(共16张PPT)
第一部分 教材同步复习
第四章 几何初步与三角形
第18讲 全等三角形
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
SSS 三边对应⑤ 的两个三角形全等
SAS 两边及其⑥ 对应相等的两个三角形全等
ASA 两个角及其⑦ 对应相等的两个三角形全等
AAS 两角及其中一个角的⑧ 对应相等的两个三角形全等
HL 斜边和⑨ 对应相等的两个直角三角形全等
一条直角边
对边
夹边
夹角
相等
1.全等三角形的对应边① ，对应角② ；
2.全等三角形的周长③ ，面积④ ；
3.全等三角形的对应线段(中线、高、角平分线、中位线)相等
相等
相等
相等
性质
相等
全
等
三
角
形
中考知识归纳
判定
全
等
三
角
形
判定两个
三角形全
等的思路
已知条件 判定方法
一边和这边的 邻角对应相等 找边：只能找角的另一边(SAS)；
找角：可找另外两对角中的任意一对角(AAS，ASA)
一边及它的 对角对应相等 只能找一角：可找另外两对角中的任意一对角(AAS)
两边对应相等 找第三边：只能找剩下的一对边(SSS)；
找角：(1)找两边的夹角(SAS)；
(2)找直角(HL)
两角对应相等 只能找边：可找三条边中的任意一对边(AAS，ASA)
1．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，添加下列条件，不能使△ABE≌△ACD的是( )
A．AE＝AD B．AB＝AC
C．∠B＝∠C D．BE＝CD
基础小测
C
2．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DBE，∠A＝30°，则∠D的度数为( )
A．60° B．45° C．35° D．30°
D
3．如图，已知△ABC≌△DFE，B，F，C，E在一条直线上．若BE＝10，FC＝2，则BC的长为 ．
6
4．(浙教八上P82作业题第2题改编)如图，∠ACB＝90°，CA＝CB，分别过点A，B作过点C的直线的垂线AM，BN，垂足分别为M，N．若AM＝3 cm，CM＝5 cm，则MN的长为 cm．
8
重难点
例1
重点难点突破
全等三角形的判定与性质
(2025·浙江19题8分)【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成的，
请写出△ABE≌△CBE的证明过程；
【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD．
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE(SAS)．
(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°．
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠DEA＝(180°－∠ADB)＝67.5°，
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°．
例2
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，F，E分别是边AB，AC上的点，且∠BDF＝∠CDE．求证：DF＝DE．
【解答】∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠B＝∠C，BD＝CD．
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE(ASA)，
∴DF＝DE．
【变式2－1】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，且BF＝CE．求证：∠B＝∠C．
【解答】∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠DFB＝∠DEC＝90°．
∵D是BC的中点，∴BD＝CD．
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)，
∴∠B＝∠C．
【变式2－2】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，且∠BDF＝∠CDE．求证：AD平分∠BAC．
【解答】∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠DFB＝∠DEC＝90°．
∵D是BC的中点，∴BD＝CD．
在△BFD和△CED中，
∴△BFD≌△CED(AAS)，
∴DF＝DE．
又∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
【变式2－3】如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，且BE与CF相交于点D．若BE＝CE，CF平分∠BCA，CD＝4，求BF的长．
【解答】∵BE，CF分别是AC，AB边上的高，
∴∠AEB＝∠BEC＝∠AFC＝∠BFC＝90°，
∴∠A＋∠ABE＝90°，∠A＋∠ACF＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF．
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(ASA)，
∴AB＝DC．
∵CF平分∠BCA，
∴∠ACF＝∠BCF．
在△ACF和△BCF中，
∴△ACF≌△BCF(ASA)，
∴AF＝BF，
∴BF＝AB＝CD＝2．(共14张PPT)
第一部分 教材同步复习
第四章 几何初步与三角形
微专题四 三角形相似模型
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
解题技巧
专项训练
解题技巧
类型一
“A”字型
条件 有一个公共角∠A，且∠1＝∠2
图形
结论 △ABC∽△ADE △ABC∽△ACD
类型二
“8”字型
条件 有一组对顶角，且∠1＝∠2
图形
