广东省惠州市2026届高三上学期第二次调研考试数学试题
1．（2026高三上·惠州期末）复数（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高三上·惠州期末）已知集合，，则
A． B． C． D．
3．（2026高三上·惠州期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2026高三上·惠州期末）设函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．在单调递增 D．在单调递减
5．（2026高三上·惠州期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026高三上·惠州期末）已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
7．（2026高三上·惠州期末）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
8．（2026高三上·惠州期末）在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2026高三上·惠州期末）已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2026高三上·惠州期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率
B．的最小值为
C．若，则的周长为
D．双曲线上存在不同两点关于点对称
11．（2026高三上·惠州期末）已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2026高三上·惠州期末）已知向量，，若，则 .
13．（2026高三上·惠州期末）已知函数，若，则 .
14．（2026高三上·惠州期末）一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有 种.
15．（2026高三上·惠州期末）已知函数，，且.
（1）求的对称中心；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.设为角终边上的一点，求.
16．（2026高三上·惠州期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
17．（2026高三上·惠州期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记，分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且.
（1）求；
（2）若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；
（3）经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望.
附：若，则，
，.
18．（2026高三上·惠州期末）已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程；
（3）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值 若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由.
19．（2026高三上·惠州期末）已知函数的最小值为0，其中．
（1）求的值；
（2）若对任意的，有成立，求实数的最小值；
（3）证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据复数的乘除法运算法则，从而化简得出复数.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解方程，
可得，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程得出集合A，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，则，但，即充分性不成立；
若，则，即，即必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】若，得判断充分性不成立，由，可得，即判断必要性成立，根据充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：对于A、B，因为函数定义域为，故选项A和选项B错误；
对于C、D，由复合函数的单调性，
知在上单调递增，且在上单调递增，
则在单调递增，故选项C正确、选项D错误.
故答案为：C.
【分析】先根据对数型函数的定义域和交集的运算法则，则判断出选项A和选项B；再结合对数型函数的单调性，即同增异减，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
5．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，三棱锥的体积等于圆锥的体积，
则圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，
所以圆锥的底面周长为，
则圆锥的底面半径为1，母线为3，
所以圆锥的高为，
则圆锥的体积，
则所求三棱锥的体积为.
故答案为：A.
【分析】由题意可知三棱锥的体积等于圆锥的体积，则圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，再利用扇形的弧长公式得出圆锥的底面周长，再根据勾股定理和圆锥的侧面展开图得出圆锥的高和底面半径，再利用圆锥的体积公式得出圆锥的体积，从而推算出三棱锥的体积．
6．【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的准线为：，
过，作准线的垂线，垂足为，，的中点为，
过作准线的垂线，垂足为，
因为，是该抛物线上的两点，
所以，，
则，
又因为为梯形的中位线，
所以，
则点到轴的距离为.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的定义和两点距离公式，再结合梯形中位线的性质和点到直线的距离公式，从而得出线段的中点到轴的距离.
7．【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由，
两式相减得，
则，
由，
两式相减得，
由，
得，
则数列为以14为首项，8为公差的等差数列，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用的关系式，两式相减得出，再利用递推公式，两式相减可得，再根据等差数列的定义判断出数列为以14为首项，8为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式得出，从而赋值得出的值.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，
得，
由正弦定理，则（为外接圆半径），
得，
因为，
所以，
若，
由余弦定理，得，
所以，角为锐角，
则，
所以，
因为，，
所以，
则，与已知矛盾，
所以，
则，
所以，
则，
又因为，，
所以（当且仅当时，取“＝”），
则的最小值为4.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式，从而化简已知条件得出，再由正弦定理得出，若，利用余弦定理结合已知条件判断出矛盾，则，从而得出角A的值，再利用三角形的面积公式和已知条件得出bc的值，再根据基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
9．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
又因为是正项等比数列，所以，
可得，
解得，故A正确；
因为数列的通项公式为，故B正确；
则，故C不正确；
由，
得，，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式，从而可得，进而解方程可得的值，则判断出选项A；利用等比数列的通项公式判断出选项B；利用等比数列前n项和公式，则判断出选项C；利用等比数列的通项公式求和比较，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为双曲线：，
又因为，，，，.
