第20章 勾股定理 章末巩固卷（含答案）-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）

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第20章勾股定理章末巩固卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）
一、选择题
1．下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（　　)
A．1， 2， 3 B．2， 3， 4
C．5， 12， 13 D．4， 5， 6
2．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以AB为边向下作等边三角形ABE，若DE的最小值为1，则BC的长为（　　）
A．4 B． C． D．6
5．如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的大小是（　　）
A．60° B．50° C．45° D．30°
6．在中，，，，的对边分别记为，，，已知，．则的值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．3米
9．如图，D为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点G，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
10．如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要　 　米．
11．如图，在中，，D是边的中点，，，则　 　．
12．如图，已知为内一点，过点分别作三边的垂线，垂直分别为．若，则　 　．
13．如图，边长为1的小正方形组成7×7的网格，则图中阴影正方形的边长为　 　。
14．如图，直角三角形中，平分，，D为垂足，则的周长是　 　．
15．《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为　 　．
16．如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为　 　．
三、解答题
17．如图， 在 中， 点D是 外一点， 连接DC， DB， 且CD=4，BD=3.
（1）求BC的长；
（2）求证： 是直角三角形.
18．如图，在寻宝游戏中，寻宝人以河边l为x轴，建立平面直角坐标系，两个标志点A， B的坐标分别为A(0， 1) ， B(4， 3)， 点C， D， E是三个藏宝点．
（1）请根据锦囊提示，利用尺规作图确定藏宝点D 的位置；(保留作图痕迹，不写作法)
（2）若点E在河边l上，且到点A，B的距离相等，求点E的坐标．
19．如图，在中，，于D点，平分交于点F．
（1）求证：．
（2）取的中点G，连结．若，，求的面积．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，
（1）在图中作出关于轴对称的；
（2）其中的坐标为　 　；
（3）如果要使以、、为顶点的三角形与全等（与不重合），写出所有符合条件的点坐标．
21．如图，是边长为的等边三角形，为中点．
（1）求的长．
（2）如图，点在线段上，连接并延长至点，使，连接，为线段上一动点．
①当时，求的长；
②若，且，求的最小值．
22．综合与实践
【实践任务】测量旗杆高度．
【工具素材】卷尺，升旗的绳子．
【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度．
（1）【实施方案1】
步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为17 m；
步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离BC为8 m．
根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为　 　m．
（2）【实施方案2】
步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长1 m；
步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距5 m．
结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度．
（3）【实施方案3】
步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C），另一端拉直至地面的点B处，并测得BC长度为5 m；
步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进4 m至点D，发现此时绳子另一端上升2 m至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态）
结合方案3中的数据，求旗杆c的高度．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】7
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】5
14．【答案】12.
15．【答案】
16．【答案】5
17．【答案】（1）解：因为Rt△ABC中， ∠BCA=90°， AC=12， AB=13，所以
所以BC=5.
（2）证明：∵在中，，
∴是直角三角形．
18．【答案】（1）解：如图所示，藏宝点D的位置即为所求．
（2）解： ∵EA=EB，
设点 E 坐标为(m，0)，由勾股定理可得：
解得： m=3，
∴E (3， 0) ．
19．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠AEF+∠ACE＝90°，∠BCE+∠CFD＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴∠AEF＝∠CFD，
∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF；
（2）解：在直角三角形ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，
由勾股定理得：，
∴，
∵点G是CE的中点，
∴，
∴，
∴，
即△ABG的面积为3．
20．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）(-2，3)
（3）解：如图：
由勾股定理可知： A1C1=，A1B1=
则以B1C1为一边，使另外两边长为分别确定点P1，P2，P3，可知这两个三角形全等， 则P1(-2，-1)，P2(0，-1)，P3(0，3).
∴符合条件的点坐标为：(-2，-1)，(0，3)，(0，-1)
21．【答案】（1）解：∵是边长为的等边三角形，点为中点，
∴，，
∴∠AOB=90°，
在中，，，
∴；
（2）解：①取中点，连接，则，
同理（）可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②在上取点，使，
同理①可得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的最小值为．
22．【答案】（1）15
（2）解：设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为（t+1）米，
依题意可得：，
解得：t=12
答：旗杆b的高度为12米．
（3）解：设AC=x 米，AB=y 米，则可得：
，
解得：
答：旗杆c的高度为12米．
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