四川省名校联考2025-2026学年下学期高三3月月考数学试卷（含解析）

高三数学检测
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 在等差数列 中, ,则
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 已知集合 ,则图中阴影部分表示的集合为
A. 或 B.
C. 或 D.
3. 已知 是偶函数，当 时， ，则
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
4. 在 所在的平面内, 关于 的对称点是 ,则
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，则 “ 的最小正周期大于 4 ”是 “ 在 上单调递增”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句. 某瓷枕如图 1 所示，其横截面如图 2 所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为
图 1
图 2
A. B. C. D.
7. 已知正三棱台 的高为 ，则二面角 - 的大小为
A. B. C. D.
8. 将一些相同的小球放入一排相同的盒子中，每个盒子中至多放一个小球. 若要放三个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为 ,要放四个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为 ,若 ,则这一排盒子的总个数为
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若复数 ,则
A. B. 的共轭复数为
C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限
10. 若 ,则函数 的大致图象可能为
A
B
C
D
11. 已知半径为 的圆 与射线 轴正半轴均相切,半径为 的圆 与射线 轴正半轴均相切,且与圆 外切,则下列结论正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则点 的坐标为
C. 若 ,则数列 的前 项和小于
D. 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在一组数据1,2,3,5,7中加入一个数 后,得到一组新数据,且新数据组的 60% 分位数等于原数据组的 60% 分位数，则 _____▲_____.
13. 已知 是抛物线 上的一个动点， ，点 到 轴的距离为 ，且 的最小值为 4，则 _____▲_____.
14. 在长方体 中， 且 ，一只蚂蚁从顶点 出发沿长方体的表面爬到顶点 ,若蚂蚁爬行最短路径的长度为 ,则该长方体体积的最大值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
有动物类和植物类两个谜语题库, 甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为 0.8,0.5 . 现有两种答题方案: 方案一, 甲先从动物类题库中选一道谜语作答, 猜对得奖金 15 元, 且只有猜对该道谜语, 才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答, 猜对第二道得奖金 25 元; 方案二, 甲从动物类题库中选两道谜语作答, 每猜对一道得奖金 15 元.
(1)若甲选择方案一的奖金金额为 元,求 的分布列与期望.
(2)以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案？并说明理由.
16. (15 分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 及 ；
(2)求 周长的最大值.
17.(15分)
已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线垂直， 求 ;
(2)若函数 有两个极值点,求 的取值范围.
18.(17分)
如图，在四棱锥 中，平面 平面
(1)证明: 平面 .
(2)已知 ，点 ， ， ， ， 在同一个球的球面上，设该球的球心为() .
①在图中指出点 的位置，并说明理由；
②若 为线段 上的一点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
19.(17 分)
平面内一动点 到直线 的距离为 ，到直线 的距离为 ，且 ,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)已知过点 且斜率不为 0 的直线 与 交于 ， 两点，点 ，直线 分别交 轴于 两点,且 ,求 的方程;
(3)以点 为端点作 条射线分别与 交于 (射线 ， 按逆时针方向旋转),且 ,求 .
高三数学检测参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 C B A D B D C B AC BD ACD 4 2
【评分细则】
【1】第 1~8 题,凡与答案不符的均不得分.
【2】第 9,10 题,全部选对的得 6 分,有选错的不得分,每选对一个得 3 分; 第 11 题,全部选对的得 6 分, 有选错的不得分, 每选对一个得 2 分.
【3】第 题,凡与答案不符的均不得分.
1. C 本题考查等差中项,考查数学运算的核心素养.
因为 ,所以 .
2. B 本题考查集合的基本运算与 Venn 图, 考查直观想象的核心素养.
由图可知阴影部分表示的集合为 .
3. A 本题考查抽象函数求值与函数的奇偶性, 考查数学运算的核心素养.
令 ,则 ,得 ,所以 .
