浙江省宁波大学青藤书院2025-2026学年第二学期九年级开学作业检查数学试卷
1．（2026九下·青藤书院开学考）2026 的相反数是( )
A．-2026 B．2026 C． D．
2．（2026九下·青藤书院开学考）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（ ）
A．30° B．60° C．70° D．150°
3．（2026九下·青藤书院开学考）根据国家统计局发布的最新数据，2025年全国出生人口约为7920000人，比2024年减少了1620000人.其中 7920000用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
4．（2026九下·青藤书院开学考）下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
5．（2026九下·青藤书院开学考）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
6．（2026九下·青藤书院开学考）如图，在平面直角坐标系中△AOB 与△COD 是位似图形，以原点O为位似中心，若CD=3AB，B点坐标为(2，1)，则点D的坐标为( )
A．(4， 2) B．(4， 6) C．(6， 3) D．(6， 2）
7．（2026九下·青藤书院开学考）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何 其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多出4钱；每人出 钱，又差了3钱.问人数，进价各是多少 设人数为x，琎价为y，则可列方程组为( )
A． B．
C． D．
8．（2026九下·青藤书院开学考）某班在一次班委选举中，参与投票的学生必须从参选的四名同学(甲、乙、丙、丁)中选 1 名，且只能选1名进行投票，根据投票结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，下列结论不正确的是( )
A．参与投票的学生有40人
B．乙的票数为12票
C．a的值为30
D．条形统计图中括号里应填的选手是甲
9．（2026九下·青藤书院开学考）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点 C，D为圆心，大于 长为半径作圆弧，两条圆弧交于 内一点 P，连结 OP，过点P作直线PE∥OA， 交OB于点E， 过点P 作直线PF∥OB， 交OA 于点F. 若. OP=6cm， 则四边形PFOE的面积是( )
A． B． C． D．
10．（2026九下·青藤书院开学考）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位： 为y(单位： 如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(13， m)， 且经过E(6， 130) 和F(n， 225) 两点， 下列选项不正确的是( )
A．m=81
B．n=24
C．点C的纵坐标为250
D．点 (16， 90) 在该函数图象上
11．（2026九下·青藤书院开学考）因式分解： = ；
12．（2026九下·青藤书院开学考）不等式组 的解集是 ．
13．（2026九下·青藤书院开学考）如图，BD是⊙O的直径，点A在DB的延长线上，AC是⊙O的切线，C为切点，连结CO，CD，若∠D=25°，则∠A的度数为 .
14．（2026九下·青藤书院开学考）现有七张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的卡片，其中标有数字1，4，5，7的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中，两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 .
15．（2026九下·青藤书院开学考）定义新运算： 若x (x+1) =0， 则x的值为 ．
16．（2026九下·青藤书院开学考） 如图， 正方形ABCD中， E为CD边上一点， 点F在BE上， 连接AF， 满足∠BAF=2∠CBE，过点F作FG⊥BE交AD于点G，若正方形的边长为，则FG的长为 ．
17．（2026九下·青藤书院开学考）先化简，再求值： 其中a=-2， b=1.
18．（2026九下·青藤书院开学考） 解方程：
19．（2026九下·青藤书院开学考） 如图， 在 中， BE是 的平分线，点D 在AB上(不与点A，B 重合)，连接CD交BE于点O.
（1）若CD是AB边上的中线， 的周长为25cm，求 的周长；
（2）若于点D， 求 的度数.
20．（2026九下·青藤书院开学考） 如图， 在△ABC中， AD⊥BC于点D，
（1） 求AD的长；
（2） 若BD=2CD， 求tanC的值.
21．（2026九下·青藤书院开学考）为提高学生环保意识，某校组织了垃圾分类知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名参赛学生的成绩整理和分析如下：(百分制，成绩用x表示，共分成四组： 七年级 10名学生的成绩： 94， 80， 94， 86， 99， 94， 92， 100， 97，84.
