学兴趣小组针对八年级学生的意向目的地开展抽样调查并出具如下调查报告（注：每位被抽样调查的学生选择且只选择1个意向前往的景点）．
报告内容（说明：以下仅展示部分内容）
（1）求本次被抽样调查的学生人数．
（2）在扇形统计图中，求“A．黄鹤楼”对应的圆心角度数．
（3）该校八年级学生人数为500人，估计八年级意向前往“E．园博园”的学生人数．
20．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）如图2，若P是线段OA上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交AC于点N，设点P的横坐标为t，△ACH的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作直线PQ∥BC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图1，某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8米，桥拱顶点B到水面的距离是4米．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？
（3）如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移n（n＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考解答题题型训练05
1．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A＝60°，求∠BDE的度数；
（2）若AC＝5，CE＝7，求BD的长度．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠A＝∠CDE＝60°，即可求解；
（2）由旋转的性质可得AC＝CD＝5，CE＝BC＝7，即可求解．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴∠A＝∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝120°；
（2）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD＝5，CE＝BC＝7，
∴BD＝BC﹣CD＝2．
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设运动时间为ts．
[问题1]BC边的长为 24 cm，AC边上的高为 6.72 cm．
[问题2]当t＝2时，求P，Q两点之间的距离．
[问题3]当CP平分△ABC的面积时，求点P到AC的距离．
[问题4]当AQ平分∠BAC时，求点Q到AC的距离．
[问题5]当△AQC是等腰三角形时，求腰长．
【分析】[问题1]根据勾股定理可求得BC，再由三角形的面积求出AC边上的高；
[问题2]根据题意，分别求出PB和BQ，再根据勾股定理求出PQ即可；
[问题3]根据题意，求出△ACP的面积，再由面积公式求出点P到AC的距离；
[问题4]过点Q作QD⊥AC，交AC于点D．根据AAS，可证明Rt△ABQ≌Rt△ADQ，则对应边相等；再证明Rt△CDQ∽Rt△CBA，则对应边成比例，进而求解；
[问题5]设AQ＝CQ＝x，则BQ＝24﹣x．在Rt△ABQ中，根据勾股定理列出关于x的一元二次方程，求解即可．
【解答】解：[问题1]BC24（cm）．
∵设AC边上的高为hcm，根据Rt△ABC的面积，
得AB BCAC h，即h6.72（cm）．
故答案为：24，6.72．
[问题2]当t＝2时，点P和Q分别运动到如图位置．
连接PQ．
∵AP＝1×2＝2（cm），BQ＝6×2＝12（cm），
∴PB＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），
∴PQ13（cm）．
[问题3]设点P到AC的距离为dcm．
∵CP平分△ABC的面积，
∴S△APCAC dSRt△ABCAB BC，
经整理，得d3.36（cm）．
∴当CP平分△ABC的面积时，求点P到AC的距离为3.36cm．
[问题4]当点Q运动到如图位置时，AQ平分∠BAC．
过点Q作QD⊥AC，交AC于点D．
在Rt△ABQ与Rt△ADQ中，
，
∴Rt△ABQ≌Rt△ADQ（AAS），
∴AD＝AB＝7（cm），
∴CD＝AC﹣AD＝25﹣7＝18（cm）．
在Rt△CDQ和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CDQ∽Rt△CBA（AA），
∴，
∴，解得QD＝5.25．
∴当AQ平分∠BAC时，点Q到AC的距离为5.25cm．
[问题5]当点Q运动到如图位置时，△AQC是等腰三角形，AQ＝CQ．
设AQ＝CQ＝x，则BQ＝BC﹣CQ＝24﹣x．
∵AQ2＝AB2+BQ2，即x2＝72+（24﹣x）2，解得x．
∴当△AQC是等腰三角形时，腰长为cm．
3．综合与探究：如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集；
（3）已知P为反比例函数图象上的一点，且S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式；
（2）根据一次函数和反比例函数图象结合已知不等式，数形结合直接可得；
（3）过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，根据S△OBP＝2S△OAC，可得点P的纵坐标为2或﹣2，即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+b经过C（0，3），
∴b＝3，
∴一次函数的表达式为y＝x+3；
∵一次函数y＝x+3经过A（m，4），
