吉林省长春市实验中学2025-2026高三下第一次月考数学试卷（含答案）

长春市实验中学 2025-2026 学年下学期第一学程考试 高三数学试卷
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题 目要求的.
1. 复数 的虚部为( )
A、 -8 B. 8 C. 8i D. -8i
2. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
3 已知直线 ，平面 ，则 “ ” 是 “ ” 的()
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 定义 矩阵 ,若 ,则
A. 图象关于 中心对称
B. 图象关于直线 对称
C. 是周期为 的奇函数
D. 在区间 上的最大值为 1
5. 已知 是定义在 上的偶函数，对任意实数 都有 成立，若当 时， ，则 ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
6. 已知数列 的前 项和为 ， ， ， . 若 ，有 恒成立,则实数 的最大值为( )
A. 3 B. C. D.
7. 已知双曲线 ，在双曲线 左支上任取两个不同的点 ， ， 都有 ,则双曲线 的离心率 的最大值为( )
A. B. 3 C. D. 2
8. 设 为两个相互独立的随机事件,且 . 已知在 至少一个发生的条件下, 恰有一个发生的概率是 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是( )
A. 数据1,2,3,5,7,8的 25% 分位数为 2
B. 若随机变量 ，且 ，则
C. 若数据 的平均数为 2,则数据 的平均数为 0
D. 在独立性检验中， 的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
10. 已知等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,若 ,且 成等差数列, 则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
11. 已知曲线 为曲线 上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 曲线 关于直线 对称
B. 点 不可能在直线 上
C. 曲线 与圆 有 4 个公共点
D. 记曲线 所围成的区域的面积为 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 的展开式中，含 项的系数为_____.
13. 在平面直角坐标系 中,圆 的半径为 1,点 与点 不重合,若圆 上存在不同的两点 ，使得 ，则 的取值范围是_____.
14. 已知圆锥的母线为3,底面半径为1,球 与圆锥的侧面、底面均相切. 球 与球 外切, 且与圆锥的侧面相切. 球心 位于圆锥的顶点和 之间，则球 的体积为_____
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)在 中，内角 的对边分别为 . 若 .
(1)已知 ，求三角形的三边长；
(2)若 ， 为 中点，公众号悦爱学堂求 外接圆半径.
16.(15分)如图，边长为2的正方形 所在的平面与平面 垂直，且 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)当 时，求平面 与平面 所成角的正弦值.
17. (15 分)已知点 在抛物线 上， 为 的焦点，过点 的直线 交 于 ， 两点 .
(1)求直线 的方程；
(2)B为 上一点(介于点 之间)，线段 于线段 交于点 的面积与 的面积相等，求点 的坐标.
18. (17分)近些年人工智能(AI)经历了爆炸式发展，技术性能显著提升，应用场景深度渗透. 现有 三台机器人进行象棋比赛，比赛规则:每一局由两台机器人进行比赛，剩余的一台机器人进行“调试”，每局比赛结束时，负方在下一局进行“调试”，胜方继续进行下一局比赛. 设每一局比赛中的两台机器人获胜的概率均相等,各局比赛结果相互独立且没有平局,首局比赛由 和 对弈， 进行“调试”， 表示第 局 进行“调试”的概率( )。
(1)求前 3 局中， 不“调试”的概率；
(2)求 ；
(3)若 表示前 5 局比赛中 “调试”的次数，求随机变量 的分布列和数学期望 .
19.(17分)已知函数 .
(1)求 在点 的切线方程；
(2) ，求实数 的取值范围；
(3)请阅读下列两段材料:
材料 1: 阶导数定义: 设函数 的 阶导数 仍是可导函数，则 的导数 称为 的 阶导数,记为 ,即 .
材料 2: 一般地,函数 在 处的 阶帕德逼近函数定义为: , 且满足 .
请根据以上材料回答下列问题:
记 为 在 处的 阶帕德逼近函数,当 时,求函数 的最小值; 并证明: . (其中 为自然对数的底数).
长春市实验中学 2025-2026 学年下学期第一学程考试
高三数学答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A B D B C C A AC ACD BCD
二、填空题
12. 19 13.
14.
三、解答题
15.【答案】(1) (2) .
(1) 2 分 ,解得 或 -2, 3 分
又由题意知: 满足条件
,即为三角形的三边 5 分
(2) ,
,
,即 ,
或 ,
或 , 8 分
当 时, 边最长,与条件 矛盾,故舍去; 9 分
当 时,则 ,又 ,解得: ,
, 11 分
,
又 为 中点， ，
在 Rt 中, , 12 分
设 的外接圆半径为 ,
由正弦定理得 ,即 ,
的外接圆半径为 . 13 分
16.(1)因为平面 平面 ,交线为 平面 , 所以 平面 , 3 分
又 平面 ,故 . 4 分
又因为 平面 ,
所以 平面 ,而 平面 ,故平面 平面 . 6 分
(2)以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 . 7 分
因为 ,由题设得
设 是平面 的法向量,则
10 分
又 是平面 的法向量, 11 分
设平面 与平面 所成角为 , 13 分所以 ,
所以平面 与平面 所成角的正弦值是 . 15 分
17. 解: (1) 因为点 在 上,所以 , (1 分)
所以 的方程为 (2 分) 由题意易知直线 的斜率不为 0,所以设直线 的方程为 , ,
联立 得 (4 分)
则 . ,所以 ,解得 , (6 分)
所以 的方程为 ,
即 或 . (7 分)
(2)当 的方程为 时，由题意知线段 与线段 无交点,不符合题意,
因为 的面积与 的面积相等,
所以 的面积与 的面积相等, (10 分)
所以 两点到直线 的距离相等,
因为 介于点 之间,
所以 ，所以 ， (12 分)
所以直线 的方程为 ,设 ,
联立 得 。
所以 或 (舍),
所以 , (14 分)
由 ,得 .
故 . (15 分)
18.【答案】( 1 ) 分布列见详解，
(1)记 为前 3 局中， 不“调试”，
开始比赛由 和 对弈， 第 1 局和第 2 局 均要获胜, 2 分
; 3 分
(2)若第 局 进行“调试”，则第 局 负，
5 分
,又 , 7 分
; 10 分
(3)记:“S”为“比赛”，“T”为“调试” ， 11 分
, 15 分分布列如下:
0 1 2
1 16 7 16
. 17 分
19.【答案】(1) ,证明见解析
(1) ,
,又 , 2 分切线方程: ,即切线方程为: . 3 分
(2) 在区间 内恒成立,
令 ,
注意到 ,则 , 女分
①当 时， 恒成立，
所以 在区间 内单调递减,则 符合题意. 5 分
② 当 时,令 ,
当 时, ,又 ,
所以 ,使 ,当 时, 即 , 则 在区间 内单调递增,故 ,与已知矛盾. 7 分所以 的取值范围是 . 8 分
(3)由题意得 ,
由 ,得 , 9 分
所以 ,则 ,由 ,得 , 10 分
所以 ,由 ,得 , 11 分
则 ,故 ,
则 ,
所以 在区间 内单调递增,所以 , 13 分.
当 时, 即 整理得 , 14 分
由 (2) 可知当 时, ,则 ,
当 时, . 16 分
令 ,得 ,即 , 17 分