北京市第十四中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷
1．（2025高三上·北京月考）已知全集，集合，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025高三上·北京月考）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025高三上·北京月考）若圆截直线所得弦长为2，则（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
4．（2025高三上·北京月考）在的展开式中，的系数为（ ）．
A． B．8 C． D．48
5．（2025高三上·北京月考）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高三上·北京月考）在中，若，则的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2025高三上·北京月考）已知为等差数列，，．若数列满足，记的前n项和为，则（ ）．
A． B． C． D．
8．（2025高三上·北京月考）在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2025高三上·北京月考）在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高三上·北京月考）如图，在正方体中，点Q是棱上的动点，下列说法中错误的是（ ）．
①存在点Q，使得；
②存在点Q，使得；
③对于任意点Q，Q到的距离为定值；
④存在点Q，是锐角三角形．
A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④
11．（2025高三上·北京月考）已知双曲线，则C的焦点到其渐近线的距离为 ．
12．（2025高三上·北京月考）是等边三角形，点D在边的延长线上，且，，则 ； .
13．（2025高三上·北京月考）设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为 .
14．（2025高三上·北京月考）设函数，若，则的单调递减区间是 ；若的值域为，则的取值范围是 .
15．（2025高三上·北京月考）对于数列，令，给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则；
③若对任意的，都有，则有；
④存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立．
其中所有正确结论的序号是 ．
16．（2025高三上·北京月考）如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．
（1）求证：∥平面；
（2）若平面，求：
（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）点D到平面的距离．
17．（2025高三上·北京月考）已知函数，其中.请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并解答下列问题.
条件①：；
条件②：最大值为；
条件③：在区间上单调，且最大值为；
（1）求函数的对称中心；
（2）若方程在区间内有且仅有1个实根，求m的取值范围.
18．（2025高三上·北京月考）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：
12月 1月 2月 3月 4月 5月
轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0
MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4
SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5
（1）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；
（2）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望；
（3）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
19．（2025高三上·北京月考）已知椭圆过点和.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.
20．（2025高三上·北京月考）已知函数，．
（1）求曲线在处切线的斜率；
（2）求函数的极大值；
（3）设，当时，求函数的零点个数．并说明理由．
21．（2025高三上·北京月考）对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．
（1）写出集合和；
（2）证明：对任意，存在，使得；
（3）设集合求证：中的元素个数是完全平方数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，
又，
．
故答案为：C．
【分析】先解不等式取整数部分得到集合，结合补集的概念计算求解．
2．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，在复平面内对应的点，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得，结合复数的几何意义求解即可.
3．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：配方得，
圆心为，半径，
设圆心到直线距离为，
，
圆截直线所得弦长为，
，解得，
，解得．
故答案为：D．
【分析】先将圆的方程标准化以提取圆心、半径这两个核心参数，再通过点线距离公式算出圆心到直线的垂线段长度，最后借助弦长与半径、垂线段的几何关系列方程求解.
4．【答案】A
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项公式为，
令，解得，
，
的系数为．
故答案为：A．
【分析】代入通项公式，令4-2k=32，求出k值，代入通项公式可求的系数．
5．【答案】C
【知识点】函数的图象；不等式的解集
【解析】【解答】解： 不等式 ，即，即，
，观察可得方程组的解为或，
同一直角坐标系中，作出的图像，如图所示：
由图可知，不等式的解集是.
故答案为：.
【分析】 不等式 即，同一直角坐标系中，作出的图像，数形结合求解即可.
6．【答案】D
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由余弦定理得，代入，得
，联立化简得，
解得或（舍去），故，
，则，
故.
故选：D.
【分析】结合余弦定理得，联立方程组解出值，求出，代入面积公式可得答案.