∴m+3＝4，
∴m＝1，
∴A（1，4）．
∵点A（1，4）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的表达式为，
当y＝0时，x+3＝0，
解得：x＝﹣3，
∴B（﹣3，0）；
（2）观察图象得：当﹣4＜x＜0或x＞1时，，
即关于x的不等式的解集为﹣4＜x＜0或x＞1；
（3）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝3，OC＝3．
过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示．
∵S△OBP＝2S△AOC，
∴，
∴，
解得：PD＝2．
即点P的纵坐标为2或﹣2．
将y＝2代入得x＝2，
将y＝﹣2代入得x＝﹣2，
∴点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．
4．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，求出这个方程的两个根．
【分析】（1）先根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4（2k﹣3）＞0，然后解不等式即可；
（2）先确定k＝1得到一元二次方程x2+2x﹣1＝0，然后利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝22﹣4（2k﹣3）＞0，
解得k＜2，
即k的取值范围为k＜2；
（2）∵k＜2且k为正整数，
∴k＝1，
此时方程为x2+2x﹣1＝0，
x2+2x+1＝2，
（x+1）2＝2，
x+1＝±，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣1．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．
（1）求证：DB＝DC；
（2）若∠EAD＝60°，，求的长度．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠EAD＝∠CAD，再利用圆内接四边形的性质得到∠EAD＝∠BCD，利用圆周角定理得到∠CAD＝∠CBD，所以∠CBD＝∠BCD，从而得到结论；
（2）连结OB、OC，如图，利用（1）的结论得到∠DCB＝∠DBC＝∠EAD＝60°，则△BCD为等边三角形，所以∠BDC＝60°，OB＝OCBC＝2，根据圆周角定理得到∠BOC＝120°，然后根据弧长公式求解．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠BCD，∠CAD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴DB＝DC；
（2）解：连结OB、OC，如图，
∵∠DCB＝∠DBC＝∠EAD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC＝60°，OB＝OCBC＝22，
∴∠BOC＝2∠BDC＝120°，
∴的长度π．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
【分析】（1）证明Δ＞0，可得结论；
（2）根据方程解的定义求出k的值，再求出方程的根可得结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\
＝k2+4k+4﹣8k+4
＝k2﹣4k+4+4
＝（k﹣2）2+4，
∵（k﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根为3，
∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
∴k＝2，
∴方程为x2﹣4x+3＝0，
∴x1＝3，x1＝1，
∴另一个根为1，k＝2．
7．在“趣味化学实验室”课上，黄老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液：
（1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是 ；
（2）张老师从四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是；
故答案为：．
（2）列表如下，
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴混合后的溶液变红色的概率为．
8．如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，现测得灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC＝127°，同学们想知道灯管支架BC的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：
测量项目 测量数据
从D处测得灯杆顶部B处仰角α α＝37°
从E处测得灯杆支架C处仰角β β＝63°26'；
两次测量之间的水平距离 DE＝5.1m
灯杆的高度 AB＝8.1m
求灯管支架BC的长度．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，tan63°26′≈2.00）
【分析】延长AB，EC交于F，根据三角函数的定义得到AE＝AD﹣DE＝5.7（m），BF＝AF﹣AB＝3.3（m），过C作CH⊥AF于H，根据平行线的性质得到∠FCH＝∠FEA＝β，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：延长AB，EC交于F，
在Rt△ADB中，tanα，
∴tan37°0.75，
∴AD＝10.8m，
∵DE＝5.1m，
∴AE＝AD﹣DE＝5.7（m），
