2025-2026学年湖南省长沙市高二上学期期末模拟考试01数学试题（人教A版）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年湖南省长沙市高二上学期期末模拟考试01数学试题（人教A版）（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 862.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-20 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年湖南省长沙市上学期期末模拟考试01
高二数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足，则（ ）
A．-1 B． C．2 D．3
5．下列四个函数中，满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”的为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B．0 C．2026 D．4052
7．已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，椭圆的左右焦点分别为，抛物线，且与椭圆在第一象限交于点，其中.直线与抛物线，椭圆依次交于点.若，且的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线，，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
10．已知点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程
B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点
C．若点是上一点，则的最大值为
D．若点是上一点，则的最大值为
11．记数列的前项和为，前项积为，已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．存在大于1的正整数，使得
C．对任意
D．当时，
第二部分（非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 ．
13．已知函数且均不相等），设曲线在点处的切线的斜率为，则 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后在新图形中对应点记为，若，则 .
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知圆，直线.
(1)若，求直线被圆所截得的弦长；
(2)若直线与圆相交，求实数的取值范围；
(3)若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程.
16．如图所示的四棱锥中，平面，，.
(1)证明：平面平面；
(2)，，，上一点是的外心，求直线与直线所成角的余弦值.
17．已知函数，其中，为自然对数的底数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对于任意的，都有；
(3)若函数存在极小值点，且，求a的取值范围．
18．对有穷数列，用表示数列中所有的项构成的集合.定义变换，将数列变换成数列.
对有穷数列，令数列.
若，则称为阶完美数列.
(1)写出所有的2阶完美数列；
(2)若数列为3阶完美数列，求集合的元素个数；
(3)是否存在16阶完美数列？如果存在，求出所有的16阶完美数列；如果不存在，说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2025-2026学年湖南省长沙市上学期期末模拟考试01
高二数学（解析版）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C D D A B BD ABD
题号 11
答案 ACD
12．由，即，所以，即，
设，所以与有两个交点，
则，
由，解得，此时函数单调递增，
由，解得，此时函数单调递减，
所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值，
所以当时，，当时，，
作出函数的函数图像：
由图像可知：，
故答案为：．
13．由已知可得，
当时，，
故；
当时，，
故；
当时，，
故，
则所求式子通分整理得 ，
故答案为：.
14．折叠后仍以轴为轴，轴原位置仍为轴，折叠后轴的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
折叠前设，易得，设直线
由得，
折叠后
化简得，即.
因，则可得，即.
又，则，故.
故答案为：.
15．（1）由题得，圆心，半径，
圆心到直线的距离，则有弦长为.
故直线被圆所截得弦长为.
（2）由题得圆心到直线的距离，且直线，
则有，解得，
故实数的取值范围是.
（3）由题设直线，即，若与圆相切，则圆心到直线的距离，
则有，解得或，
故直线的方程为或.
16．（1）平面，平面，平面，
，．
，，且平面，
平面．
平面，
平面平面．
（2）由（1）知：，，，
以为原点，直线、、方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则有，，，，，
由上一点是的外心，设，由题意，
，
解得，即．
从而，．
设直线与直线所成角为．
则，
即直线与直线所成角的余弦值为．
17．（1）当时，，，
则，
设，，则，
所以在单调递增，又，
可知时，，时，，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.
（2）当时，，
设，，
则，
设，，则，
所以在上单调递增，
又，则，
所以在上单调递增，则，
即对于任意的，都有.
（3）由，，则，
设，，可知在上单调递增，
因为函数存在极小值点，所以在存在零点，
即，
此时，即，
设，，且，
当时，，，则；
当时，，，则，
可得，则，此时，
则a的取值范围为．
18．（1）2阶完美数列有4个，分别为；；；.
（2）设；；.
依题意，，
不妨设，则，即，
若，则，所以，
由知，用表示中的最大值，则，
所以，由知.
若，则，所以，
所以，.
构造：当为或时，符合，其他情况不符合，
所以的元素个数为1.
（3）不存在16阶完美数列，
假设存在16阶完美数列.
设，，
用表示中的最大值，用表示中的最小值，
则，
其中，
所以，其中为1，2之一，
设，则，
同理，，其中为1，2，3之一，
设，，则，
重复上述过程，则，
所以，
因为，
所以.
