四川省绵阳市江油市八校联考2024-2025学年八年级下学期开学数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·江油开学考）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·江油开学考）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八下·江油开学考）下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．2(a﹣b)＝2a﹣2b B．
C． D．
4．（2025八下·江油开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·江油开学考）已知一个多边形的内角和与一个外角的和是度，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
6．（2025八下·江油开学考）如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（ ）对全等三角形．
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2025八下·江油开学考）若分式的值为0，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八下·江油开学考）如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．11
9．（2025八下·江油开学考）如果是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．6 B．
C．或 D．以上都不正确
10．（2025八下·江油开学考）某新能源环保汽车去年第四季度销售总额为2000万元，由于受全球经济下行压力的影响，今年第一季度每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年第四季度相同，销售总额比去年第四季度减少20%，今年第一季度每辆车的销售价格是多少万元？设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，根据题意列方程为（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
11．（2025八下·江油开学考）如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2025八下·江油开学考）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝10，则△FBC的面积为（ ）
A． B． C．40 D．48
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
13．（2025八下·江油开学考）点关于x轴对称的点坐标是 ．
14．（2025八下·江油开学考）一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式 ．
15．（2025八下·江油开学考）若等腰三角形的顶角为，则它的底角为 ．
16．（2025八下·江油开学考）已知，则的值是 ．
17．（2025八下·江油开学考）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF⊥AC交AC延长线于点F，若AB=8，AC=4，则CF的长为 ．
18．（2025八下·江油开学考）关于的分式方程的解是非负数，且使得关于的不等式组．有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（2025八下·江油开学考）（1）计算：
（2）解分式方程：
20．（2025八下·江油开学考）先化简，再求值：，其中与1，3构成的三边且为整数．
21．（2025八下·江油开学考）如图，在中，，垂足为D，， ．
（1）求和的度数．
（2）若是的平分线，求的度数．
22．（2025八下·江油开学考）如图，点E、F是线段上的两个点，与交于点M．已知，，．
（1）求证：；
（2）若．求证：是等边三角形．
23．（2025八下·江油开学考）为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．
（1）求足球和排球的单价各是多少元；
（2）根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球．
24．（2025八下·江油开学考）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出一个等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．在直角三角形中，，，．
（1）如图1，O为的中点，则直线 的等腰分割线．（填“是”或“不是”）．
（2）如图2，点P是边上一个动点，当直线是的等腰分割线时，求的长度．
（3）如图3，若将放置在如图所示的平面直角坐标系中，点Q是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，则点Q的坐标为 ．(直接写出答案)．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据定义逐一判断即可．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：由因式分解的定义可知：
A. 2(a﹣b)＝2a﹣2b，不是因式分解，故错误；
B. ，不是因式分解，故错误；
C. ，左右两边不相等，故错误；
D. 是因式分解；
故答案为：D
【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】由同底数幂的除法，底数不变，指数相加，进行计算可判断A选项；由任何一个不为零的数的零次幂都等于1，可判断B选项；由负整数指数幂的法则“”进行计算，可判断C选项；由单项式乘以单项式，把系数与同底数幂分别相乘的积作为积的一个因式，对于只在某一个单项式含有的字母则连同指数作为积的一个因式，可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，
根据题意得，（n－2） 180°＋x＝1160°，
∵0°＜x＜180°，
∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，
∴5＜n 2＜6，
∴ 7＜n＜8，
∵n是整数，
∴n＝8．
故选：D．
【分析】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据题意列方程，再根据 0°＜x＜180° 推出7＜n＜8，再根据n取整数即可求得.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，
在ABD和CDB中，
，
∴ABD≌CDB（ASA），
同理：ABC≌CDA（ASA）；
∴AB＝CD，BC＝DA，
在AOB和COD中，
，
∴AOB≌COD（AAS），
同理：AOD≌COB（AAS）；
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠AEO＝∠CFD＝∠CFO＝90°，
在ABE和CDF中，
，
∴ABE≌CDF（AAS），
同理：AOE≌COF（AAS），ADE≌CBF（AAS）；
图中共有7对全等三角形，
故选：C．
【分析】根据平行线的性质可得∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，利用ASA即可分别证出ABD≌CDB，ABC≌CDA推出AB＝CD，BC＝DA，再根据AAS即可分别证出AOB≌COD、AOD≌COB、ABE≌CDF、AOE≌COF、ADE≌CBF，即可求得.
7．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
由①得：，
由②得：，
综上：．
故答案为：A．
【分析】分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此列出关于字母x的混合组，求解即可得出x的值.