八年级 10名学生的成绩：两人的成绩在A组；两人的成绩在 B组；三人的成绩在 C组，分别为93， 90， 93； 三人的成绩在 D组．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
平均数 中位数 众数
七年级 92 a b
八年级 m c 99
根据以上信息，解答下面的问题：
（1） 填空： a= ，b= ，c= ；
（2）若八年级A组的学生平均成绩为83，B组的学生平均成绩为87，求m的值；
（3）若该校七年级共200人参加本次知识竞赛，估计这些学生中竞赛成绩优秀( 的有多少人
22．（2026九下·青藤书院开学考）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务.
X年X月X日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法. 这种方法如下： 若 n=ab(在各组乘积为 n 的正整数中，a，b 两数最接近)，则的最初近似值为 若m1是的最初近似值，则的二级近似值 的三级近似值 例如： ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6， 4， 6最接近， 的最初近似值为 的二级近似值为 的三级近似值为．
任务：
（1）的最初近似值是 ；
（2）的二级近似值是 ；
（3）若 的最初近似值是 二级近似值是 求n的值.
23．（2026九下·青藤书院开学考）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且
（1）求的度数．
（2）若⊙O的半径为5.
①如图2， 连结BD， 求BD的长.
②如图3， 连结CA， 若CA平分 求BC+CD的最大值.
（3）如图4，若AC是⊙O的直径，直接写出线段AB，BC，CD之间的等量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，
∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．
故选：A．
【分析】根据对顶角相等可得∠β与∠α的度数相等为30°．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故A选项错误，不符合题意；
B．，故B选项错误，不符合题意；
C．，故C选项正确，符合题意；
D．，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、完全平方公式、平方差公式的运算法则逐项判定解答．
5．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：该组数据共5个，按从小到大的顺序排列后，第3个数为中位数，已知中位数为4，且数据1和2均小于4，要使4排在第3位，则不能小于4，即，
故选D．
【分析】根据中位数的定义得到数据a在排列中的位置解答即可．
6．【答案】C
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴与的位似比为，
∵B点坐标为，
∴点D的坐标为，
故选：C．
【分析】根据位似变换的点的横、纵坐标同时乘以k或-k计算，得到答案．
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设人数为， 琎石价格为，根据题意则方程组为：，
故选：B．
【分析】设人数为， 琎石价格为，根据“ 每人出 钱，会多出4钱；每人出 钱，又差了3钱 ”列方程组即可.
8．【答案】B
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：调查的总人数为：（人，因此选项不符合题意；
乙的圆心角是，即选乙的人数占调查人数的，而人，因此选项符合题意；
选丙的人数为（人，，即，因此选项不符合题意；
条形统计图中括号里应填的选手是甲，因此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据选手丁的投票人数除以占比求出总人数判断A选项；根据乙圆心角占比乘以总人数计算乙的投票人数判断B选项；利用总人数减去其它组人数求出丙的投票人数，即可求出百分比即可得到a的值判断C选项；得到括号内容判断D选项解答即可.
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过P作于M，
由作图得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
设，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
【分析】过P作于M，根据作图可得平分，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出OM的值，再判定四边形为平行四边形，即可得到∠POE=∠OPE，进而得到OE=PE，再根据勾股定理求出OE长，利用平行四边形的面积解答即可．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点作于点，当点运动到点时，最小，即为，则由图象可得，，
由图象可得，当时，，设此时点运动到点H的位置，则，，
∴，
∴，故A正确；
当，设此时点Q运动到点，即，
∴，
∴，故B错误；
当点与点重合时，此时点C的纵坐标即为，故C正确；
设点Q运动到点K时，此时
∴，
∴此时，
∴点在该函数图象上，故D正确，
故选：B．
【分析】过点作于点，当点运动到点时，最小为为，根据图象得到时，，设此时点运动到点H的位置，即可得到，，根据勾股定理得到的值判断A选项；当，设此时点Q运动到点，根据勾股定理得到的长判断B选项；当点与点重合时，得到点C的纵坐标即为，根据勾股定理求出判断C选项；设点Q运动到点K时，此时，求出，再根据勾股定理得到判断D选项解答即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： = x(x-3)，
故答案为： .
