第二十一章 四边形单元检测卷（含解析）
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四边形单元检测卷
一、单选题(共10题；共30分)
1．在中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图所示的伸缩门， 其原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
3．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AO=CO，BO=DO B．AB=CD，AD=BC
C．AB//CD，AB=CD D．AB//CD，AD=BC
4．如图，矩形的对角线相交于点，，则矩形的对角线长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（ ）
B． C． D．
6． 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D、E分别是边AB、AC与网格对角线的交点，连结DE，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
8．如图，在平面直角坐标系中，以点 O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列不能作为该平行四边形第四个顶点坐标的是 ( )
A．(-3，1) B．(4，1) C．(-2，1) D．(2，-1)
9． 如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（ ）
B． C． D．
10．如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题(共8题；共24分)
11．若一个多边形的内角和为1260°，则这个多边形共有 条对角线.
12．如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，的对角线AC，BD交于点，已知的周长比的周长小3，则BC的长为 。
14． 如图，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分，，则DE的长为 .
15．如图，以正方形的对角线为边作菱形，则 ．
16．如图，小明从点 A 出发沿直线前进10米到达点 B，向左转45°后又沿直线前进 10米到达点 C，再向左转 45°后沿直线前进 10米到达点 D……照这样走下去，小明第一次回到出发点 A 时所走的路程为 米.
17．如图，在中，，D为AB的中点，交CD的延长线于点E，若AE=3，则 。
18．如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.AC=4cm，BD=6cm，则EF= cm.
三、解答题(共6题；共46分)
19．已知一个多边形的边数为n．
（1）若，求这个多边形的内角和；
（2）若这个多边形的内角和是外角和的2倍，求n的值．
20．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
21．如图，平行四边形ABCD中，，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若，，求BE的长．
22． 如图，在中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，求BC的长.
23． 小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，以AB、BC为边作.
小吴：如图2，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
小李：如图3，分别以点A、点C为圆心，相同长度（大于AC）为半径作弧，两弧分别相交于点M、N，连接MN交AC于点O，作射线BO，并截取，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
（1） 填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）
① 小吴的作法 ；② 小李的作法 .
（2） 从(1)中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程）
24．如题图1，在正方形ABCD中，点P在边CD上，点M在边BC上，点N在边AD上，连接AP，MN交于点O，且MN⊥AP.
（1）求证：PD+ND=MC：
（2）如图2，若AB=4，点O为线段AP的中点，OD=，求BM的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
A．∵四边形是平行四边形，∴不一定正确；
B．∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵与不一定相等，∴与不一定相等，∴一定正确；
C．∵四边形是平行四边形，∴，正确；
D．∵四边形是平行四边形，∴与不一定相等，∴不一定正确．
故选C．
【分析】根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图的伸缩门，其原理是四边形的不稳定性.
故答案为：B.
【分析】根据四边形的不稳定性，可得答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB//CD，AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB//CD，AD=CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：D ．
【分析】根据矩形的性质对角线相等，可得是等边三角形，，则 对角线长为 8．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
是的角平分线，
，
，
故选：．
【分析】
先由平行四边形的对边平行结合角平分线的概念可得，再由三角形内角和定理可得，再由平行四边形对角相等即可．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵由作图知D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE为AB的中点
∴DE=BC
∵BC=
∴DE=
故答案为：D .
【分析】由图形特点知DE为中位线，由中位线定理可得DE的长.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵过对角线的交点O，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为：，
∵的周长为18，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用平行四边形的周长公式及等量代换可得，最后求出四边形的周长即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设第四个顶点为C.
当点C 的坐标为(-3，1)时，
.四边形ABOC 不是平行四边形，符合题意；
当点C的坐标为(4，1)时，AC=OB=3，AC∥OB，故OBCA是平行四边形，不符合题意；
当点C的坐标为(-2，1)时，AC=OB=3，AC∥OB，故OBAC是平行四边形，不符合题意；
当点C的坐标为(2，-1)时，OC=AB=，OA=BC=，故OABC是平行四边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB=AC，E为BC的中点
∴AE⊥BC，∠BAE=∠CAE
∵D为AB的中点，E为BC的中点
∴DE||AC
∴∠CAE=∠AED=20°
∴∠C=90°-∠CAD=90°-20°=70°
故答案：A.
【分析】由等腰三角形“三线合一”知AE⊥BC，∠CAE=∠BAE，由中位线定理知DE||AC，即得∠CAE=20°，由此可得∠C的度数.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，连接，，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵菱形周长为16，
∴，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．的最小值为．
故答案为：D．
【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形及矩形的判定与性质，解题需逐步推导图形关系。菱形的对角线互相垂直且平分，因此，，；由，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形；又因为，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形是矩形；矩形的对边相等，所以，在中，根据勾股定理，故。
11．【答案】27
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n.
