广东省广州市2026年高三高考一模数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省广州市2026年高三高考一模数学试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 167.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-20 00:00:00 | ||
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文档简介
广东省广州市 2026 年普通高中毕业班综合测试(一)数学试题
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 若 ,则
A. B. C. D. - 2-i
2. 集合 的子集个数为
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
3. 已知函数 ,则
A. -1 B. 0 C. D. 2
4. 函数 的最小正周期是
A. B. C. D.
5. 已知向量 ,向量 满足 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 函数 在区间 上的极值点个数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 已知抛物线 的焦点为 ，圆. 与 交于 两点，若直线 与直线 的斜率之积为 -3,则
A. 3 B. C. 4 D. 5 8. 在正三棱柱 中， ，点 是平面 上的动点，则 的最小值是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量 (单位: ) 服从正态分布 ,且 , . 从该流水线上随机抽取 4 件产品,这 4 件产品中质量 在区间 上的件数记为 ,则
A. B.
C. D.
10. 已知 ,则下列命题正确的是
A.
B.
C.
D.
11. 已知曲线 的方程为 ，集合 ，若对任意的 ，都存在 ，使得 成立,则称曲线 为 曲线. 下列方程所表示的曲线为 曲线的是
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知椭圆 的离心率为 ，则 _____.
13. 已知函数 为奇函数，当 时， ，若 在 上单调递增，则 的取值范围是_____.
14. 某公园里有一块边长分别为 30 米,40 米,50 米的三角形草坪(记为 ),点 在 的边上, 线段 把草坪分成面积相等的两部分. 如果沿 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为_____米.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)证明:数列 为等比数列；
(2)若数列 的前 项和 小于 120，求 的最大值.
16.(15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ，
平面 ,点 是棱 的中点.
(1) 求证: ;
(2)若点 到平面 的距离为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.(15 分)
甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜. 假设甲每次射击命中目标的概率均为 ,乙每次射击命中目标的概率均为 , 各次射击结果互不影响.
(1)若甲先射击，甲第 2 次射击且获胜的概率为 ，求 (用 ， 表示)；
(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求 的最小值.
参考公式: 若 ,则 .
18. (17 分)
已知函数 .
(1) 若 ，求 的单调区间；
(2)若 有且仅有 1 个零点，求 的值；
(3) 若存在 ,使得 对任意 恒成立,证明: .
19.(17 分)
已知双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ，点
在 上.
(1)求 的方程；
(2)点 分别在 的两条渐近线上运动，且 ，线段 的中点为 .
(i)设 ， ，求 的最大值；
(ii) 设 ,点 不在 轴上,若 ,
求 的取值范围.
参考答案
1-8.
【答案】C
【答案】D
【答案】B
【答案】C
【答案】A
【答案】A
【答案】C
【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】CD
11.【答案】ABD
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】 20
15. (1) ,
两边同时 -1 ，有 ，
所以 (常数),
所以 是首项为 ,公比为 的等比数列.
(2)设数列 的前 项和为 ，
所以 ,所以 ,
所以
16.(1) 取 中点 ，连接
因为平行四边形 是菱形, ,所以 是等边三角形
又因为 是 中点,所以
又因为 分别是 中点,所以.
又因为 底面 底面 ,所以
所以
又因为 平面
所以 平面
又因为 于面 ,所以
(2)连接 交于点 ，以 为原点张云帆讲数学
分别以 平行于 的直线为 轴, 轴, 轴建立如图所示空间直角坐标系
设 ,所以
设平面 的法向量为
令 ,则 ,所以
又因为 ,
所以点 到面 的距离
所以 ,所以平面 的法向量
又因为 ，所以
设平面 的法向量
令 ,则 ,所以
设平面 与平面 夹角为 ,
所以 .
17.(1)甲先射，甲第 2 次射且胜的概率为
第 1 次甲不中, ,
第 1 次乙不中, ,
第 2 次甲中, ,
所以 .
(2)乙先，乙胜为 ，甲胜为 甲，
乙胜: 第 1 次乙中, ,
第 1 次乙不中，第 1 次甲不中，第 2 次乙中， ,
第 1，2 均未命中，第 3 次乙中， ，
因为构成等比,首项 ,公比 ,
故 .
同理,甲胜: ,
因为 ,所以 ,
又 ,所以 .
(1)当 时， ，
所以 单调递减，又 ，所以 在 为正， 为负
所以 在 为 为 \-Let
(2)
所以 单减,
①由(1)知， 时， ， ，此时仅有 1 个零点 1，此时 符合；
② 当 时， ， ，使 ， 在
,
设 ,所以
所以 ,又 ,
所以 有两个零点,舍.
③ 当 时， ， ，使 ， 在
,由②知 ,所以 无零点,舍
综上,
(3) 即 ,即
若对 恒成立,即 ,
又
且 时, 时,
故 ,使 即 ,即
此时
欲证 ,此时
所以
设
所以 ,证毕.
19. ,所以 ,所以 ,所以
所以 所求
(2)渐近线: ，设 ， ，
因为 ,所以
所以
所以 即
所以 是点 的轨迹的焦点,
所以
所以
当且仅当 时,成立
(3) 点 不在 上,
在 中,由正弦定理 及
所以
所以
设 ,则
故 ,令
又 在 ,所以
又
所以
所以
又 ,所以 ,代入
即
因为 ,所以 ,
综上， .