【分析】直接用提公因式法分解即可。
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：.
【分析】先分别求出各不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可．
13．【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的切线，C为切点
∴AC⊥OC
∴∠OCA=90°
∵∠D=25°
∴∠AOC=2∠D=50°
∴∠A=90°-∠AOC=40°
故答案为：40°
【分析】根据切线性质可得AC⊥OC，即∠OCA=90°，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOC=2∠D=50°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：如下图为甲乙两人每人出一张卡片的树状图：
两人抽卡片共有12种情况，其中甲比乙大的情况有7种，故概率P=.
故答案为：.
【分析】借助树状图表示将两人抽出卡片的情况，共有12种，而甲大于乙的情况有7种，相比即得概率.
15．【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【分析】根据新定义的运算法则可得，然后利用因式分解法解方程即可．
16．【答案】8
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
设，则，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据正方形的性质，利用ASA得到证明，即可得到，根据正切的定义和勾股定理求出，，再由面积法求出FH的值，进而求出AH的值，然后根据正切的定义得到解答即可．
17．【答案】解：
；
当时，
原式
=24．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项化简，然后代入a，b的值计算解答．
18．【答案】解：，
方程两边同时乘以，去分母，得，
解得，
检验，当时，，
故是原方程的根．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值并检验解答即可．
19．【答案】（1）解：是的中线，
，
∵的周长为，
的周长，
∴，
∵，
∴，
∴的周长
；
（2）解：，
，
是的角平分线，，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】（1）根据三角形的中线可得，然后根据三角形的周长解答即可；
（2）根据垂直得到，利用角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质解答即可．
20．【答案】（1）解：∵于点D，，，
∴；
（2）解：由（1）可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据正弦的定义解答即可．
（2）在中根据勾股定理求出的长，即可求出的长．再根据正切的定义解答即可．
21．【答案】（1）94；94；91.5
（2）解：∵八年级的众数为99分，
∴八年级在D组的三人的成绩都是99分，
∴；
（3）解：人，
∴估计这些学生中竞赛成绩优秀（）的有140人．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：把七年级10名学生的成绩按照从低到高的顺序排列为80，84，86，92，94，94，94，97，99，100，
∴七年级的中位数为分，即，
∵七年级得分为94分的人数最多，
∴七年级的众数为94分，即；
把八年级10名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第5名的成绩和第6名的成绩的中位数，
∴八年级的中位数为分，即；
故答案为：94；94；91.5；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可解答；
（2）根据八年级的众数求出八年级在D组的三人的成绩都是99分，然后根据加权平均数公式计算平均数；
（3）用200乘以优秀人数占比解答即可.
