第9章 因式分解 达标检测卷（含答案） 2025-2026学年数学苏科版八年级下册

第9章　因 式 分 解 达标检测卷
（时间：90分钟　满分：120分）
一、 选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)
A. x(a－b)＝ax－bx B. x2－3x＋1＝x(x－3)＋1
C. x2－4＝(x＋2)(x－2) D. m＋1＝m（1＋）
2. 多项式15x3y3＋5x2y－x2y3中，各项的公因式是(　　)
A. x3y3 B. x2y C. 5x2y D. 5x3y3
3. （2025常州新北期中）将多项式x4＋x3＋x2分解因式，结果为(　　)
A. x2(x2＋x) B. x(x3＋x2＋x)
C. x3(x＋1)＋x2 D. x2(x2＋x＋1)
4. （2025南京溧水月考）下列因式分解中，正确的是(　　)
A. 4a2－1＝(4a＋1)(4a－1) B. 25－a2＝(5＋a)(5－a)
C. a2－6ab－9b2＝(a－3b)2 D. a2－8a＋16＝(a－8)2
5. （2025大连一模）将多项式x3－2x2＋x分解因式，结果为(　　)
A. x(x＋1)2 B. x(x2－2x)
C. x2(x－2)＋x D. x(x－1)2
6. （2025苏州昆山模拟）若k为任意整数，则(k＋3)2－(k－2)2的值总能(　　)
A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除
7. （2025连云港赣榆期中）若498－142×712的运算结果为S，则下列各数中，不能整除S的是(　　)
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
8. （2025常州淹城中学月考）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”．例如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，所以4，12，20都是“神秘数”．下列各数中，属于“神秘数”的是(　　)
A. 60 B. 62 C. 66 D. 88
二、 填空题（每小题3分，共30分）
9. （2025长沙）分解因式：mx－2my＝　　　　．
10. （2025淮安清江浦一模）分解因式：a2b2－1＝　　　　．
11. （2025南通如皋二模）分解因式：a3－4a＝　　　　．
12. 分解因式：4x2－16y2＝　　　　．
13. 小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：a2＋3ab＋2b2＝　　　　．
14. （2025石家庄一模）若mn＝2，m－n＝－1，则代数式m2n－mn2的值是　　　　．
15. 若多项式x2＋ax＋b分解因式的结果为(x＋1)(x－2)，则a＋b的值为　　　　．
16.（2025自贡）若2a＋b＝－1，则4a2＋2ab－b的值为　　　　．
17. （2025苏州一模）已知代数式x－2y的值为3，则代数式x2－4y2－12y的值为　　　　．
18. （2025浙江月考）已知a，b为互不相等的两个非零实数，满足a2(b＋c)＝b2(c＋a)＝8，则c2(a＋b)＋2abc＝　　　　．
三、 解答题（共66分）
19. （8分）把下列各式分解因式：
(1) ma2－3ma－4m; (2) －4x3＋16x2－16x；
(3) m2(m－1)－4(1－m)2; (4) 6(x＋y)2－2(x－y)(x＋y).
20. （8分）利用因式分解进行简便计算：
(1) 1.992＋1.99×0.01; (2) 1.23×512－1.23×492；
(3) 2.22＋4.4×17.8＋17.82; (4) 6212－1482－769×373.
21. （5分）（2025南京外国语学校期中）若a是一个整数，且a除以3余1.判断a2－5a－5是否一定能被9整除，并说明理由．
22. （5分）（2025泰州靖江月考）求证：N＝3n×6n+2－5×32n+1×2n能被7整除．（n为正整数）
23. （5分）阅读：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x＋n，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
所以解得所以另一个因式为x－7，m的值为－21.
仿照上述方法解答下列问题：
已知2x2－13x＋p有一个因式是x－3，求另一个因式及p的值．
24. （6分）在学习完《因式分解》后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了一道题：“分解因式：x2－xy＋6x－6y.”下面是小天的解法：
解：x2－xy＋6x－6y
＝(x2－xy)＋(6x－6y)（分组）
＝x(x－y)＋6(x－y)（提公因式）
＝(x－y)(x＋6).
请利用上述的方法，解答下列各题：
(1) 分解因式：m3－3m2＋6m－18；
(2) 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2－b2－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．
25. （7分）（2025淮安外国语学校月考）阅读材料：31的末尾数字是3，32的末尾数字是9，33的末尾数字是7，34的末尾数字是1，35的末尾数字是3，….
因为34的末尾数字是1，
所以34n＝(34)n（n≥0，且n为整数）的末尾数字是1，
因为34n+1＝(34)n×3，
所以34n+1的末尾数字是3，
同理可知34n+2的末尾数字是9，34n+3的末尾数字是7.
解答下列问题：
(1) 32 021的末尾数字是　　　　，142 022的末尾数字是　　　　；
(2) 求22 024的末尾数字；
(3) 求证：122 024＋372 018能被5整除．
26. （10分）（2025连云港灌云期中）阅读下面的材料：
我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解．例如：a2＋a＝a(a＋1)，a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，都把一个多项式进行了因式分解．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，即多项式a2＋2ab＋b2因式分解的结果为(a＋b)2.
请回答下列问题：
【小试牛刀】
(1) 根据图3的拼图，多项式a2＋3ab＋2b2因式分解的结果是　　　　；
【自主探索】
(2) 请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为2a2＋5ab＋2b2的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式2a2＋5ab＋2b2因式分解的结果；
【拓展应用】
(3) ①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为b的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮（阴影部分）的面积吗？
②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A，B，C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）.
图1 图2 图3
图4 图5
27. （12分）我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方公式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能求代数式的最大值，最小值等．
例如：分解因式：
x2＋2x－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1).