7．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：为等差数列，，设公差为，
，
，解得，
，
，
，即是首项，公差是的等差数列，
，，
，故C正确．
故答案为：C．
【分析】 代入的通项公式，可得d，得等差数列通项公式由递推关系求出的通项公式，利用，可得．
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两向量的和或差的模的最值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，若，则，
，
即，
对于任意恒成立，设，
则需满足时，；时，；
是一次函数，连续，即，
，即，
又，
，
，故，即，是直角三角形，满足必要性；
若为直角三角形，直角可能是或，
若或时，不满足对于任意恒成立，不满足充分性，
“为直角三角形”是“对于任意，”的必要不充分条件，故B正确．
故答案为：B．
【分析】：原不等式可化为，即，构造函数，利用一次函数的性质得出，得为直角三角形；：利用直角位置不固定得出充分性不成立．
9．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，
则，直线所在直线方程为，
设，，则，，
，
当时，，当时，，
故其取值范围为，
故答案为：B.
【分析】建系，可得直线方程为，设P坐标，得到，转化为一元二次函数求最值.
10．【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，设，其中，
所以，，
①、若，则存在实数使得，
则，无解，该项错误，不合题意；
②、若，则，解得，该项正确，符合题意；
③、，点到的距离为，
不是定值，该项错误，不合题意；
④、，，
所以，
所以为直角三角形或钝角三角形，该选项错误，不合题意.
故答案为：D.
【分析】建立空间直角坐标系，求点、直线的方向向量坐标，平面的法向量坐标可判断①；代入向量数量积得0可判断②；代入点到线距离公式可判断③；代入线面角可判断④.
11．【答案】2
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线，即，
，即，
双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，
双曲线的焦点到任意一条渐近线的距离相等，取焦点和渐近线，
焦点到渐近线的距离，
故答案为：2．
【分析】将双曲线方程标准化，并写出，求出渐近线方程及焦点，代入点到直线距离公式求解．
12．【答案】；
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：如图所示，等边中，，所以，
又因为，所以，
即，解得，所以；
由，即，解得.
故答案为：；.
【分析】作出图形，由题意可得，在中，利用余弦定理求，即可得，再在中，利用正弦定理可求解即可.
13．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题，焦点为，准线为，则圆的半径，
所以圆的方程为，
故答案为：.
【分析】由抛物线几何特征得准线为，焦点，再结合直线与圆的位置关系可得.
14．【答案】，；
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：依题意，当时，，显然在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递减区间是，；
由于在上的值域为，要的值域为，
则当且仅当在上的值域包含，
则有，即，此时在上的值域为，
因此，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：，；
【分析】将代入得解析式，得各段单调性，可求上的值域，结合题意的值域为，只需在时上的值域包含，由二次函数性质可解.
15．【答案】①③
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：①、，，该项正确，符合题意；
②、，令，则，当时，，
则，，因此，该项错误，不合题意；
③、由，得，
当时，，则当时，，
因此
，.
当时，，所以对任意的，都有成立，该选项正确，符合题意，
④、假设存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立，
则必有，且都是非负整数，令正整数，
于是，
则，，与矛盾，该项错误，不合题意；
故答案为：①③
【分析】将各项代入得，项的特征符合并项求和法，可判断①；代入前n项和与第n项的关系得，可判断②；由，得，可得可判断③；假设存在，则必有于是得出矛盾可判断④.
16．【答案】（1）证明：在射线上取点，使，连接，如图所示：
易知，四边形为平行四边形，且，
因为四边形为平行四边形，所以且，所以且.，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：（i）因为平面，平面，所以，
又因为，所以，，两两相互垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，
设平面的法向量为，则，即，令，则，可得，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（ii）因为，所以直线与平面所成角的正弦值为，
则点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）在射线上取点，使，连接，证明四边形为平行四边形，推出，再利用根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）先证明，，两两相互垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，利用空间向量法求解即可；
（3）根据（2）的结论，利用求解即可.
（1）如图，在射线上取点，使，连接.
由题设，得，所以四边形为平行四边形.
所以且.
又四边形为平行四边形，
所以且.
所以且..
所以四边形为平行四边形，
所以.