对于选项A，因为，故A正确；
对于选项B，设，则，
所以，
因为，
又因为，所以，
则，
当或，等号成立，故B错误；
对于选项C，由，
可得，
又因为，
所以，
则，
所以，
则的周长为，故C正确；
对于选项D，设不同两点，关于点对称，
则，，
因为点在双曲线上，
所以，
两式相减并化简，得，
则，
所以，此时直线：，即，
代入双曲线方程，整理得，此时，
这与、是双曲线上不同的两点矛盾，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据双曲线的离心率公式，则判断出选项A；利用数量积的坐标表示，将化为二次函数，再结合得出的最小值，则判断出选项B；根据勾股定理和完全平方公式求出，进而求出，再利用三角形的周长公式判断出选项C；利用已知条件结合对称点以及点差法，从而求出直线方程，再将直线方程与双曲线方程联立判断是否有实数解，从而确定是否存在点，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：令，则，
所以，
因为函数不是常数函数，
所以，
则，故A正确；
对于B：令，则，
所以，
则，故B错误；
对于C：令，，则，
再令，，则，
由，可知：当时，，
则，故C正确；
对于D：令，则，
所以，
则，，
又因为，
所以，
则，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法结合已知条件，则判断出选项A、选项B和选项C；先根据赋值法得出以及，再由基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】1
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由，得，
所以，
解得.
故答案为：1.
【分析】根据向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出t的值.
13．【答案】2
【知识点】函数的值；三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意，得，
则，
所以，
则.
故答案为：2.
【分析】利用诱导公式化简，从而得出，进而得出的值.
14．【答案】
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由，
可得，
所以，
不妨设，
则，还有一个数为，
显然，，
对于任意取值，都有如下情况：
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法，
因为，
所以一共有种.
故答案为：.
【分析】设，则，可知的最小值为，最大值为，再根据这三个数的构成进行分类讨论，再利用排列数公式和分步乘法计数原理、分类加法计数原理，从而得出满足的情况种数.
15．【答案】（1）解：由，得，
因为，所以，
则，
令（）.
得，
所以的对称中心为（）.
（2）解：（法一）由为角终边上的一点，
则，，
由三角函数的图象变换性质，可得，
所以，
又因为，，
所以.
（法二）由为角终边上的一点，
则，，
由三角函数的图象变换性质，可得，
则.
【知识点】函数的值；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）根据题意和代入法以及角的取值范围，从而得出函数解析式，再利用换元法和正弦函数的对称性，从而得出正弦型函数的对称性，进而得出函数的对称中心.
（2）利用两种方法求解.
法一：由三角函数定义得出，的值，再利用三角恒等变换得出函数，再利用两角和的正弦公式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，从而得出的值.
法二：由三角恒等变换得出函数，再由点为角终边上的一点，则，，再代入函数解析式得出的值.
（1）由条件得，
又，所以，
所以，令（）.
得，
所以的对称中心为（）.
（2）（法一）由为角终边上的一点，故，，
由三角函数的图象变换性质可得，
所以，
又，，从而
（法二）
由为角终边上的一点，则，，
由三角函数的图象变换性质可得，
.
16．【答案】（1）证明：取中点，连接，，如图所示：
由是的中点，
则，且，
由是的中点，
则，且，
所以，，
则四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
所以，，，
由（1）知平面，
则点到平面的距离为到平面的距离，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
所以，
因为，
所以，
则点到平面的距离为.
（3）解：设平面的法向量为，
则，
取，则，，
所以，
则平面的法向量，
所以，
则平面与平面的夹角余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理得出线线平行的线段间的关系，再利用平行四边形的定义判断出四边形是平行四边形，从而得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出直线平面.
（2）由（1）知直线平面，则将线面距离转化为点到平面的距离，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求直线到平面距离公式，从而得出直线到平面的距离.
（3）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用平面的法向量和数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）取中点，连接，，如图：
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，则有，，
故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面.
（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图：
有，，，，，，，
则有，，，
（1）知平面，故点到平面的距离即为到平面的距离.