例如：求代数式2x2＋4x－6的最小值：
2x2＋4x－6＝2(x2＋2x－3)＝2(x＋1)2－8.所以当x＝－1时，2x2＋4x－6有最小值，最小值是－8.
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1) 分解因式：x2－8x－9；
(2) 若多项式3x2＋6x＋k的最小值为4，求k的值；
(3) 若实数a，b满足－2a2＋3a＋2b＝10，求多项式a－2b的最大值；
(4) 实际应用：在紧靠围墙的空地上，利用围墙（墙长不限）及一段长为40 m的木栅栏，围成一个长方形花圃，此长方形的一边为围墙的一部分，其余三边为木栅栏，请求出花圃的最大面积．
第9章达标检测卷
1. C　2. B　3. D　4. B　5. D　6. C　7. D
8. A　9. m(x－2y)　10. (ab＋1)(ab－1)
11. a(a＋2)(a－2)　12. 4(x＋2y)(x－2y)　
13. (a＋2b)(a＋b)　14. －2　15. －3　16. 1　
17. 9　18. －8
19. (1) m(a＋1)(a－4)　(2) －4x(x－2)2
(3) (m－1)(m－2)2　(4) 4(x＋y)(x＋2y)
20. (1) 3.98　(2) 246　(3) 400　(4) 76 900
21. 解：一定能被9整除，理由如下：
设a除以3余1的商为b，则a＝3b＋1，
所以a2－5a－5＝(3b＋1)2－5(3b＋1)－5＝9b2＋6b＋1－15b－5－5＝9b2－9b－9＝9(b2－b－1)，
所以a2－5a－5一定能被9整除．
22. 证明：原式＝3n×(6n×62)－5×(32n×3)×2n
＝36×3n×6n－15×32n×2n
＝36×18n－15×18n
＝21×18n
＝7×3×18n.
因为n为正整数，
所以3×18n是整数，
所以3n×6n+2－5×32n+1×2n能被7整除．
23. 解：设另一个因式为2x＋q，
则2x2－13x＋p＝(2x＋q)(x－3)，
所以2x2－13x＋p＝2x2＋(q－6)x－3q，
所以解得
所以另一个因式为2x－7，p的值为21.
24. 解：(1) 原式＝m2(m－3)＋6(m－3)＝(m－3)·(m2＋6).
(2) 因为a2－b2－ac＋bc＝0，
所以(a2－b2)－(ac－bc)＝0，
即(a＋b)(a－b)－c(a－b)＝0，
所以(a－b)(a＋b－c)＝0.
因为△ABC的三边长分别为a，b，c，
所以a＋b－c＞0，
所以a－b＝0，
即a＝b，
所以△ABC的形状是等腰三角形．
25. (1) 3　6
(2) 解：由题意，得22 024＝(24)506.
因为24的末尾数字是6，
所以22 024的末尾数字是6.
(3) 证明：因为121的末尾数字是2，122的末尾数字是4，123的末尾数字是8，124的末尾数字是6，125的末尾数字是2，…，
所以124n+1的末尾数字是2，124n+2的末尾数字是4，124n+3的末尾数字是8，124n的末尾数字是6，
所以122 024＝124×506的末尾数字是6；
同理可得374n+1的末尾数字是7，374n+2的末尾数字是9，374n+3的末尾数字是3，374n的末尾数字是1，
所以372 018＝374×504+2的末尾数字是9，
所以122 024＋372 018的末尾数字是5，
所以122 024＋372 018能被5整除．
26. 解：(1) (a＋b)(a＋2b)
(2) 拼接示意图如下：
2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)(a＋2b).
(3) ①由图可知剩余草皮的面积为(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2.
②因为剩余草皮的面积为a2－4b2，设计成一个全新的正方形草坪，
所以草坪的长宽需要一样长．
方案一：购买4块C型，
则a2－4b2＋4b2＝a2，
所以此时正方形的边长a.
方案二：购买2块B型，5块C型，
则a2－4b2＋2ab＋5b2＝(a＋b)2，
所以此时正方形的边长为a＋b.
方案三：购买3块A型，4块B型，5块C型，
则a2－4b2＋3a2＋4ab＋5b2＝(2a＋b)2，
所以此时正方形的边长为2a＋b.
27. 解：(1) 原式＝x2－8x＋16－16－9
＝(x－4)2－25
＝(x－4＋5)(x－4－5)
＝(x＋1)(x－9).
(2) 由题意，得原式＝3(x2＋2x＋1)＋k－3＝3(x＋1)2＋k－3.
因为(x＋1)2≥0，
所以当x＝－1时，多项式有最小值k－3＝4，
所以k＝7.
(3) 由－2a2＋3a＋2b＝10，
得2b＝10＋2a2－3a，
所以a－2b＝a－(10＋2a2－3a)＝－2a2＋4a－10.
因为－2a2＋4a－10
＝－2(a2－2a)－10
＝－2(a2－2a＋1－1)－10
＝－2[(a－1)2－1)]－10
＝－2(a－1)2＋2－10
＝－2(a－1)2－8.
又－2(a－1)2≤0，
所以当－2(a－1)2＝0，即a＝1时，a－2b有最大值，最大值为－8.
(4) 设与围墙垂直的一边长为x m，则与围墙平行的一边长为(40－2x)m.
由题意，得长方形面积为S＝x(40－2x)
＝－2x2＋40x
＝－2(x2－20x)
＝－2(x2－20x＋100－100)
＝－2(x－10)2＋200.
因为－2(x－10)2≤0，
所以当－2(x－10)2＝0，即x＝10时，面积S有最大值，最大值为200 m2.