22．【答案】（1）4
（2）
（3）解：设，
最初近似值，
得，
二级近似值，
解得，．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
与最接近，
的最初近似值为；
故答案为：4；
（2）解：，
和最接近，
最初近似值，
的二级近似值是，
故答案为：；
【分析】（1）仿照例题解答即可；
（2） 仿照例题解答即可 ；
（3）设，即可得到，根据题目公式计算即可．
23．【答案】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，作于点E，
则，，
∴，
∴，
∴，
由垂径定理，得，
∴；
②连接，延长至点F，使得，则，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
由①，得，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上，
∴当为所在圆直径时，的长最大，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，即为最大值，
∴的最大值为10；
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，延长，，交于点G，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数即可；
（2）①连接，，作于点E，利用圆周角定理求出，进而根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠OBD=30°，再根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BE，然后根据垂径定理解答即可；
②连接，延长至点F，使得，即可得到、是等边三角形，得到∠F=60°，即可得到点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上，当为所在圆直径时，的长最大，然后根据勾股定理求出DF长解答即可；
（3）延长，，根据直角所对的圆周角是直角解答，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到，然后根据线段的和差解答即可．
1 / 1浙江省宁波大学青藤书院2025-2026学年第二学期九年级开学作业检查数学试卷
1．（2026九下·青藤书院开学考）2026 的相反数是( )
A．-2026 B．2026 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．（2026九下·青藤书院开学考）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（ ）
A．30° B．60° C．70° D．150°
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，
∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．
故选：A．
【分析】根据对顶角相等可得∠β与∠α的度数相等为30°．
3．（2026九下·青藤书院开学考）根据国家统计局发布的最新数据，2025年全国出生人口约为7920000人，比2024年减少了1620000人.其中 7920000用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
4．（2026九下·青藤书院开学考）下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故A选项错误，不符合题意；
B．，故B选项错误，不符合题意；
C．，故C选项正确，符合题意；
D．，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、完全平方公式、平方差公式的运算法则逐项判定解答．
5．（2026九下·青藤书院开学考）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：该组数据共5个，按从小到大的顺序排列后，第3个数为中位数，已知中位数为4，且数据1和2均小于4，要使4排在第3位，则不能小于4，即，
故选D．
【分析】根据中位数的定义得到数据a在排列中的位置解答即可．
6．（2026九下·青藤书院开学考）如图，在平面直角坐标系中△AOB 与△COD 是位似图形，以原点O为位似中心，若CD=3AB，B点坐标为(2，1)，则点D的坐标为( )
A．(4， 2) B．(4， 6) C．(6， 3) D．(6， 2）
【答案】C
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴与的位似比为，
∵B点坐标为，
∴点D的坐标为，
故选：C．
【分析】根据位似变换的点的横、纵坐标同时乘以k或-k计算，得到答案．
7．（2026九下·青藤书院开学考）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何 其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多出4钱；每人出 钱，又差了3钱.问人数，进价各是多少 设人数为x，琎价为y，则可列方程组为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设人数为， 琎石价格为，根据题意则方程组为：，
故选：B．
【分析】设人数为， 琎石价格为，根据“ 每人出 钱，会多出4钱；每人出 钱，又差了3钱 ”列方程组即可.
8．（2026九下·青藤书院开学考）某班在一次班委选举中，参与投票的学生必须从参选的四名同学(甲、乙、丙、丁)中选 1 名，且只能选1名进行投票，根据投票结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，下列结论不正确的是( )
A．参与投票的学生有40人
B．乙的票数为12票
C．a的值为30
D．条形统计图中括号里应填的选手是甲
【答案】B
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：调查的总人数为：（人，因此选项不符合题意；
乙的圆心角是，即选乙的人数占调查人数的，而人，因此选项符合题意；
选丙的人数为（人，，即，因此选项不符合题意；
条形统计图中括号里应填的选手是甲，因此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据选手丁的投票人数除以占比求出总人数判断A选项；根据乙圆心角占比乘以总人数计算乙的投票人数判断B选项；利用总人数减去其它组人数求出丙的投票人数，即可求出百分比即可得到a的值判断C选项；得到括号内容判断D选项解答即可.