结论 △ABC∽△ADE
条件 如图①，CD∥AB，将△OCD旋转至图②所示位置
图形
结论 ①△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD； ②延长AC交BD于点E，则∠BEA＝∠BOA ①△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD；
②AC交BD于点E，则∠BEA＝90°
类型三
旋转型
条件 同侧 异侧
B，D，C三点共线，∠1＝∠2＝∠3＝α A，B，D三点共线，∠1＝∠2＝∠3＝α
图形
常考类型
α＝45° α＝60° α＝90° α＝90°
结论 △ABD∽△DCE △ABC∽△EDA
类型四
一线三等角型
1．如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD．若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是 ．
专项训练
4
2．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC．若CE∶AE＝2∶3，BC＝10，则DE的长为 ．
6
3．(2025·杭州萧山区模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，取BC的中点E，连接AE与BD相交于点F，则BF的长为_____．
4．如图，D是△ABC的边AB上一点，∠ADC＝∠ACB．若BD＝2，AD＝4，则AC的长为_____．
2
5．如图，在四边形ABFC中，D是AB边的中点，∠A＝∠B＝∠CDF＝45°．若AC＝9，BF＝8，则AB的长为______．
12
6．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB边上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于点E．将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，连接BD，CE，则图②中的值为____．
①
②
7．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，连接MA，CN．求证：△ABM∽△CBN．
证明：由旋转的性质，得AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN，
∴．
∵∠ABC＝∠MBN，
∴∠ABC＋∠ABN＝∠MBN＋∠ABN，
即∠ABM＝∠CBN，
∴△ABM∽△CBN．
8．如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，连接DE，DF．
(1)若∠EDF＝90°－∠A，求证：△BDE∽△CFD；
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝(180°－∠A)＝90°－∠A．
又∵∠EDF＝90°－∠A，
∴∠B＝∠C＝∠EDF．
∵∠EDC＝∠B＋∠BED＝∠EDF＋∠CDF，
∴∠BED＝∠CDF，∴△BDE∽△CFD．(共15张PPT)
第一部分 教材同步复习
第四章 几何初步与三角形
第14讲 线段、角、相交线与平行线
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
线段的和差：如图②，在线段AC上取一点B，则有
AB＋④ ＝AC，AB＝⑤ －BC，
BC＝AC－⑥ _
AB
AC
①
BC
两个基本事实
直线与线段
线
段
、
角
、
相
交
线
与
平
行
线
线段的中点：如图①，点C把线段AB分成相等的两条
线段AC与BC，C叫作线段AB的中点，
即有AC＝② ＝③ _
AB
BC
中考知识归纳
②
概念：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，
这条射线叫作角的平分线（2022版课标新增）
定理：角平分线上的点到角两边的距离 ，如
图③，∠1＝∠2，P是OC上一点，PE⊥OA，
PF⊥OB _
逆定理：角的内部，到角两边距离 的点，在这
个角的平分线上，如图③，P是OC上一点，
PE⊥OA，PF⊥OB， ∠1＝∠2
PE＝PF
相等
PE＝PF
角平
分线
相等
性质：同角或等角的余角⑧ _
线
段
、
角
、
相
交
线
与
平
行
线
角
度、分、秒的换算：1°＝60'，1'＝60″，角的度、分、秒换算是六十进制
余角和补角
余角
定义：如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为⑦ ；
补角
定义：如果两个角的和是一个平角，就说这两个角互为⑨ ;
性质：同角或等角的补角⑩ _
相等
补角
相等
余角
③
相交线
线
段
、
角
、
相
交
线
与
平
行
线
④
相交线
线
段
、
角
、
相
交
线
与
平
行
线
垂线（如图⑤）
1.在同一平面内，过一点（P）有一条而且仅有
条直线（PA）垂直于已知直线（l）；
2.连接直线外一点（P）与直线上各点的所有线段中， 最短（PA
3.点到直线的距离：从直线外一点（P）到这条直线（l）的 （PA）的长度叫作点到直线的距离
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的 _____
相等，如图⑥，若PC⊥AB,AC=BC,则PA=PB
逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的
___________上
线
段
、
角
、
相
交
线
与
平
行
线
垂直平
分线
距离
垂直平分线
【温馨提示】两条平行线之间的距离处处相等
判定与性质
基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
基本事实
及推论
平行线
线
段
、
角
、
相
交
线
与
平
行
线
同位角 两直线平行；
内错角 两直线平行；
同旁内角 两直线平行
互补
相等
相等
判定
性质
判定