设平面的法向量为，则有，
取，则有，，即，
又，则有，
即点到平面的距离为.
（3）设平面的法向量为，则有，
取，则有，，故，平面的法向量，
所以，
故平面与平面的夹角余弦值为.
17．【答案】（1）解：.
（2）解：因为体质测试不合格的学生有3名，
所以的可能取值为0，1，2，3，
又因为，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
则期望.
（3）解：因为，，
所以，，
又因为
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，
则，
所以.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用表中数据和平均数公式，从而得出的值.
（2）利用已知条件求出的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而得出对应的概率，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）利用平均数公式和方差公式，从而计算出，的值，则得出，的值，从而得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，再利用二项分布得出，则根据二项分布求数学期望公式，则得出.
（1）.
（2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以的可能取值为0，1，2，3.
因为，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3
期望.
（3）因为，，所以，，
因为，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，
故，所以.
18．【答案】（1）解：设椭圆方程为（），
因为椭圆经过点，
所以，
又因为椭圆离心率，，
解得，，
则椭圆的方程为.
（2）解：法一：因为，，，
则直线方程为，直线方程为，
设角平分线上任意一点为，
则，
得或，
因为斜率为正，
所以直线方程为.
法二：设，
（点为的角平分线所在直线与轴交点），
因为，
所以，
则，
又因为是锐角，
所以，，
则，
所以直线的斜率为，
则直线的方程为.
法三：设角平分线与轴交于点，
则，
所以，
则，
得，
所以，
则，
所以直线的方程为.
（3）解：设直线方程为，
联立，
得，
设，，
则，，
所以
，
则当时，使得恒为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求解得出的值，进而得出椭圆的方程.
（2）利用两种方法求解.
法一：先求出直线方程和直线的方程，设角平分线上任意一点为，再利用点到直线距离公式和两点距离公式，则，从而化简得出的角平分线所在直线的方程.
法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），利用，则，再由，从而得出直线的斜率，进而得出的角平分线所在直线的方程.
法三：设角平分线与轴交于点，根据和数量积求向量夹角公式，从而得出的值，则得出点K的坐标，再利用两点求斜率公式得出的角平分线所在直线的方程.
（3）设直线方程为，再将直线方程和椭圆方程联立，再利用根与系数的关系式和两点求斜率公式，从而得出当时，使得恒为定值.
（1）设椭圆方程为（），
因为椭圆经过点，所以，
又离心率，，解得，，
故椭圆的方程为.
（2）法一：，，，则直线方程为，
直线方程为，
设角平分线上任意一点为，则，
得或，
因为斜率为正，所以直线方程为.
法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），
由于，则，
故，由于是锐角，
则，，所以，
直线的斜率为，
故直线的方程为.
法三：设角平分线与轴交于点，
则，即，
故，得，
所以，所以，故直线的方程为.
（3）设直线方程为，
联立得，
设，，则，，
则
，
故当时，使得恒为定值.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，求导可得，
令，解得，又由，解得，
则在单调递减，在单调递增，
因为，所以；
（2）解：设，
则在恒成立等价于，
注意到，又，
①当时，由，解得，
在单调递减，单调递增，这与式矛盾；
②当时，因为在恒成立，所以符合，
所以，的最小值为；
（3）证明：由（2）知：令得：，
令得：
当时，(1)；
当时，，
，
，
将(1)(2)(3)，......，(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：；
故.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的求和
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，根据最小值为0，可得极小值也为0，得，据此求出的值即可；
（2）设，问题等价于等价于，求导，分和，利用导数判断函数的单调性，求出的最值即可得的最小值；
（3）由（2）知：令得：令得：，利用累加法即可证明.
（1）由函数，则其定义域为，且.
由，得：，又由，得：，
在单调递减，在单调递增，
；
（2）设，
则在恒成立等价于，
注意到，又，
①当时，由得.
在单减，单增，这与式矛盾；
②当时，在恒成立，符合，
的最小值为；
（3）由（2）知：令得：，
令得：
当时，(1)；
当时，，
，
，
将(1)(2)(3)，......，(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：
；
所以.