9．（2026九下·青藤书院开学考）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点 C，D为圆心，大于 长为半径作圆弧，两条圆弧交于 内一点 P，连结 OP，过点P作直线PE∥OA， 交OB于点E， 过点P 作直线PF∥OB， 交OA 于点F. 若. OP=6cm， 则四边形PFOE的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过P作于M，
由作图得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
设，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
【分析】过P作于M，根据作图可得平分，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出OM的值，再判定四边形为平行四边形，即可得到∠POE=∠OPE，进而得到OE=PE，再根据勾股定理求出OE长，利用平行四边形的面积解答即可．
10．（2026九下·青藤书院开学考）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位： 为y(单位： 如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(13， m)， 且经过E(6， 130) 和F(n， 225) 两点， 下列选项不正确的是( )
A．m=81
B．n=24
C．点C的纵坐标为250
D．点 (16， 90) 在该函数图象上
【答案】B
【知识点】勾股定理；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点作于点，当点运动到点时，最小，即为，则由图象可得，，
由图象可得，当时，，设此时点运动到点H的位置，则，，
∴，
∴，故A正确；
当，设此时点Q运动到点，即，
∴，
∴，故B错误；
当点与点重合时，此时点C的纵坐标即为，故C正确；
设点Q运动到点K时，此时
∴，
∴此时，
∴点在该函数图象上，故D正确，
故选：B．
【分析】过点作于点，当点运动到点时，最小为为，根据图象得到时，，设此时点运动到点H的位置，即可得到，，根据勾股定理得到的值判断A选项；当，设此时点Q运动到点，根据勾股定理得到的长判断B选项；当点与点重合时，得到点C的纵坐标即为，根据勾股定理求出判断C选项；设点Q运动到点K时，此时，求出，再根据勾股定理得到判断D选项解答即可．
11．（2026九下·青藤书院开学考）因式分解： = ；
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： = x(x-3)，
故答案为： .
【分析】直接用提公因式法分解即可。
12．（2026九下·青藤书院开学考）不等式组 的解集是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：.
【分析】先分别求出各不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可．
13．（2026九下·青藤书院开学考）如图，BD是⊙O的直径，点A在DB的延长线上，AC是⊙O的切线，C为切点，连结CO，CD，若∠D=25°，则∠A的度数为 .
【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的切线，C为切点
∴AC⊥OC
∴∠OCA=90°
∵∠D=25°
∴∠AOC=2∠D=50°
∴∠A=90°-∠AOC=40°
故答案为：40°
【分析】根据切线性质可得AC⊥OC，即∠OCA=90°，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOC=2∠D=50°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
14．（2026九下·青藤书院开学考）现有七张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的卡片，其中标有数字1，4，5，7的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中，两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：如下图为甲乙两人每人出一张卡片的树状图：
两人抽卡片共有12种情况，其中甲比乙大的情况有7种，故概率P=.
故答案为：.
【分析】借助树状图表示将两人抽出卡片的情况，共有12种，而甲大于乙的情况有7种，相比即得概率.
15．（2026九下·青藤书院开学考）定义新运算： 若x (x+1) =0， 则x的值为 ．
【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【分析】根据新定义的运算法则可得，然后利用因式分解法解方程即可．
16．（2026九下·青藤书院开学考） 如图， 正方形ABCD中， E为CD边上一点， 点F在BE上， 连接AF， 满足∠BAF=2∠CBE，过点F作FG⊥BE交AD于点G，若正方形的边长为，则FG的长为 ．
【答案】8
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
设，则，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据正方形的性质，利用ASA得到证明，即可得到，根据正切的定义和勾股定理求出，，再由面积法求出FH的值，进而求出AH的值，然后根据正切的定义得到解答即可．
17．（2026九下·青藤书院开学考）先化简，再求值： 其中a=-2， b=1.
【答案】解：
；
当时，
原式
=24．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项化简，然后代入a，b的值计算解答．
18．（2026九下·青藤书院开学考） 解方程：
【答案】解：，
方程两边同时乘以，去分母，得，
解得，
检验，当时，，
故是原方程的根．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值并检验解答即可．
19．（2026九下·青藤书院开学考） 如图， 在 中， BE是 的平分线，点D 在AB上(不与点A，B 重合)，连接CD交BE于点O.
（1）若CD是AB边上的中线， 的周长为25cm，求 的周长；
（2）若于点D， 求 的度数.
【答案】（1）解：是的中线，
，
∵的周长为，
的周长，
∴，
∵，
∴，
∴的周长
；
（2）解：，
，
是的角平分线，，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】（1）根据三角形的中线可得，然后根据三角形的周长解答即可；
（2）根据垂直得到，利用角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质解答即可．
20．（2026九下·青藤书院开学考） 如图， 在△ABC中， AD⊥BC于点D，
（1） 求AD的长；
（2） 若BD=2CD， 求tanC的值.