性质
判定
性质
命题与
定理
线
段
、
角
、
相
交
线
与
平
行
线
1．(2025·浙江2题3分)如图所示，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则( )
A．∠2＝91° B．∠3＝91°
C．∠4＝91° D．∠5＝91°
基础小测
B
2．如图，要把河中的水引到农田P处，若PB⊥河岸a，垂足为B，则沿着线段PB铺设管道能使管道最短，其中蕴含的数学道理是 ．
垂线段最短
5．(浙教新教材七上P185例2改编)如图，OC是∠AOB 的平分线，
∠BOC＝2∠BOD，∠COD＝45°，则∠BOD的度数是 °，∠AOB的度数是 °．
60
3．(浙教新教材七上P174例2改编)已知M是线段AB的三等分点，E是AM的中点．若AB＝12 cm，则线段AE的长是 ．
4．命题“如果x2＝4，那么x＝2”是 命题．(填“真”或“假”)
15
假
4 cm或2 cm
6．(2025·杭州钱塘区三模)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O．若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
50°
重难点
(1)直线AD与直线BC的位置关系是 ；
(2)若∠DAE＝3∠EBF＝78°，则∠EFC的度数为 ，
∠EBF的度数为 ，∠E的度数为 ；
52°
26°
78°
如图，AD，BC为平面内两条直线，F是直线BC上一点，∠BCD＋∠ADC＝180°，G是线段AB上一点，连接FG，E为线段AF延长线上一点，连接BE．
AD∥BC
平行线的判定与性质
例
重点难点突破
(3)若AE∥CD，∠BFG＝26°，FG平分∠AFB，则∠DAF的度数为 ，∠DCB的度数为 ；
(4)若∠BFG＝45°，FG平分∠AFB，则直线AF与直线BC的位置关系是 ．
AF⊥BC
52°
52°(共11张PPT)
第一部分 教材同步复习
第四章 几何初步与三角形
微专题三 三角形全等模型
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
解题技巧
专项训练
解题技巧
类型一
平移型
条件 两个三角形有一组边共线，另外两组边分别平行
图形
结论 (1)利用平行线的性质可得对应角相等．
(2)在共线上加(或减)公共线段可得线段相等
条件 两个三角形组成的图形是轴对称图形
图形 有公共边
有公共顶点
结论 (1)注意其中隐含的公共边或公共角．
(2)在公共顶点处加(或减)公共角可得角相等．
(3)注意利用“等边对等角”
类型二
轴对称型
类型三
一线三等角型
条件 ∠1＝∠2＝∠3
图形
锐角 直角 钝角
结论 若有一组对应边相等，则△ACP≌△BPD
条件 共顶点(△ABC旋转到△DEC) 不共顶点(△ABE旋转到△DCF)
图形
结论 △ABC≌△DEC △ABE≌△DCF
类型四
旋转型
类型五
手拉手型
条件 AB＝AB'，AC＝AC'，∠1＝∠2 ∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝DC，DE＝DG 正方形ABCD和正方形ECGF
图形 共顶点的等腰三角形 共顶点的等腰直角三角形
共顶点的正方形
结论 △ABC≌△AB'C'，BC＝B'C'，∠BOB'＝∠1，OA平分∠BOC' △ADG≌△CDE，AG＝CE且AG⊥CE △BCE≌△DCG，BE＝DG且BE⊥DG
专项训练
1．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF，求证：∠B＝∠E．
证明：∵AD＝CF，∴AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠B＝∠E．
2．如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：AE＝CF．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°．
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF．
3．如图，在△ABC中，AC＝BC，D，E分别为AB，BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．
证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B．
又∵BC＝BD，∴AC＝BD．
∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDE＋∠BDE，∠CDE＝∠A，
∴∠ACD＝∠BDE．
在△ACD和△BDE中，
∴△ACD≌△BDE(ASA)，∴CD＝DE．
4．(2025·遂宁改编)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝FD．求证：AF∥CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．
∴∠ABF＝∠CDE．
∵BE＝FD，∴BE＋EF＝FD＋EF，即BF＝DE．
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE．(共27张PPT)
第一部分 教材同步复习
第四章 几何初步与三角形
第20讲 解直角三角形及其应用
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
中考知识归纳
解
直
角
三
角
形
及
其
应用
锐角三
角函数
定义：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A为△ABC中的一个锐角，则
∠A的正弦：sin A=；
∠A的余弦：cos A==① ；
∠A的正切：tan A==②___
①
解
直
角
三
角
形
及
其
应用
特殊角
的三角
函数值
α的 度数 30° 45° 60°
sin α ③__
cos α ④__
tan α 1 ⑤ .
