2026年高考数学模拟冲刺卷1（1卷）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学模拟冲刺卷1（1卷）（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-20 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年高考数学模拟冲刺卷1（1卷）
一、单选题（每题5分，共40分）
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B．i C． D．
3．已知平面向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A．3 B． C．4 D．5
6．已知双曲线，是过右焦点且垂直于轴的弦，若点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知、均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（每题6分，共18分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．若事件A与事件B相互独立，，，则
B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8
C．一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥
D．1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507
10．设函数，且记，则（ ）
A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512
C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0
11．一封闭圆锥容器（容器厚度忽略不计）的轴截面是边长为10的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为
B．小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为2
C．小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为4
D．小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为
三．填空题（每题5分，共15分）
12．某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为__________.
13．直径为2的球与一个正方体的各个面相切，过正方体的一条棱作一平面，该平面被正方体截得的长方形面积为，则球被截面截得的圆的面积为______.
14．已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（15分）．在中，内角、、所对的边分别为、、，，且满足．
(1)求角；
(2)若角的角平分线交于点，，求的周长．
16（13分）．BMI指数是体重指数，当18.5≤BMI≤23.9时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的BMI数据进行统计，得到如下2×2列联表：
BMI数据 合计
正常范围 不正常范围
男顾客 75 15 90
女顾客 30 20 50
合计 105 35 140
(1)依据小概率值（＝0.005的独立性检验，能否推断出男、女顾客的BMI是否存在差异？
(2)该机构统计出上述男顾客平均体重为70kg，女顾客的平均体重为56kg，试估计该机构全体顾客的平均体重．
公式：，其中n＝a＋b＋c＋d．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
17（15分）．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
18（17分）．已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．
(1)求的标准方程；
(2)若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）设，求的最小值．
19（17分）．已知函数.
(1)对任意，是的必要条件，求的最小值；
(2)对任意，函数存在两个零点.
（i）求的取值范围；
（ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时，.
参考答案
一．单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D C B A D
二．多选题
8.AC
9.BD
10.AC
三．填空题
12. 112 13. 14.
四．解答题
15.【详解】（1）因为及正弦定理可得，
即，
即，
因为、，则，所以，可得，故.
（2）因为，即，
可得①，
由余弦定理可得②，
联立①②可得，即，
因为，解得，故的周长为.
16.【详解】（1）零假设为：男、女顾客的BMI不存在差异，
.
因为，所以依据小概率值的独立性检验，
能够推断出男、女顾客的BMI存在差异.
（2）由题意，样本中男顾客占，女顾客占.
估计该机构全体顾客的平均体重为kg.
17.【详解】（1）平面平面，平面平面 ，，且平面，则平面，
因平面，则，又，则，
因平面，则平面，
又平面，故平面平面.
（2）由平面，平面平面，平面，则
故为的中点，取的中点，连接，，
则平面，因平面，则，
，平面，所以平面
故可以为坐标原点，，所在直线为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则，故可取，
设与平面所成角为，则.
（3）由（1）知，平面，因平面，则，即为直角三角形，
又也为直角三角形，则三棱锥外接球的球心为线段的中点.
，即 ，在平面外，在平面内，则平面，
故点到平面的距离等于点到平面的距离，又等于点到平面的距离的一半.
故，
而，故.
18.【详解】（1）由题意有，所以.
设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以.
又，所以.
所以，即，解得.
所以，，故的标准方程为．
（2）（ⅰ）设，，，则，由题意有．
直线的斜率即的斜率为，所以直线的方程.
所以，又，在椭圆上，
∴，∴.
∴，
∴.
（ⅱ）∵，
而，，
由（ⅰ）知，
∴，又，
∴，
∴.
当且仅当，即时等号成立.
所以．的最小值为．
19.【详解】（1）∵对任意，是的必要条件，
∴，
在上单调递增，
则，即在上恒成立，
令，，
在单调递减，
.
（2）（i）因为对有两个不等的实根，
所以有两个零点
令，
当，则，当，则，
所以在单调递减；单调递增，
，
要使有两个零点，只需，
即，令，
在(0,1)单调递增；单调递减，
.
(ii)令，则，，即，
构造方程，两根为，
令，其中的两根为
令则，令，则，
在单调递减；单调递增，作出大致图象如下：
令，
在单调递减；单调递增，
当时，，此时最小.
