浙江省温州市平阳县第三中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·平阳月考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】这道题的核心是先将直线方程化为斜截式，求出斜率，再由斜率求出对应的倾斜角。
2．（2025高二上·平阳月考） 双曲线 的离心率为（ ）。
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的标准方程为，则离心率.
故答案为：B.
【分析】化双曲线方程为标准方程，根据离心率公式求解即可.
3．（2025高二上·平阳月考）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将圆的方程化为标准方程，
所以圆心坐标为，圆的半径为5，
直线恒过定点，
，点在圆内，所以直线与圆相交，
故答案为：C.
【分析】这道题的核心是先确定直线所经过的定点，再判断该定点与圆的位置关系，从而得出直线与圆的位置关系。
4．（2025高二上·平阳月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间直角坐标系；空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量在向量上的投影向量为，
故答案为：C.
【分析】代入投影向量的公式，得解.
5．（2025高二上·平阳月考）在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
设平面的法向量为，
则，令，得，所以，
故，设直线与平面所成角为，
则，所以.
故答案为：D
【分析】建系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用线面角的向量法求解即可..
6．（2025高二上·平阳月考）已知数列满足，，，若数列是递增数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由数列是递增数列，解得，
化简可得，即对于恒成立，所以，
故答案为：C.
【分析】这道题的核心是利用递增数列的定义，推导出关于的不等式，再根据的取值范围确定的取值。
7．（2025高二上·平阳月考）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对，令，则，
所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.
故答案为：C
【分析】由焦点特征，y=0代入直线方程得焦点坐标及P得值，即得抛物线的方程，写出准线方程和点B，A，代入焦半径公式得解.
8．（2025高二上·平阳月考）已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：如图，
圆，圆心为点，设线段的中点为，
得，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，
即为可看作点到直线的距离，
同理，可看作点到直线的距离，
因此可看作点到直线的距离，
于是点到直线的距离最大值即，则，即，故D正确．
故答案为：D
【分析】先利用垂径定理确定弦 AB 中点 M 的轨迹方程，再将所求表达式转化为点到直线的距离问题，利用圆的性质求最大值。
9．（2025高二上·平阳月考）设，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则或
D．若，，则或
【答案】A,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：因为垂直于同一直线的两平面平行，故A正确；
因为平行于同一平面的两直线可能相交、平行或异面，故B错误；
因为垂直于同一平面的平面和直线可能平行，可能线在面内，故C正确；
因为垂直于同一直线的平面和直线可能平行，可能线在面内，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和线线、线面、面面关系，从而逐项判断，即可找出真命题的选项.
10．（2025高二上·平阳月考）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
【答案】C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当时，，
因为，所以，
则是递减数列，故A错误；
因为，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，
又因为是正整数，且或距离对称轴一样远，
所以当或时，取得最大值，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据的表达式和当时，的关系式，从而得出数列的通项公式，从而判断出选项A、选项B和选项C；利用结合二次函数的图象求最值的方法，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．（2025高二上·平阳月考）已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（ ）
A．若是的中点，则平面
B．若是的中点，则平面
C．的最大值是
D．的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：是的中点，，，，∴是的中点.
连接交于点如图所示
，∴四边形是平行四边形，.
又平面，平面，平面，故A正确；
以为原点如图建立空间直角坐标系，若是的中点，此时是的中点，
那么，，，，
而平面的一个法向量.，
不是平面的法向量，故B错误；
当与重合时，最大，为，故C正确；
设，，则，
，，，
，，
设，，，
故，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】这道题是关于正方体中动点的综合问题，我们可以通过建立空间直角坐标系，用坐标代数的方法来逐一分析每个选项。
12．（2025高二上·平阳月考）已知平面向量若，则
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
【分析】先由减法运算得坐标，再代入向量垂直的坐标公式得，解出x值，代入求模公式得解.
13．（2025高二上·平阳月考）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是 .
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由
，
因为为整数且，所以.