因为平面平面
所以平面.
（2）（i）因为平面，平面，
所以.又，
所以，，两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系，
则.所以.
设平面的法向量为，则
即
令，则.于是.
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（ii）因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
所以点到平面的距离为
17．【答案】（1）解：，
若选②，，解得或，
当时，，当时，，
因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选；
于是选条件①③，由①知，，解得，，
由③知，函数的最小正周期为，即，解得，，函数唯一确定，
由，得，
所以函数的对称中心为；
（2）解：由（1）知，，由，得，
当时，，
由题意可知：在内有且仅有1个实根，
则，解得，
所以m的取值范围是.
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先利用余弦的二倍角，结合两角差的余弦公式化简函数，选②根据辅助角公式求最大值，根据最大值为 求得的两个值，两个对应两个不同的函数，不符合题意，联立条件①③求出函数式，再根据正弦函数性质求对称中心即可；
（2）由（1）知，，确定函数相位的范围，由零点情况列式求范围即可.
（1）依题意，，
若选②，，解得或，
当时，，当时，，
因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选；
于是选条件①③，由①知，，解得，，
由③知，函数的最小正周期为，即，解得，，函数唯一确定，
由，得，
所以函数的对称中心为.
（2）由（1）知，，由，得，
当时，，依题意，在内有且仅有1个实根，
则，解得，
所以m的取值范围是.
18．【答案】（1）解：这6个月MPV车型月度零售销量平均值为
故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月，
所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，
该月MPV零售销量超过的概率为.
（2）解：从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，
所以的所有可能取值为，
则，
所以的分布列为
0 1 2
故的数学期望.
（3）解：依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为，
其平均值为，
所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为，
所以，
同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为，
其平均值为，
所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为，
所以，
故.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；离散型随机变量的方差
【解析】【分析】（1）由题意可得6个月MPV车型月度零售销量平均值，再找出再销量超过的月份，从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，代入古典概型的概率公式可解；
（2）由SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，求得的所有可能取值，代入古典概型的概率公式求，列表，代入公式可得数学期望；
（3）求出月度零售销量平均值、轿车各月度零售销量与平均值的差代入方差公式，即可.
（1）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为
故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月，
所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，
该月MPV零售销量超过的概率为.
（2）从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，
所以的所有可能取值为，
则，
所以的分布列为
0 1 2
故的数学期望.
（3）依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为，
其平均值为，
所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为，
所以，
同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为，
其平均值为，
所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为，
所以，
故.
19．【答案】（1）解：将点坐标代入椭圆的方程，得解得，所以椭圆的方程为：
（2）解：若直线的斜率不存在，即直线为时，和重合，和点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时，符合题意.
若直线斜率存在，设直线的方程为，且，联立方程得，，即或
，所以直线的方程为，取得，同理可得
由得，即，所以，即，即
即，因为，所以得，即，经检验符合题意，此时直线为
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意可得 求解出a，b，即可得出椭圆E的方程；
(2)直线的斜率不存在时， 分别为椭圆的上下顶点 ，验证是否满足 即可得出直线的方程直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 且，直线的方程代入椭圆方程化为： ，求出 或，可得直线PA的方程为 ， 取得yM，同理可得yN ，根据， 结合根与系数的关系即可求出直线的方程.
20．【答案】（1）解：由，知，即切点
求导，则切线的斜率
所以曲线在处切线的斜率为.
（2）解：函数的定义域为，求导，
令，得
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
故当时，函数取得极大值
所以函数的极大值为
（3）解：函数，求导，
当时，，故函数在上单调递增，
又，，所以方程在有且仅有一个根，
即函数在有一个零点.
当时，讨论函数的零点个数，即讨论方程的根的个数，
即讨论方程的根的个数，即讨论函数与的交点个数，
求导，令，得或
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
又，，又，所以函数与没有交点，
即函数在上无零点.