1.三边关系：a2+⑥ =c2；
2.三角关系：∠A+⑦ =∠C=90°；
3.边、角关系：sin A==cos B；
cos A==⑧ ；
tan A=⑨
sin B
∠B
解
直
角
三
角
形
及
其
应用
b2
直角三角形
的相关关系
(如图②)
②
仰角、俯角
坡度（坡比）、坡角
坡度（坡比）i=tan α=⑩___坡度越大，
坡角α越大，坡面越陡
方向角
解
直
角
三
角
形
及
其
应用
解直角
三角形
的应用
2．在Rt△ABC中，若 cos A＝，则∠A的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
1．计算sin 30°的值为( )
A． B．1 C． D．
C
基础小测
A
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝( )
C
4．(2025·浙江13题3分)无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500 m，从点A观测点P的仰角为α，cos α＝0.98，则A处到B处的距离为 m．
490
5．(浙教九下P20例3改编)如图是某地修建的一座建筑物的截面图，测得其高 BC＝5 m，坡面AB的坡度为1∶，则AB的长为 m．
10
重难点1
例1
重点难点突破
直角三角形的边、角关系
(2024·浙江19题8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
(1)求BC的长；
【解答】∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD＝＝8．
∵在Rt△ACD中，tan∠ACB＝1，
∴CD＝AD＝6，∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14．
(2)求sin∠DAE的值．
【解答】∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝7，
∴DE＝CE－CD＝7－6＝1．
∵AD⊥BC，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理，得
AE＝，
∴sin∠DAE＝．
【变式1－1】如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
(1)求AC的长；
【解答】∵AC⊥BD，
∴在Rt△ABC中，cos∠ABC＝．
又∵BC＝8，∴AB＝10．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝6．
【解答】解法一：如答图①，连接CF，
过点F作FE⊥BD，垂足为E．
∵BF为AD边上的中线，
∴F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD．
由(1)知AC＝6，∴在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝＝2，∴CF＝DF＝．
(2)(一题多解)求tan∠FBD的值．
答图①
又∵FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2．
在Rt△EFC中，由勾股定理，得FE＝＝3，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝．
答图①
答图②
解法二：如答图②，过点F作FE⊥BD，垂足为E．
∵BF为AD边上的中线，
∴F是AD的中点．
∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，
∴FE是△ACD的中位线．
由(1)知AC＝6，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝．
【变式1－2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD交CD的延长线于点E．已知AC＝6，cos A＝．
(1)求线段CD的长；
【解答】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cos A＝．
又∵AC＝6，∴AB＝10．
∵D是边AB的中点，
∴CD＝AB＝5．
(2)求cos∠DBE的值．
【解答】由(1)可知AB＝10，CD＝5，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理，得
BC＝＝8．
如答图，过点C作CF⊥AB于点F．
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CF，
∴CF＝，
∴在Rt△CDF中，cos∠DCF＝．
答图
∵CF⊥AB，BE⊥CD，
∴∠CFD＝∠E＝90°．
又∵∠CDF＝∠BDE，
∴∠DCF＝∠DBE，
∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝．
答图
重难点2
例2
解直角三角形的应用
(2023·台州19题8分)教室里的投影仪(如图①)投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图②所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图像的高度AB＝120 cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．(结果精确到1 cm．参考数据：sin 33.7°≈0.55，cos 33.7°≈0.83，tan 33.7°≈0.67)
【解答】在Rt△ABC中，AB＝120 cm，
∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，
∴tan B＝，
∴AC＝AB·tan 33.7°≈120×0.67≈80(cm)．
答：AC的长约为80 cm．
【变式2－1】(2023·丽水19题6分)如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A－D－C．已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11 m，CD＝4 m，求管道A－D－C的总长．
答图
【解答】如答图，过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°．