在Rt△AEF中，tanβ，
∴2.00，
∴AF＝11.4m，
∴BF＝AF﹣AB＝3.3（m），
过C作CH⊥AF于H，
∴∠CHF＝CHB＝90°，
∴CH∥AE，
∴∠FCH＝∠FEA＝β，
∵∠ABC＝127°，
∴∠CBH＝53°，
∴∠BCH＝37，
∴FH＝CH tanβ，BH＝CH tanα，
∴BF＝BH+FH＝CH tanβ+CH tanα＝CH （0.75+2）＝3.3，
解得CH＝1.2m，
∴BC1.5（m），
答：灯管支架BC的长度为1.5m．
9．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，连接CD，过点A作AP∥BC交CD的延长线于点P．
（1）求证：AP为⊙O的切线；
（2）若AB＝13，AP＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接并延长AO交BC于点F，由AB＝AC，得，由垂径定理得AF⊥BC，由AP∥BC，得∠OAP＝∠AFB＝90°，即可证明AP为⊙O的切线；
（2）由BD是⊙O的直径，得∠BCD＝90°，可证明四边形APCF是矩形，则CF＝AP＝5，而AC＝AB＝13，所以AF12，由OF2+BF2＝OB2，且OF＝12﹣OB，BF＝CF＝5，得（12﹣OB）2+52＝OB2，求得OB，则⊙O的半径为．
【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，
∵AB＝AC，
∴，
∴AF⊥BC，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，
∵AP∥BC，
∴∠OAP＝∠AFB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AP⊥OA，
∴AP为⊙O的切线．
（2）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠FAP＝∠AFC＝∠FCD＝90°，
∴四边形APCF是矩形，
∴CF＝AP＝5，
∵AC＝AB＝13，
∴AF12，
∵OA＝OB，
∴OF＝AF﹣OA＝12﹣OB，
∵OF2+BF2＝OB2，且BF＝CF＝5，
∴（12﹣OB）2+52＝OB2，
解得OB，
∴⊙O的半径为．
10．“直播带货”已经成为商家的一种促销重要手段．某商家在直播间销售一种成本为40元/千克的农产品，若按50元/千克销售，每日可售出40千克，经市场调查得知，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克．设日销售利润为y（元），销售价为x（元/千克）．
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若商家想每日销售利润达到600元，又要让消费者得到实惠，则应将销售价定为多少元/千克？
（3）若商家想每天至少销售35千克，当销售价定为每千克多少元时，商家会获得最大日销售利润？最大日销售利润是多少元？
【分析】（1）设涨价x（元/千克），然后根据当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少1千克，进行求解即可；
（2）由（1）可得令销售量600千克，代入y＝﹣x2+130x﹣3600进行求解即可；
（3）每天至少销售35千克，求出销售定价的范围，由（1）知y＝﹣x2+130x﹣3600＝﹣（x﹣65）2+625，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）依题意得，y＝[40﹣（x﹣50）]×（x﹣40），
化简得：y＝﹣x2+130x﹣3600，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+130x﹣3600；
（2）在（1）中，令y＝600得，﹣x2+130x﹣3600＝600，
解得x＝60或x＝70，
∵要让消费者得到实惠，
∴销售价应定为60元/千克；
（3）依题意得，40﹣（x﹣50）≥35，解得x≤55．
∵y＝﹣x2+130x﹣3600＝﹣（x﹣65）2+625，
∴当x＜65时，y随x的增大而增大，
∴当x＝55时，y取得最大值为525．
答：当销售价定为55元/千克时，商家获得最大日销售利润，最大日销售利润为525元．
11．小明参加某个智力竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
（2）如果小明将“求助”在第一题使用，请用画树状图或列表的方法，求小明顺利通关的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明顺利通关的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴小明第一题不使用“求助”，小明答对第一道题的概率是．
故答案为：．
（2）分别用a，b表示第一道单选题剩下的2个选项，分别用A，B，C，D，表示二道单选题的4个选项，
列表如下：
A B C D
a （a，A） （a，B） （a，C） （a，D）
b （b，A） （b，B） （b，C） （b，D）
共有8种等可能的结果，其中小明顺利通关的结果有1种，
∴小明顺利通关的概率为．
12．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分得出不等式组的解集，然后再数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤2，
所以，不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集在数轴上表示如下：
13．如图，已知A，O，E三点在同一条直线上．
（1）若OB平分∠AOC，OD平分∠COE，试求∠BOD的度数；