取最小值时，.
一、单选题（每题5分，共40分）
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B．i C． D．
3．已知平面向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A．3 B． C．4 D．5
6．已知双曲线，是过右焦点且垂直于轴的弦，若点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知、均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（每题6分，共18分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．若事件A与事件B相互独立，，，则
B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8
C．一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥
D．1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507
10．设函数，且记，则（ ）
A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512
C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0
11．一封闭圆锥容器（容器厚度忽略不计）的轴截面是边长为10的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为
B．小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为2
C．小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为4
D．小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为
三．填空题（每题5分，共15分）
12．某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为__________.
13．直径为2的球与一个正方体的各个面相切，过正方体的一条棱作一平面，该平面被正方体截得的长方形面积为，则球被截面截得的圆的面积为______.
14．已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（15分）．在中，内角、、所对的边分别为、、，，且满足．
(1)求角；
(2)若角的角平分线交于点，，求的周长．
16（13分）．BMI指数是体重指数，当18.5≤BMI≤23.9时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的BMI数据进行统计，得到如下2×2列联表：
BMI数据 合计
正常范围 不正常范围
男顾客 75 15 90
女顾客 30 20 50
合计 105 35 140
(1)依据小概率值（＝0.005的独立性检验，能否推断出男、女顾客的BMI是否存在差异？
(2)该机构统计出上述男顾客平均体重为70kg，女顾客的平均体重为56kg，试估计该机构全体顾客的平均体重．
公式：，其中n＝a＋b＋c＋d．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
17（15分）．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
18（17分）．已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．
(1)求的标准方程；
(2)若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）设，求的最小值．
19（17分）．已知函数.
(1)对任意，是的必要条件，求的最小值；
(2)对任意，函数存在两个零点.
（i）求的取值范围；
（ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时，.
参考答案
一．单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D C B A D
二．多选题
8.AC
9.BD
10.AC
三．填空题
12. 112 13. 14.
四．解答题
15.【详解】（1）因为及正弦定理可得，
即，
即，
因为、，则，所以，可得，故.
（2）因为，即，
可得①，
由余弦定理可得②，
联立①②可得，即，
因为，解得，故的周长为.
16.【详解】（1）零假设为：男、女顾客的BMI不存在差异，
.
因为，所以依据小概率值的独立性检验，
能够推断出男、女顾客的BMI存在差异.
（2）由题意，样本中男顾客占，女顾客占.
估计该机构全体顾客的平均体重为kg.
17.【详解】（1）平面平面，平面平面 ，，且平面，则平面，
因平面，则，又，则，
因平面，则平面，
又平面，故平面平面.
（2）由平面，平面平面，平面，则
故为的中点，取的中点，连接，，
则平面，因平面，则，
，平面，所以平面
故可以为坐标原点，，所在直线为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则，故可取，
设与平面所成角为，则.
（3）由（1）知，平面，因平面，则，即为直角三角形，
又也为直角三角形，则三棱锥外接球的球心为线段的中点.
，即 ，在平面外，在平面内，则平面，
故点到平面的距离等于点到平面的距离，又等于点到平面的距离的一半.
故，
而，故.
18.【详解】（1）由题意有，所以.
设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以.
又，所以.
所以，即，解得.
所以，，故的标准方程为．
（2）（ⅰ）设，，，则，由题意有．
直线的斜率即的斜率为，所以直线的方程.
所以，又，在椭圆上，
∴，∴.
∴，
∴.
（ⅱ）∵，
而，，
由（ⅰ）知，
∴，又，
∴，
∴.
当且仅当，即时等号成立.
所以．的最小值为．
19.【详解】（1）∵对任意，是的必要条件，
∴，
在上单调递增，
则，即在上恒成立，
令，，
在单调递减，
.
（2）（i）因为对有两个不等的实根，
所以有两个零点
令，
当，则，当，则，
所以在单调递减；单调递增，
，
要使有两个零点，只需，
即，令，
在(0,1)单调递增；单调递减，
.
(ii)令，则，，即，
构造方程，两根为，
令，其中的两根为
令则，令，则，
在单调递减；单调递增，作出大致图象如下：
令，
在单调递减；单调递增，
当时，，此时最小.
取最小值时，.
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