8．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故选：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得连接，推出，根据两点之间线段最短可得，即可求解.
9．【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
，
解得：，
故选：C.
【分析】根据完全平方公式的特征可得，即可求得．
10．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，则去年第四季度每辆车的销售价格为（x＋1）万元，由题意得，＝，
故选：B．
【分析】设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，则去年第四季度每辆车的销售价格为（x＋1）万元，根据数量＝总价÷单价分别求得今年第一季度的销售数量和去年第四季度销售量，根据销售量相等列出关于x的分式方程即可.
11．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵ABC是等边三角形，DE⊥AC，
∴∠A=∠C=60°，∠AED=90°，AB=AC，
∴∠ADE=90°-∠A=30°，
∵ AE=2，
∴AD=2AE=4，
∵ D是AB的中点，
∴ AB=2AD=8，
∴ AC=AB=8，
∴CE=AC-AE=6，
又∵EF⊥BC，
∴∠FEC=90°-∠C=30°，
∴CF=CE=3，
故选：A.
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=∠C=60°，∠AED=90°，AB=AC，根据直角三角形中的30°的角的性质可得AD，进而求得AB，AC，CE的长，再根据直角三角形中的30°的角的性质即可求得.
12．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵CE⊥BD，∴∠BEF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF=90°，
∴∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴AD=AF，
∵AB=AC，D为AC中点，
∴AB=AC=2AD=2AF，
∵BF=AB+AF=10，
∴3AF=10，
∴AF=，
∴AB=AC=2AF=，
∴△FBC的面积是×BF×AC=×10×=，
故选：A．
【分析】根据同角的余角相等可得∠ABD=∠ACF，根据等腰三角形的性质可得AB=AC，根据ASA证△ABD≌△ACF推出AD=AF，根据BF=AB+AF=3AF求出AF、AC的长，根据三角形的面积公式计算即可求得.
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：与点关于x轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求得.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴出一个满足条件的二次二项式可以是：（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据因式分解的结果，确定二次二项式即可（答案不唯一）.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的顶角为，
它的底角，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的性质可知两个底角相等，再根据三角形的内角和定理即可求得．
16．【答案】1
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2x-5y+7=0，
∴
故答案为：1．
【分析】由有理数乘方运算法则将待求式子各个因式变形为以2为底的幂得形式，然后根据幂的乘方运算法则及同底数幂的运算法则依次计算，最后整体代入后根据零指数幂的法则算出答案.
17．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接CD，DB，过点D作DM⊥AB于点M，
∵AD平分∠FAB，
∴∠FAD=∠DAM，
在△AFD和△AMD中，
，
∴△AFD≌△AMD（AAS），
∴AF=AM，FD=DM，
∵DE垂直平分BC
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDM中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM（HL），
∴BM=CF，
∵AB=AM+BM=AF+MB=AC+CF+MB=AC+2CF，
∴8=4+2CF，
解得，CF=2，
故答案为：2．
【分析】连接CD，DB，过点D作DM⊥AB于点M，根据AAS证明△AFD≌△AMD推出AF=AM，FD=DM，根据HL证明Rt△CDF≌Rt△BDM推出BM=CF，根据AB=AC+2CF，即可求得CF．
18．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∴
∴，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴且，
∴且．
∵，
∴．
∴．
∵
∴
∴
∵关于y的不等式组有且仅有4个整数解，
∴
∴．
又∵且，a为整数，
∴．
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：．
【分析】将a作为常数，解分式方程用含a的表示表示出x，然后根据分式方程的解为非负数列出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围；将a为常数解不等式组，由不等式组有且仅有4个整数解确定出a的范围，再找出符合所有条件的整数求和即可得答案．
19．【答案】（1）解：原式，
，
；
（2）解： ，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得，，
检验：是原分式方程的解．
【知识点】单项式乘单项式；解分式方程；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先计算积的乘方，再根据整式的乘除法运算法则计算，即可求得；
（2）先方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-2)去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，经检验即可得到分式方程的解.
20．【答案】解：，
，
又∵与1，3构成的三边，
∴，
又∵为整数，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算括号内的分式加法，再计算除法，最后计算加法来化简分式，再根据三角形的三边关系确定x的值，最后代入求值即可.
