2025-2026学年湖南省长沙市高一上学期期末模拟考试数学试题02（人教A版）（含答案）

2025-2026学年湖南省长沙市上学期期末模拟考试02
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版必修第一册。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．已知集合，若且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知为自然对数的底数，定义“真指数”的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列选项正确的是（ ）
A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角
B．若，则是第一或第二象限角
C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角
D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角
6．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（ ）
A．800 B．625 C．1550 D．750
7．若正实数x，y，z满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
8．已知定义在上的单调函数满足.若对，使成立，则n的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．为偶函数 B．恰有2个单调区间
C．的最小值为 D．值域是
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若角的终边过点，则
B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角
C．对任意，恒成立
D．若，，则
11．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（ ）
A．为偶函数
B．的值域是
C．若，则
D．是上的减函数
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设集合A是的子集，对于，定义.
给出下列四个结论：
①若，，则且；
②存在的两个不同子集A，B，对任意，都有且；
③任取的两个不同子集A，B，对任意，都有；
④设，，对任意，都有.
其中所有正确结论的序号是 .
13．设表示集合中的元素个数.定义，若，则实数的所有可能值之和为 .
14．对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，若，且，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知集合或．
(1)当时，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16．已知集合，集合．
(1)求集合P；
(2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围．
17．已知函数
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数的图象经过点.
(1)求c的值；
(2)解不等式：；
(3)证明：存在零点，且所有零点之积小于1.
试卷第1页，共3页
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2025-2026学年湖南省长沙市上学期期末模拟考试02
高一数学(解析版）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B C A B B ABD ACD
题号 11
答案 CD
12．∵对于，，
对于①，因为，，，
故，①正确；
对于②，取，
则，故对任意，都有且，
故②正确；
对于③， 取，
当时，,,
, ③错误；
对于④， ，，
则，，
若为偶数且，则，则且，
故，则有；
若为偶数且，则，，
故，则有；
若为奇数，则，，
故，则有；
故总成立，故④正确
∴所有正确结论的序号是：①②④.
故答案为：①②④.
13．，，又，
或，
当时，
，解得；
，解得；
，，解得，无实数根；，解得，有一个实数根；，解得或，有两个实数根；
当时，表示方程只有一个实数根，即方程只有一个根为，
对于，若，原方程，唯一实根，此时，符合题意；若，解得，此时无实根，符合题意；
故实数的可能值为或，
当时，表示方程只有三个不同的实数根，第一个根，第二个根，
若，当时，，解得， 的根为，符合题意；
当时，，解得， 的根为，不符合题意；
若，有两个不同的实根，其中一个根与或重合才可以，
当是的实根，即舍掉；
当是的实根，即，无实数解，舍掉；
故实数的可能值为.
综上所述，实数的所有可能值为.其和为.
故答案为：.
14．因为，所以有实根，当时，，符合要求，
时，有实根，故，解得且，
所以，
又，即，
由题意得函数的不动点一定为函数的稳定点，故，
所以的左边有因式，
从而变形得到，
因为，所以要么没有实根，要么实根是方程的根，
若没有实根，时，，故方程无根，符合题意，
时，，解得，
故当没有实根时，，
若的实根是方程的根，
两边同乘以得，
将其代入得，，
故，解得，
再将代入中，得，解得，
综上，
故答案为：
15．（1）因为，所以或或
所以，
或
（2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集．
则或，所以或，
所以实数m的取值范围为或.
16．（1）由，
故.
（2）因为，
所以，
因为“”是“”的充分非必要条件，
所以是的真子集，
所以.
因此实数的取值范围为.
17．1）为定义域上的奇函数，
证明：易知为定义域为，关于原点对称，
又由，故为奇函数；
（2）函数在上单调递增，
证明：任取，且，
可得，
分子，
当、同号时，不妨设，，则，
此时，
当、异号时，不妨设，，
则，且，
此时，
又因为，所以，
即，故为上的增函数；
（3）由为奇函数，
由，可得，
又因为为定义域上的增函数，从而有对于任意实数恒成立，
即对于任意实数恒成立，
当时，不等式化为恒成立；
当时，要使对于任意实数恒成立，
则需要满足，
解不等式组得，
综上所述，的取值范围为.
18．（1）因为函数的图象经过点，
所以；
（2）因为，
所以，
整理可得，
设，则不等式变为，
显然左边和右边不能相等，所以右边必须大于零，
即，
当时，
不等式为，
即，即；
当时，
不等式为，
此时若时，
即，无解；
若时，
不等式为，
即，
综上，不等式的解集为；
（3），函数定义域为，
取，则，
因为，所以；
取，；
取，，
由零点存在定理可得在上存在零点，
令，即，
当时，方程为，
由单调性可知，左边单调递增，右边单调递减，方程最多有一个解，设为；
当时，
方程为，
因为，
作出函数和图象，

由函数图象可得此时方程也有一个解，设为，
所以，
两式相加可得，
因为.
答案第1页，共2页
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