1 / 1广东省惠州市2026届高三上学期第二次调研考试数学试题
1．（2026高三上·惠州期末）复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据复数的乘除法运算法则，从而化简得出复数.
2．（2026高三上·惠州期末）已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解方程，
可得，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程得出集合A，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．（2026高三上·惠州期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，则，但，即充分性不成立；
若，则，即，即必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】若，得判断充分性不成立，由，可得，即判断必要性成立，根据充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2026高三上·惠州期末）设函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．在单调递增 D．在单调递减
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：对于A、B，因为函数定义域为，故选项A和选项B错误；
对于C、D，由复合函数的单调性，
知在上单调递增，且在上单调递增，
则在单调递增，故选项C正确、选项D错误.
故答案为：C.
【分析】先根据对数型函数的定义域和交集的运算法则，则判断出选项A和选项B；再结合对数型函数的单调性，即同增异减，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
5．（2026高三上·惠州期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，三棱锥的体积等于圆锥的体积，
则圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，
所以圆锥的底面周长为，
则圆锥的底面半径为1，母线为3，
所以圆锥的高为，
则圆锥的体积，
则所求三棱锥的体积为.
故答案为：A.
【分析】由题意可知三棱锥的体积等于圆锥的体积，则圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，再利用扇形的弧长公式得出圆锥的底面周长，再根据勾股定理和圆锥的侧面展开图得出圆锥的高和底面半径，再利用圆锥的体积公式得出圆锥的体积，从而推算出三棱锥的体积．
6．（2026高三上·惠州期末）已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的准线为：，
过，作准线的垂线，垂足为，，的中点为，
过作准线的垂线，垂足为，
因为，是该抛物线上的两点，
所以，，
则，
又因为为梯形的中位线，
所以，
则点到轴的距离为.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的定义和两点距离公式，再结合梯形中位线的性质和点到直线的距离公式，从而得出线段的中点到轴的距离.
7．（2026高三上·惠州期末）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由，
两式相减得，
则，
由，
两式相减得，
由，
得，
则数列为以14为首项，8为公差的等差数列，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用的关系式，两式相减得出，再利用递推公式，两式相减可得，再根据等差数列的定义判断出数列为以14为首项，8为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式得出，从而赋值得出的值.
8．（2026高三上·惠州期末）在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，
得，
由正弦定理，则（为外接圆半径），
得，
因为，
所以，
若，
由余弦定理，得，
所以，角为锐角，
则，
所以，
因为，，
所以，
则，与已知矛盾，
所以，
则，
所以，
则，
又因为，，
所以（当且仅当时，取“＝”），
则的最小值为4.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式，从而化简已知条件得出，再由正弦定理得出，若，利用余弦定理结合已知条件判断出矛盾，则，从而得出角A的值，再利用三角形的面积公式和已知条件得出bc的值，再根据基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
9．（2026高三上·惠州期末）已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
又因为是正项等比数列，所以，
可得，
解得，故A正确；
因为数列的通项公式为，故B正确；
则，故C不正确；
由，
得，，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式，从而可得，进而解方程可得的值，则判断出选项A；利用等比数列的通项公式判断出选项B；利用等比数列前n项和公式，则判断出选项C；利用等比数列的通项公式求和比较，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2026高三上·惠州期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率
B．的最小值为
C．若，则的周长为
D．双曲线上存在不同两点关于点对称
【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为双曲线：，
又因为，，，，.