21．【答案】（1）解：，，
；
，
，
；
（2）解：是的平分线，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质可得∠DAC=90°-∠ACB，即可求得；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可求得．
（1）解：，，
；
，
，
，
；
（2）解：是的平分线，
，
．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等量加等量和相等，结合图形可推出AE=BF，从而利用“SAS”判断出△ACE≌△BDF，由全等三角形的对应角相等得∠C=∠D；
（2）由全等三角形的对应角相等得到∠DFE=∠CEF，由等角对等边得ME=MF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出△MEF是等边三角形．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
23．【答案】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）40
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为40．
∴学校最多可以购买40个足球．
故答案为：40．
【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，由数量关系“数量=总价÷单价”，根据题意用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，列出关于x的分式方程，解之并经检验即可；
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，根据购买足球和排球的总费用不超过7100元，列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可解答．
（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，
依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为40．
∴学校最多可以购买40个足球．
故答案为：40．
24．【答案】（1）是
（2）解：设，
①当时，
在中，，
，
解得，，
即；
②当时，；
即的长为或；
（3）或或或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的综合；直角三角形斜边上的中线；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：，O为中点，
在中，，
和是等腰三角形，
则直线是的等腰分割线；
（3）解：，，，
，
，
，
，
①若为等腰三角形，
如图1，当时，，，
，
；
如图2，当时，Q为中点，，
，
，
当时，Q不在边上，故舍去．
②若为等腰三角形，
如图3，当时，
，
；
如图4，当时，，
，
，
如图2，当时，Q为中点，，
此时；
综上，点Q的坐标为或或或
故答案为：（1）故答案为：是；
（3）或或或
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半和题干中的等腰分割线的定义，即可求得；
（2）设，分情况讨论：①当时，根据勾股定理列方程，解方程即可；②当时；
（3）先根据勾股定理和等面积法求得OC，OA的长，当为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时可求出点；②当时，可求出；③当时，Q不在边上，舍去；当是等腰三角形时，同理分三种情况讨论可出点Q的坐标为或或 ，即可求得.
（1）解：，O为中点，
在中，，
和是等腰三角形，
则直线是的等腰分割线；
故答案为：是．
（2）解： ①当时，，
设，
①当，
在中，，
，
解得：，
即：；
②时，；
即的长为或；
（3）解：，，，
，
，
，
，
①若为等腰三角形，
如图1，当时，，，
，
；
如图2，当时，Q为中点，，
，
，
当时，Q不在边上，舍去．
②若为等腰三角形．
如图3，当时，
，
；
如图4，当时，，
，
，
如图2，当时，Q为中点，，
此时；
综合以上可得点Q的坐标为或或或
故答案为：或或或
1 / 1四川省绵阳市江油市八校联考2024-2025学年八年级下学期开学数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·江油开学考）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据定义逐一判断即可．
2．（2025八下·江油开学考）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
3．（2025八下·江油开学考）下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．2(a﹣b)＝2a﹣2b B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：由因式分解的定义可知：
A. 2(a﹣b)＝2a﹣2b，不是因式分解，故错误；
B. ，不是因式分解，故错误；
C. ，左右两边不相等，故错误；
D. 是因式分解；
故答案为：D
【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出.
4．（2025八下·江油开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】由同底数幂的除法，底数不变，指数相加，进行计算可判断A选项；由任何一个不为零的数的零次幂都等于1，可判断B选项；由负整数指数幂的法则“”进行计算，可判断C选项；由单项式乘以单项式，把系数与同底数幂分别相乘的积作为积的一个因式，对于只在某一个单项式含有的字母则连同指数作为积的一个因式，可判断D选项.
5．（2025八下·江油开学考）已知一个多边形的内角和与一个外角的和是度，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，
根据题意得，（n－2） 180°＋x＝1160°，
∵0°＜x＜180°，
∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，
∴5＜n 2＜6，
∴ 7＜n＜8，
∵n是整数，
∴n＝8．
故选：D．
【分析】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据题意列方程，再根据 0°＜x＜180° 推出7＜n＜8，再根据n取整数即可求得.
6．（2025八下·江油开学考）如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（ ）对全等三角形．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，
在ABD和CDB中，
，
∴ABD≌CDB（ASA），
同理：ABC≌CDA（ASA）；
∴AB＝CD，BC＝DA，
在AOB和COD中，
，
∴AOB≌COD（AAS），
同理：AOD≌COB（AAS）；
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠AEO＝∠CFD＝∠CFO＝90°，
在ABE和CDF中，
，
∴ABE≌CDF（AAS），
同理：AOE≌COF（AAS），ADE≌CBF（AAS）；
图中共有7对全等三角形，
故选：C．
【分析】根据平行线的性质可得∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，利用ASA即可分别证出ABD≌CDB，ABC≌CDA推出AB＝CD，BC＝DA，再根据AAS即可分别证出AOB≌COD、AOD≌COB、ABE≌CDF、AOE≌COF、ADE≌CBF，即可求得.
