2026年高考数学模拟冲刺卷5（1卷）（含答案）

2026年高考数学模拟冲刺卷5（1卷）
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2．“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
5在正四面体中，为棱的中点，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间上的极值点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知实数，，且满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（每题6分，共18分）
9．在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．面积的最大值为
D．若，角的平分线交于点，则
10．已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C． D．点到轴的距离为
11．设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A．相互独立 B．
C． D．
三．填空题（每题5分，共15分）
12．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程是_______.
13．2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法．
14．已知圆经过点，，且圆心在直线上，若直线：与圆相交，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（15分）已知正项数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
16（13分）．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，．
(1)求证：，，，四点共面；
(2)设，求平面与平面夹角的余弦值．
17（17分）．某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表：
每周课外阅读时长
频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15
同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表：
写作水平良好 写作水平一般 合计
每周课外阅读时长不低于6小时 50
每周课外阅读时长低于6小时 80
合计 200
(1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关；
(2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望．
附：．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
18（17分）．已知椭圆C：（）的焦距与短轴长均为.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知直线：（）与椭圆C交于A，B两点，点A在x轴上方，过点B作斜率为的直线，交椭圆C于另一个点P.
①证明：.
②求面积的最大值.
．
19（15分）．已知函数．
(1)若函数过原点的切线为，求实数的值；
(2)若函数的图象与相交于两个不同点，，记直线的斜率为．
（i）当时，求实数取值范围；
（ii）当时，证明：．
参考答案
一．单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B C B A B D
二．多选题
8.BCD
9.ABD
10.ABD
三．填空题
12. 13. 150 14.
四．解答题
15.【详解】（1）由，当时，，
则，即，
所以，即，
由数列为正项数列，所以，从而有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，．
（2）由（1）知，所以，
，则，
从而，
即，
所以.
16【详解】（1）由平面平面，，得平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：
设，
则，
故，，
共面.
（2）设，故，
设平面的法向量为，
由，
得，取，可得；
，
设平面的法向量为，
由，
得，取，所以，
，
设平面与平面夹角为
,
即平面与平面夹角的余弦值.
17.【详解】（1）每周课外阅读时长不低于6小时的学生人数为（人），
每周课外阅读时长低于6小时的学生人数为（人），所以列联表
为：
写作水平良好 写作水平一般 合计
每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80
每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120
合计 90 110 200
所以，
依据小概率值的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关．
（2）根据分层抽样原理， 组抽取人数为（人），
组人数为（人），则X的取值可能为，
所以，
则分布列如下所示：
X 0 1 2
P
所以．
18.【详解】（1）由题意可得，解得，，
所以椭圆C的标准方程是.
（2）解法一：联立方程，解得或.
因为点A在x轴上方，所以，，
则直线的方程为，即.
又由，消去y化简得，
则，所以，
故点P的坐标为.如图：
①证明：因为，，
所以直线的斜率，
所以，故.
②因为，，
所以.
因为，，
所以
.
因为，所以的面积.
设，由，得，当且仅当时，等号成立，
所以.
因为对勾函数在上单调递增，所以，
故，当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
19.【详解】（1）设切点为，，所以，所以，
所以函数在处的切线为，
将代入得，解得，
（2）（ⅰ）当时，原问题有两个不等实根．
法一：设，
则
∴当时，，当时，
在递减，递增，
，，，
法二：
，令，
则，在上递增，
，使得，当时，，当时，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，
设，则
当时，，当时，，
，．
（ⅱ）设，，不妨设
则，即，
令，
则，是方程两个根．
又
欲证，只需证
设
则
∴当时，；当时，；
在递减，递增，
设
下面证明
，
设，，则
故．
在递增，，
，，
又在递减，，故．