故答案为：.
【分析】代入两个等差数列比值可转换为，再代入等差数列求和公式得解.
14．（2025高二上·平阳月考）已知椭圆为C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且的内心，若的面积为，则椭圆的离心率e为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，设延长线交轴于点，作轴于，不妨设在第一象限，
，，
是内心，则，
所以，，，．
故答案为：．
【分析】结合三角形内心的性质、椭圆的定义以及面积公式，建立关于 a 和 c 的方程，从而求解离心率 e。
15．（2025高二上·平阳月考）已知直线的方程为．
（Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程；
（Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．
【答案】（ Ⅰ ）解：设直线的方程为：
直线过点（1，-3），把点（1，-3）代入直线方程可得
解得
直线的方程为：．
( Ⅱ )设直线的方程为：
令，得；令，得
则，得
直线的方程为：或．
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用直线与垂直关系设直线的方程为：，将点 代入方程即可求解；（Ⅱ）先利用直线与平行设直线的方程，求出与两坐标的交点，再结合直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程即可求解.
16．（2025高二上·平阳月考）已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，椭圆的短轴长是，离心率是.
（1）求椭圆方程.
（2）倾斜角为的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求弦长.
【答案】（1）解：设椭圆方程为，
则，解得，
椭圆方程为
（2）解：由（1）左焦点为，直线方程为，
由， 解得或，即，
所以
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)根据椭圆的基本性质，短轴长为 ，离心率 ，结合 可求出 的值，从而得到椭圆方程。
(2)先求出椭圆的左焦点坐标，写出倾斜角为 的直线方程，再将直线与椭圆方程联立，求出交点坐标，最后用两点间距离公式或弦长公式求出弦长。
17．（2025高二上·平阳月考）在平行六面体中，，，．记向量，向量，向量．
（1）取的中点M，用向量来表示向量；
（2）求向量和向量所成角的余弦值．
【答案】（1）解：
（2）解：，，
又，，，
所以，，
所以
；
，
所以，
又
，
所以，所以，
故和所成角的余弦值为.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由空间向量的线性运算得得解；
（2）先将，表示出来，再代入空间向量的数量积可得，代入模长公式得，，代入夹角公式计算即可.
（1）
（2），，
又，，，
所以，，
所以
；
，
所以，
又
，
所以，所以，
故和所成角的余弦值为.
18．（2025高二上·平阳月考）已知是等比数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
则，所以，
又，所以，所以，
所以数列的通项公式为
（2）解：由（1）得，，
所以，
所以
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)利用等比数列前 项和的性质 ，求出公比 ，再代入 求出首项 ，从而得到通项公式。
(2)先求出 的表达式，再将 裂项为 ，最后用裂项相消法求前 项和 。
（1）设等比数列的公比为，
则，所以，
又，所以，所以，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，，
所以，
所以.
19．（2025高二上·平阳月考）在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由已知得：，所以，
化简可得：，即动点的轨迹为双曲线.
（2）解：
因为，
所以，即，
所以．
显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为，
，，，
联立，可得，
首先有，且，
由韦达定理得，，
因为，所以，
即，整理得，
所以，化简得，
当时，方程恒成立，
当时，解得，
故在轴上存在点，使得．
【知识点】双曲线的标准方程；曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)直接根据题意列出距离之比的等式，通过代数化简得到动点的轨迹方程。
(2)先将面积比转化为角相等的条件，即MF是∠PMQ的角平分线，再利用角平分线的斜率关系或向量点积，结合韦达定理求出定点M的坐标。
（1）由已知得：，所以，
化简可得：，即动点的轨迹为双曲线.
