湖南省长沙市2026年高考数学模拟练习卷（含答案）

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湖南省长沙市2026年高考数学模拟练习卷
一、选择题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．若数轴上有一个质点位于处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位，已知它在第10次运动后首次到达处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（　　）．
A．种 B．种
C．种 D．种
4．一个底面边长为的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（　　）
A．-3 B．0 C．1 D．4
6．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（　　）
A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1
7．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．已知分别是双曲线的左 右焦点，为左顶点，是双曲线在第四象限上一点，的斜率为，且，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
二、多项选择题
9．已知直线和平面，则下列命题中正确的有（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图所示为函数（，）的部分图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．在区间上单调递增
C．将的图象向右平移个单位可以得到的图象
D．方程在上有三个根
11．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率分别是，则（　　）
A．以为直径的圆与轴相切；
B．
C．
D．分别过两点作抛物线的切线相交于点，则点在上.
三、填空题
12．已知数列是公比不为1的等比数列，从中任取四项，则这四项依然构成等比数列的概率为　 　．
13．如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为　 　.
14．圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为　 　．
四、解答题
15．已知在中，角A，B，C所对的边记为a，b，c，设其外心为O.若.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积.
16．在一个不透明的袋子中放有n个除颜色外完全相同的小球，其中有m个红色球与个白色球（满足且n，）.现设计如下试验流程：每次从袋中随机摸取一球，若为红色球则定义为“成功”事件，每次“成功”后将对应红球永久移除；若抽取为白色球则将其放回袋中并重新摇匀，试验持续至袋中无红色球时终止.
（1）当，时，求前两次摸取过程中恰发生一次“成功”事件的概率；
（2）设，若第X次摸取时试验首次出现“成功”事件，记随机变量X的数学期望为，试比较与的大小；
（3）基于随机变量可加性原理，当，时，设试验终止时的累计抽取次数为.证明：.
17．如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点．
（1）求证：平面AEG∥平面BDH；
（2）求点A到平面BDH的距离．
18．已知函数，数列满足：，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：对任意，；
（3）定义，证明：.
19．如图，椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段的中点，点O为坐标原点.直线与直线相交于点M.已知面积有最大值为.
（1）当点M坐标为时，求；
（2）证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】A,C
10．【答案】A,C
11．【答案】A,B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】8
15．【答案】（1）解：因为，，
由正弦定理，得，，
因为A，B，，
所以（舍去）或，
则，
又因为，
所以.
（2）解：因为点O是的外心，
所以（R为外接圆半径），
则，
所以，
所以.
16．【答案】（1）解：设事件第一次摸球“成功”且第二次摸球未“成功”为A，
事件第一次摸球未“成功”且第二次摸球“成功”为B，
由题意，得，，
因此.
（2）解：因为，
由题意得，
则.
（3）解：设第次摸球时试验首次“成功”，
且从第次成功后又进行了次摸球恰好达到第k次“成功”，（）可知，
记4个阶段内每次摸到红球的概率分别为，，，，
则，，，，
由（2）可知，，
，.
因此.
17．【答案】（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OH，
△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，
所以EG∥BH，
又因为平面BDH，平面BDH，
所以EG∥平面BDH，
同理可得AG∥平面BDH，
因为AG，平面AEG，，
所以，平面AEG∥平面BDH．
（2）解：记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为，，
则，
因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，，
所以，
在△PBC中，，
在△BCH中，，
同理可得，，
又因为O为BD中点，
所以OH⊥BD，
在△BDH中，，，
因为，
所以．
18．【答案】（1）解：因为（），
所以，令，
所以，令，
则，时，时，
所以时单调递减，时单调递增，
所以时，取得最小值，
所以；
（2）证明：大方向就是数列为递减的且，
，
引入待定常数，使得，
令，解得，
将这两值分别代回上式，
如此一来，就得到，
两式相除，有，
所以是以为公比的等比数列，
从而知，
又知，故上式右端，
即有，
另一方面，，
即也就是数列为递减，
有；
（3）证明：由（1）知当时，
即由（2）知，
而对任意，
从而，
于是，
注意到，
于是，
而，即，
于是．
19．【答案】（1）解：由题意得，，，
解得，，
所以，椭圆C的方程为.
当点M坐标为时，，
设，则，
代入椭圆方程得，
解得或（舍去），
则，
又因为，
所以.
（2）证明：设直线AD：，与椭圆C方程联立，
得，，
因为，
所以，
则，，
又因为，
所以，直线的斜率，
则，
所以.
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