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 若 ,则
A. B. C. D. - 2-i
2. 集合 的子集个数为
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
3. 已知函数 ,则
A. -1 B. 0 C. D. 2
4. 函数 的最小正周期是
A. B. C. D.
5. 已知向量 ,向量 满足 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 函数 在区间 上的极值点个数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 已知抛物线 的焦点为 ，圆. 与 交于 两点，若直线 与直线 的斜率之积为 -3,则
A. 3 B. C. 4 D. 5 8. 在正三棱柱 中， ，点 是平面 上的动点，则 的最小值是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量 (单位: ) 服从正态分布 ,且 , . 从该流水线上随机抽取 4 件产品,这 4 件产品中质量 在区间 上的件数记为 ,则
A. B.
C. D.
10. 已知 ,则下列命题正确的是
A.
B.
C.
D.
11. 已知曲线 的方程为 ，集合 ，若对任意的 ，都存在 ，使得 成立,则称曲线 为 曲线. 下列方程所表示的曲线为 曲线的是
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知椭圆 的离心率为 ，则 _____.
13. 已知函数 为奇函数，当 时， ，若 在 上单调递增，则 的取值范围是_____.
14. 某公园里有一块边长分别为 30 米,40 米,50 米的三角形草坪(记为 ),点 在 的边上, 线段 把草坪分成面积相等的两部分. 如果沿 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为_____米.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)证明:数列 为等比数列；
(2)若数列 的前 项和 小于 120，求 的最大值.
16.(15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ，
平面 ,点 是棱 的中点.
(1) 求证: ;
(2)若点 到平面 的距离为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.(15 分)
甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜. 假设甲每次射击命中目标的概率均为 ,乙每次射击命中目标的概率均为 , 各次射击结果互不影响.
(1)若甲先射击，甲第 2 次射击且获胜的概率为 ，求 (用 ， 表示)；
(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求 的最小值.
参考公式: 若 ,则 .
18. (17 分)
已知函数 .
(1) 若 ，求 的单调区间；
(2)若 有且仅有 1 个零点，求 的值；
(3) 若存在 ,使得 对任意 恒成立,证明: .
19.(17 分)
已知双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ，点
在 上.
(1)求 的方程；
(2)点 分别在 的两条渐近线上运动，且 ，线段 的中点为 .
(i)设 ， ，求 的最大值；
(ii) 设 ,点 不在 轴上,若 ,
求 的取值范围.
参考答案
1-8.
【答案】C
【答案】D
【答案】B
【答案】C
【答案】A
【答案】A
【答案】C
【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】CD
11.【答案】ABD
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】 20
15. (1) ,
两边同时 -1 ，有 ，
所以 (常数),
所以 是首项为 ,公比为 的等比数列.
(2)设数列 的前 项和为 ，
所以 ,所以 ,
所以
16.(1) 取 中点 ，连接
因为平行四边形 是菱形, ,所以 是等边三角形
又因为 是 中点,所以
又因为 分别是 中点,所以.
又因为 底面 底面 ,所以
所以
又因为 平面
所以 平面
又因为 于面 ,所以
(2)连接 交于点 ，以 为原点张云帆讲数学
分别以 平行于 的直线为 轴, 轴, 轴建立如图所示空间直角坐标系
设 ,所以
设平面 的法向量为
令 ,则 ,所以
又因为 ,
所以点 到面 的距离
所以 ,所以平面 的法向量
又因为 ，所以
设平面 的法向量
令 ,则 ,所以
设平面 与平面 夹角为 ,
所以 .
17.(1)甲先射，甲第 2 次射且胜的概率为
第 1 次甲不中, ,
第 1 次乙不中, ,
第 2 次甲中, ,
所以 .
(2)乙先，乙胜为 ，甲胜为 甲，
乙胜: 第 1 次乙中, ,
第 1 次乙不中，第 1 次甲不中，第 2 次乙中， ,
第 1，2 均未命中，第 3 次乙中， ，
因为构成等比,首项 ,公比 ,
故 .
同理,甲胜: ,
因为 ,所以 ,
又 ,所以 .
(1)当 时， ，
所以 单调递减，又 ，所以 在 为正， 为负
所以 在 为 为 \-Let
(2)
所以 单减,
①由(1)知， 时， ， ，此时仅有 1 个零点 1，此时 符合；
② 当 时， ， ，使 ， 在
,
设 ,所以
所以 ,又 ,
所以 有两个零点,舍.
③ 当 时， ， ，使 ， 在
,由②知 ,所以 无零点,舍
综上,
(3) 即 ,即
若对 恒成立,即 ,
又
且 时, 时,
故 ,使 即 ,即
此时
欲证 ,此时
所以
设
所以 ,证毕.
19. ,所以 ,所以 ,所以
所以 所求
(2)渐近线: ，设 ， ，
因为 ,所以
所以
所以 即
所以 是点 的轨迹的焦点,
所以
所以
当且仅当 时,成立
(3) 点 不在 上,
在 中,由正弦定理 及
所以
所以
设 ,则
故 ,令
又 在 ,所以
又
所以
所以
又 ,所以 ,代入
即
因为 ,所以 ,
综上， .
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