7．（2025八下·江油开学考）若分式的值为0，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
由①得：，
由②得：，
综上：．
故答案为：A．
【分析】分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此列出关于字母x的混合组，求解即可得出x的值.
8．（2025八下·江油开学考）如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．11
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故选：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得连接，推出，根据两点之间线段最短可得，即可求解.
9．（2025八下·江油开学考）如果是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．6 B．
C．或 D．以上都不正确
【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
，
解得：，
故选：C.
【分析】根据完全平方公式的特征可得，即可求得．
10．（2025八下·江油开学考）某新能源环保汽车去年第四季度销售总额为2000万元，由于受全球经济下行压力的影响，今年第一季度每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年第四季度相同，销售总额比去年第四季度减少20%，今年第一季度每辆车的销售价格是多少万元？设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，根据题意列方程为（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，则去年第四季度每辆车的销售价格为（x＋1）万元，由题意得，＝，
故选：B．
【分析】设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，则去年第四季度每辆车的销售价格为（x＋1）万元，根据数量＝总价÷单价分别求得今年第一季度的销售数量和去年第四季度销售量，根据销售量相等列出关于x的分式方程即可.
11．（2025八下·江油开学考）如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵ABC是等边三角形，DE⊥AC，
∴∠A=∠C=60°，∠AED=90°，AB=AC，
∴∠ADE=90°-∠A=30°，
∵ AE=2，
∴AD=2AE=4，
∵ D是AB的中点，
∴ AB=2AD=8，
∴ AC=AB=8，
∴CE=AC-AE=6，
又∵EF⊥BC，
∴∠FEC=90°-∠C=30°，
∴CF=CE=3，
故选：A.
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=∠C=60°，∠AED=90°，AB=AC，根据直角三角形中的30°的角的性质可得AD，进而求得AB，AC，CE的长，再根据直角三角形中的30°的角的性质即可求得.
12．（2025八下·江油开学考）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝10，则△FBC的面积为（ ）
A． B． C．40 D．48
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵CE⊥BD，∴∠BEF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF=90°，
∴∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴AD=AF，
∵AB=AC，D为AC中点，
∴AB=AC=2AD=2AF，
∵BF=AB+AF=10，
∴3AF=10，
∴AF=，
∴AB=AC=2AF=，
∴△FBC的面积是×BF×AC=×10×=，
故选：A．
【分析】根据同角的余角相等可得∠ABD=∠ACF，根据等腰三角形的性质可得AB=AC，根据ASA证△ABD≌△ACF推出AD=AF，根据BF=AB+AF=3AF求出AF、AC的长，根据三角形的面积公式计算即可求得.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
13．（2025八下·江油开学考）点关于x轴对称的点坐标是 ．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：与点关于x轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求得.
14．（2025八下·江油开学考）一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴出一个满足条件的二次二项式可以是：（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据因式分解的结果，确定二次二项式即可（答案不唯一）.
15．（2025八下·江油开学考）若等腰三角形的顶角为，则它的底角为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的顶角为，
它的底角，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的性质可知两个底角相等，再根据三角形的内角和定理即可求得．
16．（2025八下·江油开学考）已知，则的值是 ．
【答案】1
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2x-5y+7=0，
∴
故答案为：1．
【分析】由有理数乘方运算法则将待求式子各个因式变形为以2为底的幂得形式，然后根据幂的乘方运算法则及同底数幂的运算法则依次计算，最后整体代入后根据零指数幂的法则算出答案.
17．（2025八下·江油开学考）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF⊥AC交AC延长线于点F，若AB=8，AC=4，则CF的长为 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接CD，DB，过点D作DM⊥AB于点M，
∵AD平分∠FAB，
∴∠FAD=∠DAM，
在△AFD和△AMD中，
，
∴△AFD≌△AMD（AAS），
∴AF=AM，FD=DM，
∵DE垂直平分BC
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDM中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM（HL），
∴BM=CF，
∵AB=AM+BM=AF+MB=AC+CF+MB=AC+2CF，
∴8=4+2CF，
解得，CF=2，
故答案为：2．
【分析】连接CD，DB，过点D作DM⊥AB于点M，根据AAS证明△AFD≌△AMD推出AF=AM，FD=DM，根据HL证明Rt△CDF≌Rt△BDM推出BM=CF，根据AB=AC+2CF，即可求得CF．
18．（2025八下·江油开学考）关于的分式方程的解是非负数，且使得关于的不等式组．有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∴
∴，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴且，
∴且．
∵，
∴．
∴．
∵
∴
∴
∵关于y的不等式组有且仅有4个整数解，
∴
∴．
又∵且，a为整数，
∴．
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：．
【分析】将a作为常数，解分式方程用含a的表示表示出x，然后根据分式方程的解为非负数列出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围；将a为常数解不等式组，由不等式组有且仅有4个整数解确定出a的范围，再找出符合所有条件的整数求和即可得答案．
三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（2025八下·江油开学考）（1）计算：
（2）解分式方程：
【答案】（1）解：原式，
，
；
（2）解： ，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得，，
检验：是原分式方程的解．
【知识点】单项式乘单项式；解分式方程；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先计算积的乘方，再根据整式的乘除法运算法则计算，即可求得；
（2）先方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-2)去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，经检验即可得到分式方程的解.