易得四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝4 m，
∴AE＝AB－BE＝11－4＝7(m)．
∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠A＝60°，
∴cos A＝＝cos 60°＝，
∴AD＝2AE＝2×7＝14(m)，
∴AD＋CD＝14＋4＝18(m)．
答：管道A－D－C的总长为18 m．
【变式2－2】(2023·嘉兴、舟山22题 10分)图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图②所示，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160 cm，识别的最远水平距离OB＝150 cm．(结果精确到 0.1 cm．参考数据：sin 15°≈0.26，
cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，sin 20°≈0.34，
cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36)
(1)身高208 cm的小杜，头部高度为26 cm，
他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处
(如图②)，请问小杜最少需要下蹲多少厘
米才能被识别
答图①
【解答】过点C作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点E，D，交水平线于点F，如答图①．易得四边形AOCF为矩形，
∴CF＝OA＝160 cm，AF＝OC＝130 cm．
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，
∴EF＝AF·tan 15°≈130×0.27＝35.1(cm)，
∴CE＝160＋35.1＝195.1(cm)，
易得ED＝2EF＝35.1×2＝70.2(cm)＞26 cm，
∴208－195.1＝12.9(cm)．
答：小杜最少需要下蹲约12.9 cm才能被识别．
(2)身高120 cm的小若，头部高度为15 cm，踮起脚尖可以增高3 cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图③)，此时小若能被识别吗 请计算说明．
答图②
【解答】此时小若能被识别．
过点B作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于
点M，N，交水平线于点P，如答图②．易得四边形OBPA为矩形，
∴AP＝OB＝150 cm．
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
∴MP＝AP·tan 20°≈150×0.36＝54.0(cm)．
∵∠MAP＝∠NAP，AP＝AP，
∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP(ASA)，
∴MP＝NP＝54.0 cm，
∴BN＝160－54.0＝106.0(cm)．
∵小若踮起脚尖后头顶的高度为120＋3＝123(cm)，
∴小若头顶超出点N的高度为123－106.0＝17.0(cm)＞15 cm，
∴此时小若能被识别．
答图②(共20张PPT)
第一部分 教材同步复习
第四章 几何初步与三角形
第19讲 相似三角形(含位似)
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
中考知识归纳
相
似
三
角
形
(含
位
似)
比
例
比例的性
比例中项：一般地，如果三个数a，b，c满足比例a∶b=b∶c），那么b就叫作a，c的比例中项
黄金分割：如图①，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>PB，AB被点P黄金分割，点P叫作线段
AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB
的比叫作黄金比，
【温馨提示】一条线段上存在两个黄金分割点
平行线
分线段
成比例
相
似
三
角
形
(含
位
似)
基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，
所得的对应线段成比例.如图②，如果直线a∥b∥c，
直线l1，l2被直线a，b，c所截，那
②
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延
长线），所得的对应线段成④ .如图③，在
△ABC中，因为DE∥BC，所
③
相
似
三
角
形
(含
位
似)
相似三角形
相
似
三
角
形
(含
位
似)
位似图形：一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线
都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么
这两个图形就叫作位似图形.经过各对应两点的直线的交点叫
作 .位似中心到两个对应点的距离之比叫作 _
位似比
相似多边
位似中心
相
似
三
角
形
(含
位
似)
1．已知两个相似三角形的相似比是 2∶3，则它们的面积之比是( )
A．2∶3 B．4∶9
C．8∶27 D．1∶3
基础小测
B
2．(浙教九上P129课内练习第1题改编)如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是( )
A．∠ACD＝∠B
B．∠ADC＝∠ACB
C．
D．AC2＝AD·AB
C
3．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，则的值为_____．
4．(浙教九上P123作业题第3题改编)在中华经典美文阅读中，小明同学发现一本书的宽与长之比为黄金比(即)．已知这本书的长为 18 cm，则它的宽为_________cm．(结果保留根号)
(9－9)
重难点1
(2025·浙江6题3分)如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0)．若DE的长为3，则D'E'的长为( )
位似的性质
C
例1
重点难点突破
A． B．4 C． D．5
A．(－4，8) B．(8，－4)
C．(－8，4) D．(4，－8)
【变式】(2024·浙江6题3分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O．若点A(－3，1)的对应点为