由题意，得(n-2)×180°=1260°，
解得n=9，
∴这个多边形共有=27(条)对角线.
故答案为：27.
【分析】先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再根据对角线条数公式计算结果.
12．【答案】16
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
【分析】根据矩形的性质可得，，进而可得，然后根据ASA得到，得到解答即可．
13．【答案】7
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵的周长比的周长小3，AB=4，
∴OB+OC+BC-(OA+OB+AB)=3，
即BC-AB=3，
解得：BC=7；
故答案为：7.
【分析】 利用平行四边形对角线互相平分的性质，将三角形周长差转化为边长关系 ，即可得出BC的长度.
14．【答案】3
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线.
∴，且.
∴.
又∵恰好平分 ，
∴.
∴.
∴为等腰三角形，且.
∴.
故答案为：3.
【分析】利用三角形中位线的性质得到，然后结合角平分的条件证明是等腰三角形，从而得知BC长，计算出DE长.
15．【答案】
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是菱形，
．
故答案为：．
【分析】先利用正方形的性质可得∠BAC的度数，再利用菱形的性质求出即可．
16．【答案】80
【解析】【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形
∴边数n=360°÷45°=8
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10=80m
故答案为：80.
【分析】利用多边形外角和为360°，求出小明走过的正多边形的边数，再结合每边长度求出总路程.
17．【答案】
【解析】【解答】解：设CD=x
在中，D为AB的中点
∴AB=2CD=2x，AD=CD=x
∵AE⊥CD
∴∠AEC=90°
在Rt△ACE中，
∴DE=4-x
在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即32+(4-x)2=x2
解得：
∴
故答案为：
【分析】设CD=x，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AB=2CD=2x，AD=CD=x，根据勾股定理可得CE，则DE=4-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】
【解析】【解答】解：取BC中点H，连接EH，FH
∵E，F分别是AB，CD的中线
∴
∴∠EHF=90°
∴
故答案为：
【分析】取BC中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：解：∵，
∴，
则这个多边形的内角和为；
（2）解：∵这个多边形的内角和是外角和的2倍，
∴这个多边形的内角和是，
故，
解得．
【解析】【分析】（1）运用多边形的内角和公式“(n-2)×180°（n表示多边形的边数）”，将n=10代入计算可得答案；
（2）根据“ 这个多边形的内角和是外角和的2倍 ”结合多边形的外角和为360°及多边形的内角和公式，列出方程，求解即可.
（1）解：∵，
∴，
则这个多边形的内角和为；
（2）解：∵这个多边形的内角和是外角和的2倍，
∴这个多边形的内角和是，
故，
解得．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
又∵BD∥CE，
四边形DCEB是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行得AB∥CD，再结合BD∥CE，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）根据矩形的对角线相等得AC=BD，根据平行四边形的对边相等得BD=CE，从而由等量代换即可得出答案．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形BDEC是平行四边形，
又∵
∴四边形BDEC是菱形；
（2）解：如图，BE交CD于O，
∵四边形BDEC是菱形，
BE，
在 中，
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD∥BC， AD = BC 由两组对边平行的四边形是平行四边形，可证四边形BDEC是平行四边形，即可得结论；
(2)连接BE交CD于O，由菱形的性质可得 由勾股定理可求BO的长，即可求解.
22．【答案】（1）证明：因为DE是的中位线，
所以，又因为，
所以四边形BEDF是平行四边形
（2）解：因为四边形BEDF是平行四边形，
所以，
因为DE是的中位线，
所以
【解析】【分析】 （1）由三角形中位线定理得DE∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DE=BF=4，再由三角形中位线定理的BC=2DE=8即可．
23．【答案】（1）正确；正确
（2）解：选择①，∵， ，
∴ABCD为平行四边.
选择②，∵， ，
∴ABCD为平行四边形
【解析】【分析】（1）小吴的方法可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判断；小李的方法可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断；
（2）若选小吴的方法，就证明两组对边相等；若选小李的方法，就证明对角线互相平分.
24．【答案】（1）证明：过点N作于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
，
.
∴四边形NECD为矩形，
∴NE=CD，.
.
，
.
.
又，
.
.
.
.
（2）解：连接NP，设，
则.
∵，点O为线段AP的中点，
∴.
在中，点O为线段AP的中点.
∴.
∴.
在中，.
即.
解得.
.
由（1）知.