20．（2025八下·江油开学考）先化简，再求值：，其中与1，3构成的三边且为整数．
【答案】解：，
，
又∵与1，3构成的三边，
∴，
又∵为整数，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算括号内的分式加法，再计算除法，最后计算加法来化简分式，再根据三角形的三边关系确定x的值，最后代入求值即可.
21．（2025八下·江油开学考）如图，在中，，垂足为D，， ．
（1）求和的度数．
（2）若是的平分线，求的度数．
【答案】（1）解：，，
；
，
，
；
（2）解：是的平分线，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质可得∠DAC=90°-∠ACB，即可求得；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可求得．
（1）解：，，
；
，
，
，
；
（2）解：是的平分线，
，
．
22．（2025八下·江油开学考）如图，点E、F是线段上的两个点，与交于点M．已知，，．
（1）求证：；
（2）若．求证：是等边三角形．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等量加等量和相等，结合图形可推出AE=BF，从而利用“SAS”判断出△ACE≌△BDF，由全等三角形的对应角相等得∠C=∠D；
（2）由全等三角形的对应角相等得到∠DFE=∠CEF，由等角对等边得ME=MF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出△MEF是等边三角形．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
23．（2025八下·江油开学考）为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．
（1）求足球和排球的单价各是多少元；
（2）根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球．
【答案】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）40
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为40．
∴学校最多可以购买40个足球．
故答案为：40．
【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，由数量关系“数量=总价÷单价”，根据题意用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，列出关于x的分式方程，解之并经检验即可；
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，根据购买足球和排球的总费用不超过7100元，列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可解答．
（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，
依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为40．
∴学校最多可以购买40个足球．
故答案为：40．
24．（2025八下·江油开学考）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出一个等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．在直角三角形中，，，．
（1）如图1，O为的中点，则直线 的等腰分割线．（填“是”或“不是”）．
（2）如图2，点P是边上一个动点，当直线是的等腰分割线时，求的长度．
（3）如图3，若将放置在如图所示的平面直角坐标系中，点Q是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，则点Q的坐标为 ．(直接写出答案)．
【答案】（1）是
（2）解：设，
①当时，
在中，，
，
解得，，
即；
②当时，；
即的长为或；
（3）或或或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的综合；直角三角形斜边上的中线；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：，O为中点，
在中，，
和是等腰三角形，
则直线是的等腰分割线；
（3）解：，，，
，
，
，
，
①若为等腰三角形，
如图1，当时，，，
，
；
如图2，当时，Q为中点，，
，
，
当时，Q不在边上，故舍去．
②若为等腰三角形，
如图3，当时，
，
；
如图4，当时，，
，
，
如图2，当时，Q为中点，，
此时；
综上，点Q的坐标为或或或
故答案为：（1）故答案为：是；
（3）或或或
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半和题干中的等腰分割线的定义，即可求得；
（2）设，分情况讨论：①当时，根据勾股定理列方程，解方程即可；②当时；
（3）先根据勾股定理和等面积法求得OC，OA的长，当为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时可求出点；②当时，可求出；③当时，Q不在边上，舍去；当是等腰三角形时，同理分三种情况讨论可出点Q的坐标为或或 ，即可求得.
（1）解：，O为中点，
在中，，
和是等腰三角形，
则直线是的等腰分割线；
故答案为：是．
（2）解： ①当时，，
设，
①当，
在中，，
，
解得：，
即：；
②时，；
即的长为或；
（3）解：，，，
，
，
，
，
①若为等腰三角形，
如图1，当时，，，
，
；
如图2，当时，Q为中点，，
，
，
当时，Q不在边上，舍去．
②若为等腰三角形．
如图3，当时，
，
；
如图4，当时，，
，
，
如图2，当时，Q为中点，，
此时；
综合以上可得点Q的坐标为或或或
故答案为：或或或
1 / 1