4. D 本题考查平面向量的线性运算, 考查逻辑推理的核心素养.
5.B 本题考查正切函数的性质与充分、必要条件, 考查逻辑推理的核心素养.
由 的最小正周期大于 4,得 ,则 . 由 ,得 ,若 在 上单调递增,则 ,得 . 故“ 的最小正周期大于 4”是“ 在 上单调递增”的充分不必要条件.
6.D 本题考查双曲线的离心率, 考查数学建模的核心素养和 应用意识.
建立如图所示的平面直角坐标系. 设该双曲线 . 由 ,得 .
易得点 在 上,则 ,得 ,所以 的离心率为 .
7.C 本题考查三棱台与二面角, 考查数学运算的核心素养和空间想象能力.
如图,设 的中点分别为 ,连接 . 设 在底面 上的投影为 在底面 上的投影为 的中心为 . 易证 ,所以二面角 的平面角为 . 因为 ,所以 . 易证 平面 ,则 ,又 ,所以 .
8.B 本题考查排列组合的实际应用, 考查应用意识.
设这一排盒子的总个数为 . 先将装有小球的盒子拿开,再插入到 个盒子之间, 得 ,同理可得 . 由 ,得 ,得 ,得 舍去).
9.AC 本题考查复数, 考查数学运算的核心素养.
由题意得 ,则 的共轭复数为 正确, B 错误. 因为 ,所以 为实数, 正确. 因为 1-2i,所以 在复平面内对应的点 位于第四象限, 错误.
10.BD 本题考查对数函数的图象，考查数学运算与直观想象的核心素养.
由 ,得 或 . 当 时,由 ,得 ,得 ,此时将函数 的图象向左平移 个单位长度,可得到选项 的图象,不可能得到选项 的图象,故 错误, 正确. 当 时,由 2，得 ，得 ，此时将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得到选项 的图象，不可能得到选项 的图象，故 错误， 正确.
11. ACD 本题直线与圆、圆与圆的位置关系及数列的综合应用, 考查直观想象、逻辑推理的核心素养和创新意识.
如图,过点 分别作 ,垂足分别为 ,过点 作 ,垂足为 .
设 ,易得
由 ,得 ,所以 是首项为 1, 公比为 的等比数列,所以 ,点 的坐标为 . 由 ,得 ,所以 正确.
由 ,得 (负根舍去),则 ,所以 ,点 的坐标为 错误.
的前 项和为 正确.
,由 ,得 ,得 ,得 , 所以 正确.
12.4 本题考查百分位数, 考查数据处理能力.
因为 ,所以原数据组的 分位数为 . 因为 ,所以新数据组的第 4 个数为 4 ,所以 .
13.2 本题考查抛物线的性质, 考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
由题意得 的焦点为 ,准线方程为 . 设点 到直线 的距离为 , 则 ,所以 ,则 ,解得
14. 本题考查立体几何与导数的综合应用,考查直观想象与数学建模的核心素养.
设 ，则 . 如图，若蚂蚁爬行的路线经过棱 ，则最短路径的长度为 ; 若蚂蚁爬行的路线经过棱 ,则最短路径的长度为 ; 若蚂蚁爬行的路线经过棱 ,则最短路径的长度为 . 由 ,得 ,所以蚂蚁爬行最短路径的长度为 ,得 . 因为 ,所以 . 该长方体的体积 ,则 ,当 时, 单调递增,当 时, 单调递减, 所以该长方体体积的最大值为 .
15.本题考查随机变量的分布列和期望, 考查逻辑推理的核心素养和应用意识.