综上可知，当时，求函数的零点个数为个.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义先求导数，求出切点，得到切线的斜率，可求解；
（2）利用导数研究函数的单调性，求导，令、可得单调区间，可求得极值；
（3）先讨论时，函数的零点个数，再讨论时，利用零点定义将已知转化为讨论函数与图象的交点个数，研究函数的单调性及最值即可得解.
（1）由，知，即切点
求导，则切线的斜率
所以曲线在处切线的斜率为.
（2）函数的定义域为，求导，
令，得
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
故当时，函数取得极大值
所以函数的极大值为
（3）函数，求导，
当时，，故函数在上单调递增，
又，，所以方程在有且仅有一个根，
即函数在有一个零点.
当时，讨论函数的零点个数，即讨论方程的根的个数，
即讨论方程的根的个数，即讨论函数与的交点个数，
求导，令，得或
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
又，，又，所以函数与没有交点，
即函数在上无零点.
综上可知，当时，求函数的零点个数为个.
21．【答案】（1）解：，．
（2）证明：对任意，设，则均为非负整数，且．
令，则，
所以，且．
（3）证明：对任意，，
记，则，，…，均为非负整数，
且，
所以，且，．设集合中的元素个数为，设．
设集合．对任意，都有，，…，，且，．所以．
若，其中，，
设，因为，所以，
记，则，所以，并且有，所以，所以．所以．
因为集合中的元素个数为，所以中的元素个数为，是完全平方数．
【知识点】集合的表示方法；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据集合、的定义，枚举所有满足和为指定值的非负整数组；
（2）通过构造法，对中任意元素构造对应的中元素，证明其满足；
（3）通过建立元素与自身的组合关系，证明的元素个数为完全平方数.
（1），．
（2）对任意，设，
则均为非负整数，且．
令，则，所以，且．
（3）对任意，，
记，则，，…，均为非负整数，
且，
所以，且，．
设集合中的元素个数为，设．
设集合．
对任意，都有，，…，，
且，．所以．
若，其中，，
设，因为，所以，
记，则，
所以，并且有，所以，所以．所以．
因为集合中的元素个数为，所以中的元素个数为，是完全平方数．
1 / 1北京市第十四中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷
1．（2025高三上·北京月考）已知全集，集合，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，
又，
．
故答案为：C．
【分析】先解不等式取整数部分得到集合，结合补集的概念计算求解．
2．（2025高三上·北京月考）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，在复平面内对应的点，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得，结合复数的几何意义求解即可.
3．（2025高三上·北京月考）若圆截直线所得弦长为2，则（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：配方得，
圆心为，半径，
设圆心到直线距离为，
，
圆截直线所得弦长为，
，解得，
，解得．
故答案为：D．
【分析】先将圆的方程标准化以提取圆心、半径这两个核心参数，再通过点线距离公式算出圆心到直线的垂线段长度，最后借助弦长与半径、垂线段的几何关系列方程求解.
4．（2025高三上·北京月考）在的展开式中，的系数为（ ）．
A． B．8 C． D．48
【答案】A
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项公式为，
令，解得，
，
的系数为．
故答案为：A．
【分析】代入通项公式，令4-2k=32，求出k值，代入通项公式可求的系数．
5．（2025高三上·北京月考）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；不等式的解集
【解析】【解答】解： 不等式 ，即，即，
，观察可得方程组的解为或，
同一直角坐标系中，作出的图像，如图所示：
由图可知，不等式的解集是.
故答案为：.
【分析】 不等式 即，同一直角坐标系中，作出的图像，数形结合求解即可.
6．（2025高三上·北京月考）在中，若，则的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由余弦定理得，代入，得
，联立化简得，
解得或（舍去），故，
，则，
故.
故选：D.
【分析】结合余弦定理得，联立方程组解出值，求出，代入面积公式可得答案.