（2）若OB平分∠AOC，∠AOB+∠DOE＝90°，试判断∠COD与∠DOE有怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义推角的关系，再根据A，O，E三点在同一条直线上，推∠AOC+∠COE＝180°，进一步推出∠BOD＝90°；
（2）根据OB平分∠AOC推∠BOC＝∠BOC∠AOC，再根据∠AOB+∠DOE＝90°，∠AOC+∠COE＝180°，推出∠COD＝∠DOE．
【解答】解：（1）∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，
∴∠BOC∠AOC，∠COD∠COE，
∵A，O，E三点在同一条直线上，
∴∠AOC+∠COE＝180°，
∴∠BOC+∠COD＝∠BOD＝90°；
（2）∠COD＝∠DOE．
∵OB平分∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOA∠AOC，
∵∠AOB+∠DOE＝90°，∠AOC+∠COE＝180°，
∴∠COD＝∠DOE．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为10，，求BH的长．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠ODB＝∠ABC，从而可得∠ABC+∠DBF＝90°，即可证明结论；
（2）连接BE，可得AB＝20，BE＝AB sinA＝2012，再由勾股定理求得AE＝16，由OF⊥BC，得，则有BE＝CE＝12，再证明△EBH∽△EAB，得BE2＝EH EA，求得EH的长，从而解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为10，sinA，
∴AB＝20，BE＝AB sinA＝2012，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
EA16，
∵OF⊥BC，
∴，
∴BE＝CE＝12，∠EBH＝∠EAB，
∵∠BEH＝∠AEB，
∴△EBH∽△EAB，
∴BE2＝EH EA，
∴EH9，
在Rt△BEH中，由勾股定理得：
BH15．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称，并写出点A′、B′、C′的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上找一点P，使PC+PB的值最小．
【分析】（1）先画出点A、B、C关于x轴的对称轴，再依次连接即可；
（2）用割补法求解即可；
（3）连接BC′，与x轴相交于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
∵A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1），△A′B′C′和△ABC关于x轴对称，
∴A′（4，0），B′（﹣1，﹣4），C′（﹣3，﹣1）；
（2）；
（3）如图所示，点P即为所求；
∵点C和点C′关于x轴对称，
∴PC＝PC′，
∴PC+PB＝PC′+PB＝BC′，此时PC+PB最小．
16．某水果商店推出一款水果拼盘套餐受到广大消费者的喜爱，每天销售量y盒与销售单价x元∕盒之间存在一次函数关系（如表所示）．已知水果拼盘套餐的成本为30元∕盒．
销售单价x元∕盒 40 50 60
销售量y盒 220 200 180
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，当天的销售利润最大？
（3）若水果商店希望通过调整，将这一款拼盘套餐降低成本m元/盒（m＞0），使每天在销售量不超过100盒的前提下，最大销售利润为7600元．求出m的值．
【分析】（1）根据待定系数法解答即可；
（2）设销售单价x（元/盒）时，每天的销售利润为w元，根据每天销售利润＝每件的利润×销售量即可得出w关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质即可求出结果；
（3）先由每天销售量不得超过100件求出x的取值范围，然后根据每天销售利润＝每件的利润×销售量列出w关于x的二次函数（含m），然后根据二次函数的性质即可得到w的最大值，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得，
解得，
∴y＝﹣2x+300
（2）设销售单价x（元/盒）时，每天的销售利润为w元，
根据题意，得w＝（x﹣30）（﹣2x+300）
＝﹣2x2+360x﹣9000
＝﹣2（x﹣90）2+7200，
∴当x＝90元时，w有最大值，最大值为7200，
即销售单价为90元∕盒时，当天的销售利润最大；
（3）由题意可列出不等式组：，
解得：100≤x≤150，
∴w＝（﹣2x+300）（x﹣30+m）
＝﹣2x2+（360﹣2m）x﹣9000+300m，
∴该二次函数的图象开口向下且对称轴为直线：，
∵m＞0，
∴，
又∵100≤x≤150，
∴当x＝100时，w有最大值为（﹣2×100+300）（100﹣30+m）＝100m+7000，
又∵w有最大值为7600，
∴100m+7000＝7600，解得：m＝6．
∴m的值为6．
17．旋转是一种常用的几何变换，在平面几何中有着广泛的应用．它是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针方向旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换，其目的是在条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变换使之集中，为我们解决问题提供一条解题途径．
（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB上的一点，AD＝49，BD＝29，且四边形FDEC是正方形，求阴影部分的面积．