【答案】（1）解：∵于点D，，，
∴；
（2）解：由（1）可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据正弦的定义解答即可．
（2）在中根据勾股定理求出的长，即可求出的长．再根据正切的定义解答即可．
21．（2026九下·青藤书院开学考）为提高学生环保意识，某校组织了垃圾分类知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名参赛学生的成绩整理和分析如下：(百分制，成绩用x表示，共分成四组： 七年级 10名学生的成绩： 94， 80， 94， 86， 99， 94， 92， 100， 97，84.
八年级 10名学生的成绩：两人的成绩在A组；两人的成绩在 B组；三人的成绩在 C组，分别为93， 90， 93； 三人的成绩在 D组．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
平均数 中位数 众数
七年级 92 a b
八年级 m c 99
根据以上信息，解答下面的问题：
（1） 填空： a= ，b= ，c= ；
（2）若八年级A组的学生平均成绩为83，B组的学生平均成绩为87，求m的值；
（3）若该校七年级共200人参加本次知识竞赛，估计这些学生中竞赛成绩优秀( 的有多少人
【答案】（1）94；94；91.5
（2）解：∵八年级的众数为99分，
∴八年级在D组的三人的成绩都是99分，
∴；
（3）解：人，
∴估计这些学生中竞赛成绩优秀（）的有140人．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：把七年级10名学生的成绩按照从低到高的顺序排列为80，84，86，92，94，94，94，97，99，100，
∴七年级的中位数为分，即，
∵七年级得分为94分的人数最多，
∴七年级的众数为94分，即；
把八年级10名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第5名的成绩和第6名的成绩的中位数，
∴八年级的中位数为分，即；
故答案为：94；94；91.5；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可解答；
（2）根据八年级的众数求出八年级在D组的三人的成绩都是99分，然后根据加权平均数公式计算平均数；
（3）用200乘以优秀人数占比解答即可.
22．（2026九下·青藤书院开学考）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务.
X年X月X日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法. 这种方法如下： 若 n=ab(在各组乘积为 n 的正整数中，a，b 两数最接近)，则的最初近似值为 若m1是的最初近似值，则的二级近似值 的三级近似值 例如： ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6， 4， 6最接近， 的最初近似值为 的二级近似值为 的三级近似值为．
任务：
（1）的最初近似值是 ；
（2）的二级近似值是 ；
（3）若 的最初近似值是 二级近似值是 求n的值.
【答案】（1）4
（2）
（3）解：设，
最初近似值，
得，
二级近似值，
解得，．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
与最接近，
的最初近似值为；
故答案为：4；
（2）解：，
和最接近，
最初近似值，
的二级近似值是，
故答案为：；
【分析】（1）仿照例题解答即可；
（2） 仿照例题解答即可 ；
（3）设，即可得到，根据题目公式计算即可．
23．（2026九下·青藤书院开学考）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且
（1）求的度数．
（2）若⊙O的半径为5.
①如图2， 连结BD， 求BD的长.
②如图3， 连结CA， 若CA平分 求BC+CD的最大值.
（3）如图4，若AC是⊙O的直径，直接写出线段AB，BC，CD之间的等量关系．
【答案】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，作于点E，
则，，
∴，
∴，
∴，
由垂径定理，得，
∴；
②连接，延长至点F，使得，则，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
由①，得，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上，
∴当为所在圆直径时，的长最大，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，即为最大值，
∴的最大值为10；
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，延长，，交于点G，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数即可；
（2）①连接，，作于点E，利用圆周角定理求出，进而根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠OBD=30°，再根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BE，然后根据垂径定理解答即可；
②连接，延长至点F，使得，即可得到、是等边三角形，得到∠F=60°，即可得到点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上，当为所在圆直径时，的长最大，然后根据勾股定理求出DF长解答即可；
（3）延长，，根据直角所对的圆周角是直角解答，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到，然后根据线段的和差解答即可．
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