解: (1) 的可能取值为 0,15,40 . 1 分
2 分
3 分
4 分
所以 的分布列为
0 15 40
0.2 0.4 0.4
5 分
故 . 6 分
(2)甲应该选择方案二. 7 分
理由如下:
当甲选择方案二时,设他猜对的谜语数量为 ,获得的奖金金额为 元,则 . 8 分
由题意得 , 9 分
则 , 10 分
所以 . 12 分
因为 ,所以甲应该选择方案二. 13 分
【评分细则】
第(2)问还可以这样解答:
甲应该选择方案二. 7 分
理由如下:
设甲选择方案二的奖金金额为 元,则 的可能取值为 0,15,30 . 8 分
9 分
10 分
11 分
所以 . 12 分
因为 ,所以甲应该选择方案二. 13 分
16.本题考查正弦、余弦定理,考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
解:(1)由余弦定理得 , 3 分则 ,得 . 4 分
由 ,得 ,则 . 6 分
因为 ,所以 . 7 分
(2)由余弦定理 ，得 ， 9 分
则 , 12 分
所以 , 13 分
当且仅当 时,等号成立. 14 分
故 周长的最大值为 . 15 分
【评分细则】
【1】在第(1)问中，未写“ ”，不扣分.
【2】在第(2)问中，未写“ ”，扣 1 分.
17.本题考查一元函数的导数及应用, 考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
解: (1) , 1 分
设 ,则 , 2 分
则 ,得 , 4 分
所以 . 5 分
(2) . 6 分
因为 有两个极值点,所以 在 上有两个不同的变号零点. 7 分
令 ,得 ,则函数 的图象与直线 有两个交点. 8 分
,令 ,得 ,则 的单调递增区间为 ,
9 分
令 ,得 ,则 的单调递减区间为 , 10 分
所以 的最大值为 . 12 分
因为 ,且当 时, , 13 分
所以 . 故 的取值范围为 . 15 分
【评分细则】
在第(2)问中，未写“当 时， ”，扣 1 分；未写“ ”，但写了“当 时， ”，不扣分.
18.本题考查线面平行、四棱锥的外接球与线面角, 考查直观想象、数学运算及逻辑推理的核心素养.
(1)证明: . 2 分
平面 平面 平面 . 4 分
(2)解:①如图， 为 的中点. 5 分理由如下:
设 的中点分别为 ,连接 . 6 分
是正三角形,
,
是正三角形, . 7 分
. 8 分
平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
平面 ,又 平面 . 9 分易得 ,
点 均在球 的球面上,故 为 的中点. 10 分
②以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则 , . 11 分
设平面 的法向量为 ,则
令 ,得 ,得 . 13 分
设 ,则 , 14 分
直线 与平面 所成角的正弦值为 15 分
则 ,得 . 16 分故 . 17 分
【评分细则】
【1】在第(1)问中，未写“ABC平面 ”，扣 1 分.
【2】在第(2)①问中，未写“平面 平面 ”，扣 1 分.
【3】在第(2)②问中，平面 的法向量不唯一，与 平行的非零向量均可.
19.本题考查轨迹方程、直线与椭圆的位置关系, 考查数学建模和数学抽象的核心素养、 化归与转化的数学思想和创新意识.
解: (1) 设动点 ,则 , 2 分
所以 , 3 分
得 ,所以 的方程为 . 4 分
(2)设 . 由 得 5 分得 6 分
设 . 由 ,得 ,则 ,同理可得 7 分
则
,得 .
9 分
故 的方程为 或 . 10 分
(3)如图，设 .
由 ,得 ,
则 11 分
设 ,则 ,结合 ,得 .
12 分同理可得 , 所以 . 13 分因为 14 分 15 分且 ,所以 , 16 分故 17 分
【评分细则】
【1】在第(1)问中，最后 的方程写为 “ ”，不扣分.
【2】在第(2)问中，未写“ ”，不扣分；最后 的方程写为 “ 或 ”，不扣分.
【3】在第(3)问中，直接写“由焦半径公式得 ”，扣 1 分.
【4】在第(3)问中，求出 后, 还可以这样解答:
当 时, .
当 时,如图,单位圆内接正 边形. 易知 ,
均全等,则
上述式子相加得 ,
当 变化时, 不唯一,所以 .
14 分
设 ,则 15 分
由 ,得 . 16 分
故
17 分