【解析】【分析】（1）过点N作于点E，然后可根据矩形的性质得出，再通过证明，得出ME=PD，进而得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得出AP的长度，进而根据勾股定理可得出DP的长为2，设首先在直角三角形ADP中，，则：，根据中垂线的性质得出PN=AN=x， 在中， 根据勾股定理，可得出，即，解方程可求得x的值，进一步得出ND=4-x=，由（1）知：MC=PD+ND，可得出MC的长，然后用BC-MC即可得出BM的长。
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四边形单元检测卷
一、单选题(共10题；共30分)
1．在中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图所示的伸缩门， 其原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
3．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AO=CO，BO=DO B．AB=CD，AD=BC
C．AB//CD，AB=CD D．AB//CD，AD=BC
4．如图，矩形的对角线相交于点，，则矩形的对角线长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（ ）
B． C． D．
6． 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D、E分别是边AB、AC与网格对角线的交点，连结DE，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
8．如图，在平面直角坐标系中，以点 O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列不能作为该平行四边形第四个顶点坐标的是 ( )
A．(-3，1) B．(4，1) C．(-2，1) D．(2，-1)
9． 如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（ ）
B． C． D．
10．如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题(共8题；共24分)
11．若一个多边形的内角和为1260°，则这个多边形共有 条对角线.
12．如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，的对角线AC，BD交于点，已知的周长比的周长小3，则BC的长为 。
14． 如图，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分，，则DE的长为 .
15．如图，以正方形的对角线为边作菱形，则 ．
16．如图，小明从点 A 出发沿直线前进10米到达点 B，向左转45°后又沿直线前进 10米到达点 C，再向左转 45°后沿直线前进 10米到达点 D……照这样走下去，小明第一次回到出发点 A 时所走的路程为 米.
17．如图，在中，，D为AB的中点，交CD的延长线于点E，若AE=3，则 。
18．如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.AC=4cm，BD=6cm，则EF= cm.
三、解答题(共6题；共46分)
19．已知一个多边形的边数为n．
（1）若，求这个多边形的内角和；
（2）若这个多边形的内角和是外角和的2倍，求n的值．
20．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
21．如图，平行四边形ABCD中，，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若，，求BE的长．
22． 如图，在中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，求BC的长.
23． 小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，以AB、BC为边作.
小吴：如图2，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
小李：如图3，分别以点A、点C为圆心，相同长度（大于AC）为半径作弧，两弧分别相交于点M、N，连接MN交AC于点O，作射线BO，并截取，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
（1） 填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）
① 小吴的作法 ；② 小李的作法 .
（2） 从(1)中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程）
24．如题图1，在正方形ABCD中，点P在边CD上，点M在边BC上，点N在边AD上，连接AP，MN交于点O，且MN⊥AP.
（1）求证：PD+ND=MC：
（2）如图2，若AB=4，点O为线段AP的中点，OD=，求BM的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
A．∵四边形是平行四边形，∴不一定正确；
B．∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵与不一定相等，∴与不一定相等，∴一定正确；
C．∵四边形是平行四边形，∴，正确；
D．∵四边形是平行四边形，∴与不一定相等，∴不一定正确．
故选C．
【分析】根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图的伸缩门，其原理是四边形的不稳定性.
故答案为：B.
【分析】根据四边形的不稳定性，可得答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB//CD，AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB//CD，AD=CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：D ．
【分析】根据矩形的性质对角线相等，可得是等边三角形，，则 对角线长为 8．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
是的角平分线，
，
，
故选：．
【分析】
先由平行四边形的对边平行结合角平分线的概念可得，再由三角形内角和定理可得，再由平行四边形对角相等即可．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵由作图知D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE为AB的中点
∴DE=BC
∵BC=
∴DE=
故答案为：D .
【分析】由图形特点知DE为中位线，由中位线定理可得DE的长.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵过对角线的交点O，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为：，
∵的周长为18，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用平行四边形的周长公式及等量代换可得，最后求出四边形的周长即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设第四个顶点为C.
当点C 的坐标为(-3，1)时，
.四边形ABOC 不是平行四边形，符合题意；
当点C的坐标为(4，1)时，AC=OB=3，AC∥OB，故OBCA是平行四边形，不符合题意；
当点C的坐标为(-2，1)时，AC=OB=3，AC∥OB，故OBAC是平行四边形，不符合题意；
当点C的坐标为(2，-1)时，OC=AB=，OA=BC=，故OABC是平行四边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB=AC，E为BC的中点
∴AE⊥BC，∠BAE=∠CAE
∵D为AB的中点，E为BC的中点
∴DE||AC
∴∠CAE=∠AED=20°
∴∠C=90°-∠CAD=90°-20°=70°
故答案：A.
【分析】由等腰三角形“三线合一”知AE⊥BC，∠CAE=∠BAE，由中位线定理知DE||AC，即得∠CAE=20°，由此可得∠C的度数.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，连接，，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵菱形周长为16，
∴，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．的最小值为．
故答案为：D．
【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形及矩形的判定与性质，解题需逐步推导图形关系。菱形的对角线互相垂直且平分，因此，，；由，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形；又因为，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形是矩形；矩形的对边相等，所以，在中，根据勾股定理，故。
11．【答案】27
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n.