对于选项A，因为，故A正确；
对于选项B，设，则，
所以，
因为，
又因为，所以，
则，
当或，等号成立，故B错误；
对于选项C，由，
可得，
又因为，
所以，
则，
所以，
则的周长为，故C正确；
对于选项D，设不同两点，关于点对称，
则，，
因为点在双曲线上，
所以，
两式相减并化简，得，
则，
所以，此时直线：，即，
代入双曲线方程，整理得，此时，
这与、是双曲线上不同的两点矛盾，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据双曲线的离心率公式，则判断出选项A；利用数量积的坐标表示，将化为二次函数，再结合得出的最小值，则判断出选项B；根据勾股定理和完全平方公式求出，进而求出，再利用三角形的周长公式判断出选项C；利用已知条件结合对称点以及点差法，从而求出直线方程，再将直线方程与双曲线方程联立判断是否有实数解，从而确定是否存在点，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2026高三上·惠州期末）已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：令，则，
所以，
因为函数不是常数函数，
所以，
则，故A正确；
对于B：令，则，
所以，
则，故B错误；
对于C：令，，则，
再令，，则，
由，可知：当时，，
则，故C正确；
对于D：令，则，
所以，
则，，
又因为，
所以，
则，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法结合已知条件，则判断出选项A、选项B和选项C；先根据赋值法得出以及，再由基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2026高三上·惠州期末）已知向量，，若，则 .
【答案】1
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由，得，
所以，
解得.
故答案为：1.
【分析】根据向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出t的值.
13．（2026高三上·惠州期末）已知函数，若，则 .
【答案】2
【知识点】函数的值；三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意，得，
则，
所以，
则.
故答案为：2.
【分析】利用诱导公式化简，从而得出，进而得出的值.
14．（2026高三上·惠州期末）一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有 种.
【答案】
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由，
可得，
所以，
不妨设，
则，还有一个数为，
显然，，
对于任意取值，都有如下情况：
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法；
当时，三个数为，，，对应，，，有种方法，
因为，
所以一共有种.
故答案为：.
【分析】设，则，可知的最小值为，最大值为，再根据这三个数的构成进行分类讨论，再利用排列数公式和分步乘法计数原理、分类加法计数原理，从而得出满足的情况种数.
15．（2026高三上·惠州期末）已知函数，，且.
（1）求的对称中心；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.设为角终边上的一点，求.
【答案】（1）解：由，得，
因为，所以，
则，
令（）.
得，
所以的对称中心为（）.
（2）解：（法一）由为角终边上的一点，
则，，
由三角函数的图象变换性质，可得，
所以，
又因为，，
所以.
（法二）由为角终边上的一点，
则，，
由三角函数的图象变换性质，可得，
则.
【知识点】函数的值；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）根据题意和代入法以及角的取值范围，从而得出函数解析式，再利用换元法和正弦函数的对称性，从而得出正弦型函数的对称性，进而得出函数的对称中心.
（2）利用两种方法求解.
法一：由三角函数定义得出，的值，再利用三角恒等变换得出函数，再利用两角和的正弦公式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，从而得出的值.
法二：由三角恒等变换得出函数，再由点为角终边上的一点，则，，再代入函数解析式得出的值.
（1）由条件得，
又，所以，
所以，令（）.
得，
所以的对称中心为（）.
（2）（法一）由为角终边上的一点，故，，
由三角函数的图象变换性质可得，
所以，
又，，从而
（法二）
由为角终边上的一点，则，，
由三角函数的图象变换性质可得，
.
16．（2026高三上·惠州期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：取中点，连接，，如图所示：
由是的中点，
则，且，
由是的中点，
则，且，
所以，，
则四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
所以，，，
由（1）知平面，
则点到平面的距离为到平面的距离，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
所以，
因为，
所以，
则点到平面的距离为.
（3）解：设平面的法向量为，
则，
取，则，，
所以，
则平面的法向量，
所以，
则平面与平面的夹角余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理得出线线平行的线段间的关系，再利用平行四边形的定义判断出四边形是平行四边形，从而得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出直线平面.
（2）由（1）知直线平面，则将线面距离转化为点到平面的距离，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求直线到平面距离公式，从而得出直线到平面的距离.
（3）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用平面的法向量和数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）取中点，连接，，如图：
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，则有，，
故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面.
（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图：
有，，，，，，，
则有，，，
（1）知平面，故点到平面的距离即为到平面的距离.
设平面的法向量为，则有，
取，则有，，即，
又，则有，
即点到平面的距离为.
（3）设平面的法向量为，则有，
取，则有，，故，平面的法向量，
所以，
故平面与平面的夹角余弦值为.
17．（2026高三上·惠州期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记，分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且.
（1）求；
（2）若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；
（3）经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望.
附：若，则，
，.