（2）因为，
所以，即，
所以．
显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为，
，，，
联立，可得，
首先有，且，
由韦达定理得，，
因为，所以，
即，整理得，
所以，化简得，
当时，方程恒成立，
当时，解得，
故在轴上存在点，使得．
1 / 1浙江省温州市平阳县第三中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·平阳月考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·平阳月考） 双曲线 的离心率为（ ）。
A． B． C． D．
3．（2025高二上·平阳月考）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能
4．（2025高二上·平阳月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·平阳月考）在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·平阳月考）已知数列满足，，，若数列是递增数列，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·平阳月考）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2025高二上·平阳月考）已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·平阳月考）设，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则或
D．若，，则或
10．（2025高二上·平阳月考）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
11．（2025高二上·平阳月考）已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（ ）
A．若是的中点，则平面
B．若是的中点，则平面
C．的最大值是
D．的最小值为
12．（2025高二上·平阳月考）已知平面向量若，则
13．（2025高二上·平阳月考）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是 .
14．（2025高二上·平阳月考）已知椭圆为C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且的内心，若的面积为，则椭圆的离心率e为 ．
15．（2025高二上·平阳月考）已知直线的方程为．
（Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程；
（Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．
16．（2025高二上·平阳月考）已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，椭圆的短轴长是，离心率是.
（1）求椭圆方程.
（2）倾斜角为的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求弦长.
17．（2025高二上·平阳月考）在平行六面体中，，，．记向量，向量，向量．
（1）取的中点M，用向量来表示向量；
（2）求向量和向量所成角的余弦值．
18．（2025高二上·平阳月考）已知是等比数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．（2025高二上·平阳月考）在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】这道题的核心是先将直线方程化为斜截式，求出斜率，再由斜率求出对应的倾斜角。
2．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的标准方程为，则离心率.
故答案为：B.
【分析】化双曲线方程为标准方程，根据离心率公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将圆的方程化为标准方程，
所以圆心坐标为，圆的半径为5，
直线恒过定点，
，点在圆内，所以直线与圆相交，
故答案为：C.
【分析】这道题的核心是先确定直线所经过的定点，再判断该定点与圆的位置关系，从而得出直线与圆的位置关系。
4．【答案】C
【知识点】空间直角坐标系；空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量在向量上的投影向量为，
故答案为：C.
【分析】代入投影向量的公式，得解.
5．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
设平面的法向量为，
则，令，得，所以，
故，设直线与平面所成角为，
则，所以.
故答案为：D
【分析】建系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用线面角的向量法求解即可..
6．【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由数列是递增数列，解得，
化简可得，即对于恒成立，所以，
故答案为：C.
【分析】这道题的核心是利用递增数列的定义，推导出关于的不等式，再根据的取值范围确定的取值。
7．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对，令，则，
所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.
故答案为：C
【分析】由焦点特征，y=0代入直线方程得焦点坐标及P得值，即得抛物线的方程，写出准线方程和点B，A，代入焦半径公式得解.
8．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：如图，
圆，圆心为点，设线段的中点为，
得，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，
即为可看作点到直线的距离，
同理，可看作点到直线的距离，
因此可看作点到直线的距离，
于是点到直线的距离最大值即，则，即，故D正确．
故答案为：D
【分析】先利用垂径定理确定弦 AB 中点 M 的轨迹方程，再将所求表达式转化为点到直线的距离问题，利用圆的性质求最大值。
9．【答案】A,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：因为垂直于同一直线的两平面平行，故A正确；
因为平行于同一平面的两直线可能相交、平行或异面，故B错误；
因为垂直于同一平面的平面和直线可能平行，可能线在面内，故C正确；
因为垂直于同一直线的平面和直线可能平行，可能线在面内，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和线线、线面、面面关系，从而逐项判断，即可找出真命题的选项.
10．【答案】C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当时，，
因为，所以，
则是递减数列，故A错误；
因为，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，
又因为是正整数，且或距离对称轴一样远，
所以当或时，取得最大值，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据的表达式和当时，的关系式，从而得出数列的通项公式，从而判断出选项A、选项B和选项C；利用结合二次函数的图象求最值的方法，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：是的中点，，，，∴是的中点.