所以，
不妨设，
则当时，，，
设，对进行类似于的研究；
则有，其中，
同理，，
其中当时，，
所以，
因为，
所以，
所以，
又，矛盾，
所以假设不成立，
所以不存在16阶完美数列.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
高二数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足，则（ ）
A．-1 B． C．2 D．3
5．下列四个函数中，满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”的为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B．0 C．2026 D．4052
7．已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，椭圆的左右焦点分别为，抛物线，且与椭圆在第一象限交于点，其中.直线与抛物线，椭圆依次交于点.若，且的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线，，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
10．已知点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程
B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点
C．若点是上一点，则的最大值为
D．若点是上一点，则的最大值为
11．记数列的前项和为，前项积为，已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．存在大于1的正整数，使得
C．对任意
D．当时，
第二部分（非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 ．
13．已知函数且均不相等），设曲线在点处的切线的斜率为，则 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后在新图形中对应点记为，若，则 .
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知圆，直线.
(1)若，求直线被圆所截得的弦长；
(2)若直线与圆相交，求实数的取值范围；
(3)若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程.
16．如图所示的四棱锥中，平面，，.
(1)证明：平面平面；
(2)，，，上一点是的外心，求直线与直线所成角的余弦值.
17．已知函数，其中，为自然对数的底数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对于任意的，都有；
(3)若函数存在极小值点，且，求a的取值范围．
18．对有穷数列，用表示数列中所有的项构成的集合.定义变换，将数列变换成数列.
对有穷数列，令数列.
若，则称为阶完美数列.
(1)写出所有的2阶完美数列；
(2)若数列为3阶完美数列，求集合的元素个数；
(3)是否存在16阶完美数列？如果存在，求出所有的16阶完美数列；如果不存在，说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2025-2026学年湖南省长沙市上学期期末模拟考试01
高二数学（解析版）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C D D A B BD ABD
题号 11
答案 ACD
12．由，即，所以，即，
设，所以与有两个交点，
则，
由，解得，此时函数单调递增，
由，解得，此时函数单调递减，
所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值，
所以当时，，当时，，
作出函数的函数图像：
由图像可知：，
故答案为：．
13．由已知可得，
当时，，
故；
当时，，
故；
当时，，
故，
则所求式子通分整理得 ，
故答案为：.
14．折叠后仍以轴为轴，轴原位置仍为轴，折叠后轴的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
折叠前设，易得，设直线
由得，
折叠后
化简得，即.
因，则可得，即.
又，则，故.
故答案为：.
15．（1）由题得，圆心，半径，
圆心到直线的距离，则有弦长为.
故直线被圆所截得弦长为.
（2）由题得圆心到直线的距离，且直线，
则有，解得，
故实数的取值范围是.
（3）由题设直线，即，若与圆相切，则圆心到直线的距离，
则有，解得或，
故直线的方程为或.
16．（1）平面，平面，平面，
，．
，，且平面，
平面．
平面，
平面平面．
（2）由（1）知：，，，
以为原点，直线、、方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则有，，，，，
由上一点是的外心，设，由题意，
，
解得，即．
从而，．
设直线与直线所成角为．
则，
即直线与直线所成角的余弦值为．
17．（1）当时，，，
则，
设，，则，
所以在单调递增，又，
可知时，，时，，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.
（2）当时，，
设，，
则，
设，，则，
所以在上单调递增，
又，则，
所以在上单调递增，则，
即对于任意的，都有.
（3）由，，则，
设，，可知在上单调递增，
因为函数存在极小值点，所以在存在零点，
即，
此时，即，
设，，且，
当时，，，则；
当时，，，则，
可得，则，此时，
则a的取值范围为．
18．（1）2阶完美数列有4个，分别为；；；.
（2）设；；.
依题意，，
不妨设，则，即，
若，则，所以，
由知，用表示中的最大值，则，
所以，由知.
若，则，所以，
所以，.
构造：当为或时，符合，其他情况不符合，
所以的元素个数为1.
（3）不存在16阶完美数列，
假设存在16阶完美数列.
设，，
用表示中的最大值，用表示中的最小值，
则，
其中，
所以，其中为1，2之一，
设，则，
同理，，其中为1，2，3之一，
设，，则，
重复上述过程，则，
所以，
因为，
所以.
所以，
不妨设，
则当时，，，
设，对进行类似于的研究；
则有，其中，
同理，，
其中当时，，
所以，
因为，
所以，
所以，
又，矛盾，
所以假设不成立，
所以不存在16阶完美数列.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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