【答案】（1）解：.
（2）解：因为体质测试不合格的学生有3名，
所以的可能取值为0，1，2，3，
又因为，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
则期望.
（3）解：因为，，
所以，，
又因为
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，
则，
所以.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用表中数据和平均数公式，从而得出的值.
（2）利用已知条件求出的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而得出对应的概率，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）利用平均数公式和方差公式，从而计算出，的值，则得出，的值，从而得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，再利用二项分布得出，则根据二项分布求数学期望公式，则得出.
（1）.
（2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以的可能取值为0，1，2，3.
因为，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3
期望.
（3）因为，，所以，，
因为，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，
故，所以.
18．（2026高三上·惠州期末）已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程；
（3）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值 若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设椭圆方程为（），
因为椭圆经过点，
所以，
又因为椭圆离心率，，
解得，，
则椭圆的方程为.
（2）解：法一：因为，，，
则直线方程为，直线方程为，
设角平分线上任意一点为，
则，
得或，
因为斜率为正，
所以直线方程为.
法二：设，
（点为的角平分线所在直线与轴交点），
因为，
所以，
则，
又因为是锐角，
所以，，
则，
所以直线的斜率为，
则直线的方程为.
法三：设角平分线与轴交于点，
则，
所以，
则，
得，
所以，
则，
所以直线的方程为.
（3）解：设直线方程为，
联立，
得，
设，，
则，，
所以
，
则当时，使得恒为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求解得出的值，进而得出椭圆的方程.
（2）利用两种方法求解.
法一：先求出直线方程和直线的方程，设角平分线上任意一点为，再利用点到直线距离公式和两点距离公式，则，从而化简得出的角平分线所在直线的方程.
法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），利用，则，再由，从而得出直线的斜率，进而得出的角平分线所在直线的方程.
法三：设角平分线与轴交于点，根据和数量积求向量夹角公式，从而得出的值，则得出点K的坐标，再利用两点求斜率公式得出的角平分线所在直线的方程.
（3）设直线方程为，再将直线方程和椭圆方程联立，再利用根与系数的关系式和两点求斜率公式，从而得出当时，使得恒为定值.
（1）设椭圆方程为（），
因为椭圆经过点，所以，
又离心率，，解得，，
故椭圆的方程为.
（2）法一：，，，则直线方程为，
直线方程为，
设角平分线上任意一点为，则，
得或，
因为斜率为正，所以直线方程为.
法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），
由于，则，
故，由于是锐角，
则，，所以，
直线的斜率为，
故直线的方程为.
法三：设角平分线与轴交于点，
则，即，
故，得，
所以，所以，故直线的方程为.
（3）设直线方程为，
联立得，
设，，则，，
则
，
故当时，使得恒为定值.
19．（2026高三上·惠州期末）已知函数的最小值为0，其中．
（1）求的值；
（2）若对任意的，有成立，求实数的最小值；
（3）证明：．
【答案】（1）解：函数定义域为，求导可得，
令，解得，又由，解得，
则在单调递减，在单调递增，
因为，所以；
（2）解：设，
则在恒成立等价于，
注意到，又，
①当时，由，解得，
在单调递减，单调递增，这与式矛盾；
②当时，因为在恒成立，所以符合，
所以，的最小值为；
（3）证明：由（2）知：令得：，
令得：
当时，(1)；
当时，，
，
，
将(1)(2)(3)，......，(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：；
故.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的求和
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，根据最小值为0，可得极小值也为0，得，据此求出的值即可；
（2）设，问题等价于等价于，求导，分和，利用导数判断函数的单调性，求出的最值即可得的最小值；
（3）由（2）知：令得：令得：，利用累加法即可证明.
（1）由函数，则其定义域为，且.
由，得：，又由，得：，
在单调递减，在单调递增，
；
（2）设，
则在恒成立等价于，
注意到，又，
①当时，由得.
在单减，单增，这与式矛盾；
②当时，在恒成立，符合，
的最小值为；
（3）由（2）知：令得：，
令得：
当时，(1)；
当时，，
，
，
将(1)(2)(3)，......，(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：
；
所以.
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