已知条件中只给出了两个直角三角形的斜边AD、BD的长度，直接分别计算两个三角形的面积来求阴影部分的面积有点困难，一起来看看小明的解决方法吧！小明运用图形旋转的方法，将Rt△DBE绕点D逆时针旋转90°，得到Rt△DGF如图（2）所示，这时，可证△ADG是直角三角形，利用直角三角形算出阴影部分的面积是49×29．你能说一下小明这样做的理由并给出说理过程吗？
（2）请你用小明的方法解决下面的问题：如图（3），在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，连接AE．如果AB＝2，DC＝4，求△ABE的面积．
【分析】（1）由正方形的性质得DF＝DE，∠EDF＝∠DEC＝∠DFC＝90°，则∠AFD＝∠BED＝90°，由旋转得∠DFG＝∠DEB＝90°，∠GDF＝∠BDE，GD＝BD＝29，可证∠ADG＝90°，则S阴影＝S△ADF+S△BDE＝S△ADG，于是得到问题的答案；
（2）作BK⊥CD于点K，EL⊥AB交AB的延长线于点L，因为AB⊥AD，CD⊥AD，所以∠BAD＝∠D＝∠BKD＝90°，则四边形ABKD是矩形，得DK＝AB＝2，∠LBK＝90°，所以CK＝2，由旋转得∠CBE＝90°，BE＝BC，则∠EBL＝∠CBK＝90°﹣∠CBL，可证明△EBL≌△CBK，得EL＝CK＝2，求得S△ABEAB EL＝2．
【解答】解：（1）理由如下：
如图（1）、图（2），
∵四边形DECF是正方形，
∴DF＝DE，∠EDF＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴∠AFD＝∠BED＝90°，
由旋转得∠DFG＝∠DEB＝90°，∠GDF＝∠BDE，GD＝BD＝29，
∴∠ADG＝∠ADF+∠GDF＝∠ADF+∠BDE＝90°，
∵∠AFD+∠GFD＝180°，
∴A、F、G三点在同一条直线上，
∵AD＝49，
∴S阴影＝S△ADF+S△BDE＝S△ADF+S△GDF＝S△ADG49×29；
（2）如图，作BK⊥CD于点K，EL⊥AB交AB的延长线于点L，
则∠L＝∠BKC＝90°，
∵AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2，DC＝4，
∴∠BAD＝∠D＝∠BKD＝90°，
∴四边形ABKD是矩形，
∴DK＝AB＝2，∠LBK＝∠ABK＝90°，
∴CK＝DC﹣DK＝4﹣2＝2，
由旋转得∠CBE＝90°，BE＝BC，
∴∠EBL＝∠CBK＝90°﹣∠CBL，
在△EBL和△CBK中，
，
∴△EBL≌△CBK（AAS），
∴EL＝CK＝2，
∴S△ABEAB EL2×2＝2，
∴△ABE的面积是2．
18．玉溪新平县哀牢山出产的“褚橙”以含大量维生素C、营养价值高、高糖低酸、味甜清香而著称．某水果商以每千克30元的价格批发了一批“褚橙”，再按每千克40元的价格到市区销售，平均每天可售出60千克，经调查发现：如果每千克该“褚橙”的售价每降低1元，那么该水果商平均每天的销售量会增加10千克，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售，设该“褚橙”每千克的价格降低x元．
（1）降价后，该水果商每天的销售量为 （60+10x） 千克；（用含x的代数式表示）
（2）若该水果商销售该“褚橙”每天盈利630元，每千克“褚橙”的售价应降至多少元？
（3）若x满足1≤x≤6，求该水果商每天销售该“褚橙”的最低利润．
【分析】（1）根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低x元，则可增加10x斤，则可求解；
（2）根据每天盈利630元位等量关系建立等式，解出x的值即可求解；
（3）设每天盈利y元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得．
【解答】解：（1）∵按每斤25元价格到市区销售，平均每天可售出60斤，如果每斤水果的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，
∴将水果每斤的价格降低x元，则每天的销售量为（60+10x）斤．
故答案为：（60+10x）；
（2）依题意得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630，
整理得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
又∵为了尽快减少库存，
∴x＝3，
∴25﹣x＝22．
答：每斤水果的售价应降至22元；
（3）设水果每天获得的利润为y元，
根据题意得：y＝（40﹣30﹣x）（60+10x）＝﹣10x2+40x+600＝﹣10（x﹣2）2+640，
∵1≤x≤6，﹣10＜0，
当x＝6时，y有最小值，最小值为﹣10（6﹣2）2+640＝480，
∴水果的最低利润为480元．
19．请阅读以下材料，并解决下列问题：
调查主题 某中学八年级学生的春游需求
调查人员 该中学数学兴趣小组
调查方法 抽样调查
背景介绍
某中学计划组织八年级学生前往5个武汉市景点中的1个开展春游活动，这5个景点为：A．黄鹤楼；B．晴川阁；C．东湖；D．省博；E．园博园．该中学数学兴趣小组针对八年级学生的意向目的地开展抽样调查并出具如下调查报告（注：每位被抽样调查的学生选择且只选择1个意向前往的景点）．
报告内容（说明：以下仅展示部分内容）
（1）求本次被抽样调查的学生人数．
（2）在扇形统计图中，求“A．黄鹤楼”对应的圆心角度数．
（3）该校八年级学生人数为500人，估计八年级意向前往“E．园博园”的学生人数．
【分析】（1）本次被抽样调查的学生人数为：15÷15%＝100（人）；
（2）“A．黄鹤楼”对应的圆心角度数：360×30%，计算即可；
（3）估计意向前往“E．园博园”的学生人数为：（人）．
【解答】解：（1）15÷15%＝100（人），