A'(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B'的坐标为( )
A
重难点2
例2
相似三角形的判定与性质
(1)如图①，D是△ABC的边AC上一点，且∠ABD＝∠C．求证：△ABD∽△ACB．
①
【解答】∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△ACB．
(3)如图③，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，连接DE．若AC＝2AE，AB＝2AD，BC＝8，则DE的长为 ．
②
4
(2)如图②，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，且DE∥BC．若，则的值为_____．
③
④
(4)如图④，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，连接DE，BD，CE，BD和CE相交于点O．若DE∥BC，，S△DOE＝2，则S△BOC＝
．
18
【变式】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AC，AB，CB上，连接DE，DF，CE，DF与CE相交于点G．已知四边形DFBE是平行四边形，且．
(1)若AB＝25，求线段AE，GF的长；
【解答】∵四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥CB，DF∥AB，DE＝BF，
∴△ADE∽△ACB，
∴．
∵AB＝25，∴AE＝10，
∴BE＝25－10＝15．
∵，
∴．
∵DF∥AB，
∴△CFG∽△CBE，
∴，
∴GF＝9．
(2)若四边形GFBE的面积为48，求△ABC的面积．
【解答】由(1)可得△CFG∽△CBE，，
∴．
∵S△CFG＋S四边形GFBE＝S△CBE，
∴．
∵四边形GFBE的面积为48，
∴S△CBE＝75．
由(1)可得，且AE＋BE＝AB，
∴，
∴，
∴S△ABC＝125．(共20张PPT)
第一部分 教材同步复习
第四章 几何初步与三角形
第15讲 三角形及其性质
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
中考知识归纳
三
角
形
及
其
性
质
三角形的分类
三角形的边、角关系
三
角
形
及
其
性
质
三
角
形
及
其
性
质
三角形
中的重
要线段
五线 图示 性质 备注
角平 分线 AD是△ABC的 角平分线 ∵AD为△ABC的一条角平分线， ∴∠1＝∠2＝ ∠BAC 1.三角形三条角平分线的交点是三角形的内心（内切圆的圆心）；
2.内心到三角形三边的距离相等；
3.遇到角平分线时可利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明线段相等或构造全等三角形
五线 图示 性质 备注
中线 AD是△ABC的中线 ∵AD为△ABC的一条中线， ∴BD＝ ＝BC，S△ABD＝S△ADC 1.三角形三条中线的交点是三角形的重心；重心到三角形顶点的距离等于它到所对的边中点距离的2倍；
2.三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形
高 AD是△A BC的高 ∵AD是△ABC的一条高， ∴AD⊥ ，∠ADB＝∠ADC＝90° 三角形三条高的交点是三角形的垂心，一般通过作三角形的高求三角形的面积或构造直角三角形，利用勾股定理来解题
BC
CD
三
角
形
及
其
性
质
三角形
中的重
要线段
五线 图示 性质 备注
垂直 平分线 OM为△ABC中AB边的垂直平分线 ∵OM垂直平分AB， ∴AM BM，且OM AB 外心：三角形三边垂直平分线的交点（外接圆的圆心）；外心到三角形三个顶点的距离相等
中位线 DE是△ABC的中位线 ∵DE是△ABC的一条中位线， ∴ ∥BC且DE＝ BC，S△ADE＝S△ABC 遇到中点时，常构造三角形的中位线，利用中位线的性质来解题
DE
⊥
＝
三
角
形
及
其
性
质
三角形
中的重
要线段
1．(2023·金华4题3分)在下列长度的四条线段中，能与长6 cm，8 cm的两条线段围成一个三角形的是( )
A．1 cm B．2 cm
C．13 cm D．14 cm
基础小测
C
A．2 B．4 C．6 D．8
2．(浙教八上P9第5题改编)如图，AM是△ABC的中线．若△ABM的面积为4，则△ABC的面积为( )
D
3．(2023·杭州12题4分)如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝ ．
90°
4．(2023·丽水13题4分)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 ．
4
5．(2024·浙江15题3分)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，BE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 ．
4
6．如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ．
100°
7．(浙教八上P9第3题改编)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．若AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为_____．
重难点
(1)如图①，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若∠AFE＝65°，则∠CDE的度数为 ．
三角形中的重要线段
65°
例
重点难点突破
①
②
(2)如图②，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D(BD＞CD)，F是AC的中点，连接AD，DF．若BC＝7，AC＝5，则△CDF的周长为 ．
8
③
(3)如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于点H．若AE＝3.2，S△ABC＝8，则CH的长为 ．
1.4
(4)如图④，在△ABC中，AD为BC边上的高．AE为BC边上的中线，若AD＝6，△ABC的面积为24，求CE的长．
④
【解答】∵AD为BC边上的高，△ABC的面积为24，AD＝6，
∴BC·AD＝24，
∴BC＝＝8．
∵AE为BC边上的中线，
∴CE＝BC＝4．