由题意，得(n-2)×180°=1260°，
解得n=9，
∴这个多边形共有=27(条)对角线.
故答案为：27.
【分析】先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再根据对角线条数公式计算结果.
12．【答案】16
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
【分析】根据矩形的性质可得，，进而可得，然后根据ASA得到，得到解答即可．
13．【答案】7
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵的周长比的周长小3，AB=4，
∴OB+OC+BC-(OA+OB+AB)=3，
即BC-AB=3，
解得：BC=7；
故答案为：7.
【分析】 利用平行四边形对角线互相平分的性质，将三角形周长差转化为边长关系 ，即可得出BC的长度.
14．【答案】3
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线.
∴，且.
∴.
又∵恰好平分 ，
∴.
∴.
∴为等腰三角形，且.
∴.
故答案为：3.
【分析】利用三角形中位线的性质得到，然后结合角平分的条件证明是等腰三角形，从而得知BC长，计算出DE长.
15．【答案】
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是菱形，
．
故答案为：．
【分析】先利用正方形的性质可得∠BAC的度数，再利用菱形的性质求出即可．
16．【答案】80
【解析】【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形
∴边数n=360°÷45°=8
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10=80m
故答案为：80.
【分析】利用多边形外角和为360°，求出小明走过的正多边形的边数，再结合每边长度求出总路程.
17．【答案】
【解析】【解答】解：设CD=x
在中，D为AB的中点
∴AB=2CD=2x，AD=CD=x
∵AE⊥CD
∴∠AEC=90°
在Rt△ACE中，
∴DE=4-x
在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即32+(4-x)2=x2
解得：
∴
故答案为：
【分析】设CD=x，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AB=2CD=2x，AD=CD=x，根据勾股定理可得CE，则DE=4-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】
【解析】【解答】解：取BC中点H，连接EH，FH
∵E，F分别是AB，CD的中线
∴
∴∠EHF=90°
∴
故答案为：
【分析】取BC中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：解：∵，
∴，
则这个多边形的内角和为；
（2）解：∵这个多边形的内角和是外角和的2倍，
∴这个多边形的内角和是，
故，
解得．
【解析】【分析】（1）运用多边形的内角和公式“(n-2)×180°（n表示多边形的边数）”，将n=10代入计算可得答案；
（2）根据“ 这个多边形的内角和是外角和的2倍 ”结合多边形的外角和为360°及多边形的内角和公式，列出方程，求解即可.
（1）解：∵，
∴，
则这个多边形的内角和为；
（2）解：∵这个多边形的内角和是外角和的2倍，
∴这个多边形的内角和是，
故，
解得．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
又∵BD∥CE，
四边形DCEB是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行得AB∥CD，再结合BD∥CE，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）根据矩形的对角线相等得AC=BD，根据平行四边形的对边相等得BD=CE，从而由等量代换即可得出答案．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形BDEC是平行四边形，
又∵
∴四边形BDEC是菱形；
（2）解：如图，BE交CD于O，
∵四边形BDEC是菱形，
BE，
在 中，
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD∥BC， AD = BC 由两组对边平行的四边形是平行四边形，可证四边形BDEC是平行四边形，即可得结论；
(2)连接BE交CD于O，由菱形的性质可得 由勾股定理可求BO的长，即可求解.
22．【答案】（1）证明：因为DE是的中位线，
所以，又因为，
所以四边形BEDF是平行四边形
（2）解：因为四边形BEDF是平行四边形，
所以，
因为DE是的中位线，
所以
【解析】【分析】 （1）由三角形中位线定理得DE∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DE=BF=4，再由三角形中位线定理的BC=2DE=8即可．
23．【答案】（1）正确；正确
（2）解：选择①，∵， ，
∴ABCD为平行四边.
选择②，∵， ，
∴ABCD为平行四边形
【解析】【分析】（1）小吴的方法可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判断；小李的方法可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断；
（2）若选小吴的方法，就证明两组对边相等；若选小李的方法，就证明对角线互相平分.
24．【答案】（1）证明：过点N作于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
，
.
∴四边形NECD为矩形，
∴NE=CD，.
.
，
.
.
又，
.
.
.
.
（2）解：连接NP，设，
则.
∵，点O为线段AP的中点，
∴.
在中，点O为线段AP的中点.
∴.
∴.
在中，.
即.
解得.
.
由（1）知.
【解析】【分析】（1）过点N作于点E，然后可根据矩形的性质得出，再通过证明，得出ME=PD，进而得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得出AP的长度，进而根据勾股定理可得出DP的长为2，设首先在直角三角形ADP中，，则：，根据中垂线的性质得出PN=AN=x， 在中， 根据勾股定理，可得出，即，解方程可求得x的值，进一步得出ND=4-x=，由（1）知：MC=PD+ND，可得出MC的长，然后用BC-MC即可得出BM的长。
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