7．（2025高三上·北京月考）已知为等差数列，，．若数列满足，记的前n项和为，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：为等差数列，，设公差为，
，
，解得，
，
，
，即是首项，公差是的等差数列，
，，
，故C正确．
故答案为：C．
【分析】 代入的通项公式，可得d，得等差数列通项公式由递推关系求出的通项公式，利用，可得．
8．（2025高三上·北京月考）在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两向量的和或差的模的最值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，若，则，
，
即，
对于任意恒成立，设，
则需满足时，；时，；
是一次函数，连续，即，
，即，
又，
，
，故，即，是直角三角形，满足必要性；
若为直角三角形，直角可能是或，
若或时，不满足对于任意恒成立，不满足充分性，
“为直角三角形”是“对于任意，”的必要不充分条件，故B正确．
故答案为：B．
【分析】：原不等式可化为，即，构造函数，利用一次函数的性质得出，得为直角三角形；：利用直角位置不固定得出充分性不成立．
9．（2025高三上·北京月考）在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，
则，直线所在直线方程为，
设，，则，，
，
当时，，当时，，
故其取值范围为，
故答案为：B.
【分析】建系，可得直线方程为，设P坐标，得到，转化为一元二次函数求最值.
10．（2025高三上·北京月考）如图，在正方体中，点Q是棱上的动点，下列说法中错误的是（ ）．
①存在点Q，使得；
②存在点Q，使得；
③对于任意点Q，Q到的距离为定值；
④存在点Q，是锐角三角形．
A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④
【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，设，其中，
所以，，
①、若，则存在实数使得，
则，无解，该项错误，不合题意；
②、若，则，解得，该项正确，符合题意；
③、，点到的距离为，
不是定值，该项错误，不合题意；
④、，，
所以，
所以为直角三角形或钝角三角形，该选项错误，不合题意.
故答案为：D.
【分析】建立空间直角坐标系，求点、直线的方向向量坐标，平面的法向量坐标可判断①；代入向量数量积得0可判断②；代入点到线距离公式可判断③；代入线面角可判断④.
11．（2025高三上·北京月考）已知双曲线，则C的焦点到其渐近线的距离为 ．
【答案】2
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线，即，
，即，
双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，
双曲线的焦点到任意一条渐近线的距离相等，取焦点和渐近线，
焦点到渐近线的距离，
故答案为：2．
【分析】将双曲线方程标准化，并写出，求出渐近线方程及焦点，代入点到直线距离公式求解．
12．（2025高三上·北京月考）是等边三角形，点D在边的延长线上，且，，则 ； .
【答案】；
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：如图所示，等边中，，所以，
又因为，所以，
即，解得，所以；
由，即，解得.
故答案为：；.
【分析】作出图形，由题意可得，在中，利用余弦定理求，即可得，再在中，利用正弦定理可求解即可.
13．（2025高三上·北京月考）设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题，焦点为，准线为，则圆的半径，
所以圆的方程为，
故答案为：.
【分析】由抛物线几何特征得准线为，焦点，再结合直线与圆的位置关系可得.
14．（2025高三上·北京月考）设函数，若，则的单调递减区间是 ；若的值域为，则的取值范围是 .
【答案】，；
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：依题意，当时，，显然在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递减区间是，；
由于在上的值域为，要的值域为，
则当且仅当在上的值域包含，
则有，即，此时在上的值域为，
因此，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：，；
【分析】将代入得解析式，得各段单调性，可求上的值域，结合题意的值域为，只需在时上的值域包含，由二次函数性质可解.
15．（2025高三上·北京月考）对于数列，令，给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则；
③若对任意的，都有，则有；
④存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：①、，，该项正确，符合题意；
②、，令，则，当时，，
则，，因此，该项错误，不合题意；
③、由，得，
当时，，则当时，，
因此
，.
当时，，所以对任意的，都有成立，该选项正确，符合题意，
④、假设存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立，
则必有，且都是非负整数，令正整数，
于是，
则，，与矛盾，该项错误，不合题意；
故答案为：①③
【分析】将各项代入得，项的特征符合并项求和法，可判断①；代入前n项和与第n项的关系得，可判断②；由，得，可得可判断③；假设存在，则必有于是得出矛盾可判断④.