答：本次被抽样调查的学生人数为100人．
（2）“A．黄鹤楼”对应的圆心角度数：360×30%＝108°，
答：“A．黄鹤楼”对应的圆心角度数为108°．
（3）（人），
答：估计意向前往“E．园博园”的学生人数为65人．
20．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）如图2，若P是线段OA上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交AC于点N，设点P的横坐标为t，△ACH的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作直线PQ∥BC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标；
（2）求出直线AC的函数解析式，用含t的式子表示出点N、H的坐标，得出NH，再根据求出S关于t的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解；
（3）求出B点坐标，得到OB的长，再分CQ∥BP、点P在点A的左侧，CP∥BQ和当点P点A的右侧，CP∥BQ三种情况，画出图形解答即可求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和B，与y轴交于点C（0，3），把点A，点C的坐标代入代入y＝ax2﹣2x+c得：
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，把点A，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+3，
把x＝t代入y＝x+3得：y＝t+3，
∴点N的坐标为（t，t+3），
∵点P的横坐标为t，
∴PH∥y轴，
∴点H的横坐标为t，
∴点H的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），
∴HN＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为；
（3）在x轴上存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形；理由如下：
把y＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3得，0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），
∴OB＝1，
如图1，当CQ∥BP时，四边形BCQP为平行四边形，
∴CQ＝PB，
把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得，﹣x2﹣2x+3＝3，
解得x1＝0，x2＝﹣2，
∴Q（﹣2，3），
∴CQ＝2，
∴BP＝2，
∴OP＝2﹣1＝1，
∴P（﹣1，0）；
如图2，当点P在点A的左侧，CP∥BQ时，四边形BCPQ是平行四边形，
过点Q作QM⊥x轴于M，则∠QMP＝∠COB＝90°，
∵四边形BCPQ是平行四边形，
∴PQ＝BC，PQ∥BC，
∴∠QPM＝∠CBO，
∴△QPM≌△CBO（AAS），
∴MP＝OB＝1，MQ＝OC＝3，
∴点Q的纵坐标为﹣3，
把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得，﹣3＝﹣x2﹣2x+3，
解得，（不符合，舍去），
∴点P的横坐标为，
∴；
如图3，当点P在点A的右侧，CP∥BQ时，四边形BCPQ是平行四边形，
过点Q作QN⊥x轴于N，则∠QNP＝∠COB＝90°，
同理可得；
综上，点P的坐标为（﹣1，0）或或．
21．如图1，某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8米，桥拱顶点B到水面的距离是4米．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？
（3）如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移n（n＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）由图象可知抛物线的对称轴为直线，抛物线经过原点（0，0），将原点坐标代入函数解析式即可求得a的值；
（2）根据题意求出y＝2.26+0.3＝2.56时，所对应的x之间的距离，也就是小船的最大宽度；
（3）根据平移规律得到点O平移后的对应点为（n，0），对称轴平移后的对称轴为x＝4+n，点A平移后的对应点为（8+n，0），根据图象性质，得到函数在n→4+n上，满足y随x的增大而减小，列出不等式组或8+n≤8，求解集即可．
【解答】解：（1）∵OA＝8，且点A在x轴上，
∴A（8，0），
根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线，
∴顶点B（4，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
把原点（0，0）代入得0＝a（0﹣4）2+4，
解得，
∴此二次函数的表达式y（x﹣4）2+4（0≤x≤8）；
（2）∵二次函数的表达式，
令y＝2.26+0.3＝2.56得：
，
解得：x1＝6.4，x2＝1.6，
6.4﹣1.6＝4.8（米），
答：小船的最大宽度是4.8米；
（3）根据平移规律得到点O平移后的对应点为（n，0），对称轴平移后的对称轴为x＝4+n，点A平移后的对应点为（8+n，0），如图：
根据图象性质，得到当n≤x≤n+4或8+n≤x时y随x的增大而减小，
∵平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，
∴或8+n≤8，
解得5≤n≤8或n≤0（不合题意，舍去），
故n的取值范围是5≤n≤8．