【变式1】在△ABC中，AE为BC边上的中线，F为AB的中点，连接EF．若四边形ACEF的面积为9，求△ABC的面积．
【解答】∵AE为BC边上的中线，
∴E为BC的中点．
∵F为AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴易得．
∵S四边形ACEF＝9，
∴S△BEF＝3，
∴S△ABC＝S四边形ACEF＋S△BEF＝12．
【变式2】在△ABC中，AE为∠BAC的平分线，AD为BC边上的高，∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数．
【解答】∵∠C＝66°，∠B＝36°，
∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝180°－66°－36°＝78°．
又∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝39°．
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－66°＝24°，
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝39°－24°＝15°．(共13张PPT)
第一部分 教材同步复习
第四章 几何初步与三角形
第17讲 直角三角形
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
1.直角三角形的两个锐角① ，即∠A+∠B=② ；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的③ ，即CE=④ ；
3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的⑤ ；
4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2；
5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（在解答过程中需证明）
一半
一半
90°
性质
互余
直角三
角形
(如图)
中考知识归纳
AB
1.有一个角是⑥ （或90°）的三角形叫作直角三角形；
2.有两个角互余的三角形是直角三角形；
3.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于
第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
4.一条边上的中线等于这条边的⑦ 的三角形是直角
三角形（在解答过程中需证明）
一半
判定
直角
面积计算公式：S=ab=ch（a，b分别为两条直角边的长，c为斜边的长，
h为斜边上的高）
直角三
角形
(如图)
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，D，E分别为AB，AC的中点，则DE的长为 ．
基础小测
2
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1．若∠B＝45°，则BC的长为___．
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是AB上一点．若BD＝CD＝6，∠DBC＝15°，则△BCD的面积为 ．
9
4．如图，在△ACD中，AB⊥CD于点B，E是AB上一点，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形．如果CD＝5，BE＝2，那么AC的长为____．
重难点
(1)如图①，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高．若AD＝2，则AB的长为 ．
已知△ABC，∠ACB＝90°．
8
直角三角形的性质
例
重点难点突破
①
(2)如图②，若CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，则CD的长为____．
②
(3)如图③，CD为△ABC的中线，E为CB上一点，且CE＝CD．若∠CDA＝60°，则∠BDE的度数为____．
③
45°
(4)如图④，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，连接CD．若∠B＝30°，DE＝1，则△CDE的周长为_______．
④
＋2
(5)(一题多证)如图⑤，D是AB边上一点，连接CD．若E为BC的中点，且 DE＝BC．求证：CD⊥AB．
⑤
【解答】证法一：∵E是BC的中点，∴BE＝CE．
∵DE＝BC，∴DE＝CE＝BE，
∴∠ECD＝∠EDC，∠EDB＝∠EBD．
∵∠DCB＋∠B＋∠CDB＝180°，
∴∠DCB＋∠B＋∠BDE＋∠CDE＝180°，
∴2(∠CDE＋∠BDE)＝180°，
∴∠CDE＋∠BDE＝90°，即∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB．
答图
证法二：如答图，过点E作EF⊥CD，垂足为F．
∵E是BC的中点，∴CE＝BE．
∵DE＝BC，∴DE＝CE，
∴F是CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠CDB＝∠CFE＝90°，即CD⊥AB．(共16张PPT)
第一部分 教材同步复习
第四章 几何初步与三角形
第16讲 等腰三角形与等边三角形
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
1.两腰相等，即AB＝AC；
2.两个底角相等（在同一个三角形中，等边对等角），即∠B＝∠C；
3.顶角平分线、底边上的① 和底边上的高互相重合（简称
等腰三角形三线合一），即这三条线都是AD；
4.是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在的直线
性质
中线
等腰
三角形
(如图①)
等
腰
三
角
形
与
等
边
三
角
形
中考知识归纳
判定
1.有两边相等的三角形叫作等腰三角形（定义）；
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形
是等腰三角形（在同一个三角形中，等角对等边）
【知识拓展】有一个外角的平分线平行于三角形
一边的三角形是等腰三角形
①
面积计算公式：S＝ah（a是底边BC的长，h是底边BC上的高）
【易错点】等腰三角形与边有关的计算易忽视构成三角形的三边关系
【例】已知一个等腰三角形的两条边长分别为5和8，则此等腰三角形的周长
为 .