16．（2025高三上·北京月考）如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．
（1）求证：∥平面；
（2）若平面，求：
（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）点D到平面的距离．
【答案】（1）证明：在射线上取点，使，连接，如图所示：
易知，四边形为平行四边形，且，
因为四边形为平行四边形，所以且，所以且.，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：（i）因为平面，平面，所以，
又因为，所以，，两两相互垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，
设平面的法向量为，则，即，令，则，可得，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（ii）因为，所以直线与平面所成角的正弦值为，
则点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）在射线上取点，使，连接，证明四边形为平行四边形，推出，再利用根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）先证明，，两两相互垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，利用空间向量法求解即可；
（3）根据（2）的结论，利用求解即可.
（1）如图，在射线上取点，使，连接.
由题设，得，所以四边形为平行四边形.
所以且.
又四边形为平行四边形，
所以且.
所以且..
所以四边形为平行四边形，
所以.
因为平面平面
所以平面.
（2）（i）因为平面，平面，
所以.又，
所以，，两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系，
则.所以.
设平面的法向量为，则
即
令，则.于是.
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（ii）因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
所以点到平面的距离为
17．（2025高三上·北京月考）已知函数，其中.请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并解答下列问题.
条件①：；
条件②：最大值为；
条件③：在区间上单调，且最大值为；
（1）求函数的对称中心；
（2）若方程在区间内有且仅有1个实根，求m的取值范围.
【答案】（1）解：，
若选②，，解得或，
当时，，当时，，
因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选；
于是选条件①③，由①知，，解得，，
由③知，函数的最小正周期为，即，解得，，函数唯一确定，
由，得，
所以函数的对称中心为；
（2）解：由（1）知，，由，得，
当时，，
由题意可知：在内有且仅有1个实根，
则，解得，
所以m的取值范围是.
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先利用余弦的二倍角，结合两角差的余弦公式化简函数，选②根据辅助角公式求最大值，根据最大值为 求得的两个值，两个对应两个不同的函数，不符合题意，联立条件①③求出函数式，再根据正弦函数性质求对称中心即可；
（2）由（1）知，，确定函数相位的范围，由零点情况列式求范围即可.
（1）依题意，，
若选②，，解得或，
当时，，当时，，
因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选；
于是选条件①③，由①知，，解得，，
由③知，函数的最小正周期为，即，解得，，函数唯一确定，
由，得，
所以函数的对称中心为.
（2）由（1）知，，由，得，
当时，，依题意，在内有且仅有1个实根，
则，解得，
所以m的取值范围是.
18．（2025高三上·北京月考）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：
12月 1月 2月 3月 4月 5月
轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0
MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4
SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5
（1）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；
（2）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望；
（3）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）解：这6个月MPV车型月度零售销量平均值为
故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月，
所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，
该月MPV零售销量超过的概率为.
（2）解：从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，
所以的所有可能取值为，
则，
所以的分布列为
0 1 2
故的数学期望.
（3）解：依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为，
其平均值为，
所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为，
所以，
同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为，
其平均值为，
所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为，
所以，
故.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；离散型随机变量的方差
【解析】【分析】（1）由题意可得6个月MPV车型月度零售销量平均值，再找出再销量超过的月份，从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，代入古典概型的概率公式可解；
（2）由SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，求得的所有可能取值，代入古典概型的概率公式求，列表，代入公式可得数学期望；
（3）求出月度零售销量平均值、轿车各月度零售销量与平均值的差代入方差公式，即可.
（1）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为
故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月，
所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，
该月MPV零售销量超过的概率为.
（2）从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，
所以的所有可能取值为，
则，
所以的分布列为
0 1 2
故的数学期望.
（3）依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为，
其平均值为，
所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为，
所以，
同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为，
其平均值为，
所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为，
所以，
故.