连接交于点如图所示
，∴四边形是平行四边形，.
又平面，平面，平面，故A正确；
以为原点如图建立空间直角坐标系，若是的中点，此时是的中点，
那么，，，，
而平面的一个法向量.，
不是平面的法向量，故B错误；
当与重合时，最大，为，故C正确；
设，，则，
，，，
，，
设，，，
故，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】这道题是关于正方体中动点的综合问题，我们可以通过建立空间直角坐标系，用坐标代数的方法来逐一分析每个选项。
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
【分析】先由减法运算得坐标，再代入向量垂直的坐标公式得，解出x值，代入求模公式得解.
13．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由
，
因为为整数且，所以.
故答案为：.
【分析】代入两个等差数列比值可转换为，再代入等差数列求和公式得解.
14．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，设延长线交轴于点，作轴于，不妨设在第一象限，
，，
是内心，则，
所以，，，．
故答案为：．
【分析】结合三角形内心的性质、椭圆的定义以及面积公式，建立关于 a 和 c 的方程，从而求解离心率 e。
15．【答案】（ Ⅰ ）解：设直线的方程为：
直线过点（1，-3），把点（1，-3）代入直线方程可得
解得
直线的方程为：．
( Ⅱ )设直线的方程为：
令，得；令，得
则，得
直线的方程为：或．
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用直线与垂直关系设直线的方程为：，将点 代入方程即可求解；（Ⅱ）先利用直线与平行设直线的方程，求出与两坐标的交点，再结合直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程即可求解.
16．【答案】（1）解：设椭圆方程为，
则，解得，
椭圆方程为
（2）解：由（1）左焦点为，直线方程为，
由， 解得或，即，
所以
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)根据椭圆的基本性质，短轴长为 ，离心率 ，结合 可求出 的值，从而得到椭圆方程。
(2)先求出椭圆的左焦点坐标，写出倾斜角为 的直线方程，再将直线与椭圆方程联立，求出交点坐标，最后用两点间距离公式或弦长公式求出弦长。
17．【答案】（1）解：
（2）解：，，
又，，，
所以，，
所以
；
，
所以，
又
，
所以，所以，
故和所成角的余弦值为.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由空间向量的线性运算得得解；
（2）先将，表示出来，再代入空间向量的数量积可得，代入模长公式得，，代入夹角公式计算即可.
（1）
（2），，
又，，，
所以，，
所以
；
，
所以，
又
，
所以，所以，
故和所成角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
则，所以，
又，所以，所以，
所以数列的通项公式为
（2）解：由（1）得，，
所以，
所以
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)利用等比数列前 项和的性质 ，求出公比 ，再代入 求出首项 ，从而得到通项公式。
(2)先求出 的表达式，再将 裂项为 ，最后用裂项相消法求前 项和 。
（1）设等比数列的公比为，
则，所以，
又，所以，所以，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，，
所以，
所以.
19．【答案】（1）解：由已知得：，所以，
化简可得：，即动点的轨迹为双曲线.
（2）解：
因为，
所以，即，
所以．
显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为，
，，，
联立，可得，
首先有，且，
由韦达定理得，，
因为，所以，
即，整理得，
所以，化简得，
当时，方程恒成立，
当时，解得，
故在轴上存在点，使得．
【知识点】双曲线的标准方程；曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)直接根据题意列出距离之比的等式，通过代数化简得到动点的轨迹方程。
(2)先将面积比转化为角相等的条件，即MF是∠PMQ的角平分线，再利用角平分线的斜率关系或向量点积，结合韦达定理求出定点M的坐标。
（1）由已知得：，所以，
化简可得：，即动点的轨迹为双曲线.
（2）因为，
所以，即，
所以．
显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为，
，，，
联立，可得，
首先有，且，
由韦达定理得，，
因为，所以，
即，整理得，
所以，化简得，
当时，方程恒成立，
当时，解得，
故在轴上存在点，使得．
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