海南省文昌市文昌中学2025-2026学年下学期高三3月月考数学试卷（含答案）

2025—2026 学年度第二学期高三第一次月考试题 数 学
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1. 若复数 满足 ，则 的虚部为( )
A. B. C. 1 D.
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为( )
A. B. -2 C. D. 2
4. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
5. 有 2 位老师和 3 名学生排成一队照相, 老师既不能分开也不排在首尾, 则不同的排法有( )
A. 48 种 B. 12 种 C. 36 种 D. 24 种
6. 已知 是随机事件，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知定义在 上的奇函数 和偶函数 ,则当 时, 的最大值为( )
A. 2 B. C. -1 D. 1
8. 有这样一种说法: 一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离, 但实际上, 因为纸张本身有厚度, 所以我们并不能将纸张无限次对折, 当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了. 一张长边为 ，厚度为 的矩形纸张沿两个方向不断对折， 则经过两次对折后，长边变为 ，厚度变为 . 在理想情况下，对折次数 满足关系: . 根据以上信息,一张长为 ,厚度为 的纸经过对折后的厚度的最大值为 (参考数据: ) ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。)
9. 某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7 位评委给某班的评分分别为 82, 90, 65, 68, 80, 92, 80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余 5 个评分为有效数据，则( )
A. 有效数据的极差是 10 B. 有效数据的平均数是 80
C. 有效数据的第 80 百分位数是 86 D. 有效数据的方差是 50
10. 已知等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B.
C.
D. 数列 是公差为 1 的等差数列
11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 相交于 两点， 下列结论正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最小值为 5
C. 以线段 为直径的圆与直线 相切
D. 若 ,则直线 的斜率为
第 II 卷(非选择题，共 92 分)
三、填空题 (本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分。)
12. 已知平面向量 ，若 方向相反，则 _____. 13. 已知 ，则 _____.
14. 在正三棱柱 中，直线 与平面 所成角为 ，且四棱锥 的体积为 ，则该三棱柱的外接球的表面积为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15. (本小题满分 13 分)
在 中,内角 的对边分别为 . 若 .
(1)已知 ，求三角形的三边长；
(2)若 ， 为 中点，求 外接圆半径.
16. (本小题满分 15 分)
如图，四棱锥 的底面 为直角梯形， ， 为等边三角形,平面 平面 为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)
2026 年被业界公认为“具身智能元年”. 得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言- 动作大模型的成熟. 人工智能已经不再是概念和愿景, 而是开始真实地走进企业和家庭, 重新定义人类的工作和生活. 新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解, 举办知识竞赛活动. 活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格. 已知小明、小华，小方 3 位同学通过第一轮的概率均为 ,在通过第一轮的条件下,他们通过第二轮的概率依次为 ,假设他们之间通过与否相互独立.
(1)求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率；
(2)从 3 人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这 3 人中通过第二轮的人数为 ，求 的分布列及期望.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 (其中 为自然对数的底数).
(1)当 时，求函数 的极值;
(2)若函数 在 有唯一零点，求实数 的取值范围；
(3)若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最大值.
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率为 是 的左、右焦点,且 ，直线 过点 与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的方程；
(3)若直线 过点 与 交于 两点，且 的斜率乘积为 分别是线段 的中点,求 面积的最大值.
2025—2026 学年度第二学期高三第一次月考答案 数 学
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B D D B A
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。)
题号 9 10 11
答案 BC ABD AC
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分。)
12. 13. 14.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15. 解:
(1)
2 分
,解得 或-2, 4 分
又由题意知: 满足条件 5 分
,即为三角形的三边. 6 分
(2) ,
分
,即 ,
或 , 8 分
或 , 9 分
当 时, 边最长,与条件 矛盾,故舍去; 10 分
当 时,则 ,又 ,
,解得: , 11 分
,
又 为 中点, , 12 分
在 Rt 中, ,
设 的外接圆半径为 ,
由正弦定理得 ,即 ,
的外接圆半径为 . 13 分
16. 解:
(1)因为 为等边三角形， 为 的中点，
所以 . 1 分
过 作 ,垂足为 , 2 分
因为底面 为直角梯形, , 所以 ，则 ，
由 得 ，所以 3 分
因为平面 平面 ,
且平面 平面 平面 , 4 分
所以 平面 . 5 分
因为 平面 ,所以 .
又 平面 ,所以 平面 7 分
(2)由(1)可知， ， ， 两两垂直，以 为原点，过 且平行于 直线为 轴, 所在直线分别为 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 8 分
则 ,
设平面 的法向量为 ，
则 ,令 ,则 , 12 分
由( 1 )可知， 轴 平面 ，
不妨取平面 的法向量为 , 13 分
则 , 14 分
故平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17. 解:
(1)记 3 人中通过第一轮的人数为 ，
由题意可知 , 1 分
记“3 人中至多有 2 人通过第一轮”为事件 ，
则 . 4 分
(2)记随机选择小明、小华、小方的事件分别为 、 、 ，通过第二轮的事件记为 ， 则由题意可知 , 6 分 8 分
则
所以 . 9 分
(3)记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为 、 、 ，
则 ,
10 分
由 相互独立可知 ,
13 分
所以 的分布列是
0 1 2 3
5 32 13 32
则 的数学期望是 分
18. 解:
(1)当 时， ，则 ， 1 分
当 时, ; 当 时, ;
在 上单调递减,在 上单调递增, 3 分
的极小值为 ,无极大值. 5 分
(2) ,
当 时, ; 当 时, ;
在 上单调递减,在 上单调递增; 6 分
① 当 时， 在 上单调递增，
若 在 上有唯一零点,则 ,
即 ,解得: (舍); 7 分
② 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 8 分当 ,即 时, ,
则 在 上无零点,不合题意;
当 ,即 时, 在 上有唯一零点 ,满足题意; 当 ,即 时,
由 得: , 10 分
在 上有唯一零点,此时需 ,
即 ;
综上所述: 当 或 时, 在 上有唯一零点,
即实数 的取值范围为 . 11 分
(3)若 对 恒成立，即 对 恒成立，
则 ,
令 ,则 , 13 分
令 ,则 在 上单调递增,
,使得
即 ,
则当 时， ；当 时， ； 14 分
在 上单调递减,在 上单调递增,
, , 16 分
整数 的最大值为 -2 . 17 分
19. 解:
(1)因为 ，所以 ， 1 分
又因为该椭圆的离心率为 ，
所以 , 2 分
所以椭圆的方程为 ; 4 分
(2)当直线 的斜率为零时，此时方程为 ，此时 ， 显然此时 ，不符合题意， 5 分
故设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，得
因为 ,
所以设 ,则有 , 7 分由 : , 9 分所以直线 的方程为 ,或 ; 10 分
(3)由(2)可知: ， 所以 , 因此 的坐标为 11 分
设故设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，得
因为 ,
所以设 ,则有 ,
12 分
所以 的坐标为 ,
因为 的斜率乘积为 ,
所以 ,因此 的坐标为 , 13 分显然边 与横轴平行,
因此 ,
即 . 15 分
即 时,取等号,即当 时取等号, 16 分
所以 面积的最大值 . 17 分