19．（2025高三上·北京月考）已知椭圆过点和.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.
【答案】（1）解：将点坐标代入椭圆的方程，得解得，所以椭圆的方程为：
（2）解：若直线的斜率不存在，即直线为时，和重合，和点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时，符合题意.
若直线斜率存在，设直线的方程为，且，联立方程得，，即或
，所以直线的方程为，取得，同理可得
由得，即，所以，即，即
即，因为，所以得，即，经检验符合题意，此时直线为
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意可得 求解出a，b，即可得出椭圆E的方程；
(2)直线的斜率不存在时， 分别为椭圆的上下顶点 ，验证是否满足 即可得出直线的方程直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 且，直线的方程代入椭圆方程化为： ，求出 或，可得直线PA的方程为 ， 取得yM，同理可得yN ，根据， 结合根与系数的关系即可求出直线的方程.
20．（2025高三上·北京月考）已知函数，．
（1）求曲线在处切线的斜率；
（2）求函数的极大值；
（3）设，当时，求函数的零点个数．并说明理由．
【答案】（1）解：由，知，即切点
求导，则切线的斜率
所以曲线在处切线的斜率为.
（2）解：函数的定义域为，求导，
令，得
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
故当时，函数取得极大值
所以函数的极大值为
（3）解：函数，求导，
当时，，故函数在上单调递增，
又，，所以方程在有且仅有一个根，
即函数在有一个零点.
当时，讨论函数的零点个数，即讨论方程的根的个数，
即讨论方程的根的个数，即讨论函数与的交点个数，
求导，令，得或
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
又，，又，所以函数与没有交点，
即函数在上无零点.
综上可知，当时，求函数的零点个数为个.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义先求导数，求出切点，得到切线的斜率，可求解；
（2）利用导数研究函数的单调性，求导，令、可得单调区间，可求得极值；
（3）先讨论时，函数的零点个数，再讨论时，利用零点定义将已知转化为讨论函数与图象的交点个数，研究函数的单调性及最值即可得解.
（1）由，知，即切点
求导，则切线的斜率
所以曲线在处切线的斜率为.
（2）函数的定义域为，求导，
令，得
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
故当时，函数取得极大值
所以函数的极大值为
（3）函数，求导，
当时，，故函数在上单调递增，
又，，所以方程在有且仅有一个根，
即函数在有一个零点.
当时，讨论函数的零点个数，即讨论方程的根的个数，
即讨论方程的根的个数，即讨论函数与的交点个数，
求导，令，得或
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
又，，又，所以函数与没有交点，
即函数在上无零点.
综上可知，当时，求函数的零点个数为个.
21．（2025高三上·北京月考）对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．
（1）写出集合和；
（2）证明：对任意，存在，使得；
（3）设集合求证：中的元素个数是完全平方数．
【答案】（1）解：，．
（2）证明：对任意，设，则均为非负整数，且．
令，则，
所以，且．
（3）证明：对任意，，
记，则，，…，均为非负整数，
且，
所以，且，．设集合中的元素个数为，设．
设集合．对任意，都有，，…，，且，．所以．
若，其中，，
设，因为，所以，
记，则，所以，并且有，所以，所以．所以．
因为集合中的元素个数为，所以中的元素个数为，是完全平方数．
【知识点】集合的表示方法；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据集合、的定义，枚举所有满足和为指定值的非负整数组；
（2）通过构造法，对中任意元素构造对应的中元素，证明其满足；
（3）通过建立元素与自身的组合关系，证明的元素个数为完全平方数.
（1），．
（2）对任意，设，
则均为非负整数，且．
令，则，所以，且．
（3）对任意，，
记，则，，…，均为非负整数，
且，
所以，且，．
设集合中的元素个数为，设．
设集合．
对任意，都有，，…，，
且，．所以．
若，其中，，
设，因为，所以，
记，则，
所以，并且有，所以，所以．所以．
因为集合中的元素个数为，所以中的元素个数为，是完全平方数．
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