面积计算公式：S＝ah＝a2(a为任意一边的长，h是任意一边
上的高，其中h＝a)
18或21
②
1.具有等腰三角形的所有性质；
2.三边相等，即AB＝BC＝AC；
3.各个内角都等于② ，即∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
4.是轴对称图形，有③ 条对称轴
性质
等边
三角形
(如图②)
等
腰
三
角
形
与
等
边
三
角
形
判定
1.三条边都相等的三角形是等边三角形
（定义）；
2.三个角都相等的三角形是等边三角形；
3.有一个角是④ 的等腰三角形是等边
三角形
60°
三
60°
1．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．40° B．100°
C．40°或100° D．70°或50°
基础小测
C
2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝2∠C．若AB＝5，BC＝6，则△ABD的周长为( )
A．8 B．10 C．11 D．12
C
3．已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高．若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( )
A． B．2 C．3 D．
C
4．如图，已知△ABC是等边三角形，AD为中线，E为边AB上一点，且AD＝AE，连接DE，则∠EDB的度数为 ．
15°
5．(浙教八上P60练习第1题改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F．若DE＝5 cm，则BF＝ cm．
10
6．如图，等边三角形ABC的边长为6，BD是AC边上的中线，E是BC延长线上一点，且CE＝CD，连接DE，则△BDE的周长为________．
9＋6
重难点1
①若AB＝10，BC＝16，则△ABC的面积为 ，
AB 边上的高为 ；
②D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，DE．
若∠BAC＝50°，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠EDC＝ °．
20
①
48
(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC．
等腰三角形的性质
例1
重点难点突破
②
(2)如图②，在△ABC中，AC＝BC，D为BC上一点，DF⊥BC交AB于点F，DE⊥AC于点E．
①若F是AB的中点，求证：∠BFD＝∠ACB；
答图
【解答】连接CF，如答图．
∵AC＝BC，F是AB的中点，
∴CF⊥AB，∠ACF＝∠BCF＝∠ACB，
∴∠BCF＋∠B＝90°．
∵DF⊥BC，
∴∠B＋∠BFD＝90°，
∴∠BCF＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠ACB．
②若∠AFD＝160°，求∠FDE的度数．
②
【解答】∵∠AFD＝160°，
∴∠BFD＝20°．
∵FD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠FDB＝∠AED＝90°．
在Rt△BFD中，∠B＝90°－∠BFD＝90°－20°＝70°．
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝70°，
∴∠FDE＝360°－∠A－∠AFD－∠AED＝360°－70°－160°－90°＝40°．
重难点2
②如图①，连接AD，已知AD⊥BC于点D．若AB＝AC＝4，AD＝BD，则BC的长为 ，∠C的度数为 ，△ABC的面积为______．
60°
等边三角形的性质
4
在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB边上的点，连接DE，EF，DF．
(1)①(开放性试题)如图①，若AB＝AC，要使△ABC为等边三角形，则需要添加的条件为 ；(写出一个即可)
∠C＝60°(答案不唯一)
例2
①
4
(2)如图②，若DE⊥AC，DF⊥AB，E，F分别为垂足，△DEF是等边三角形．
①求∠A的度数；
②
【解答】∵△DEF是等边三角形，
∴∠DFE＝∠DEF＝∠FDE＝60°，DF＝DE．
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠DFB＝∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝∠AEF＝30°，
∴∠A＝180°－(∠AFE＋∠AEF)＝120°．
②若D是BC的中点，求证：EF∥BC．
【解答】∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在Rt△BFD和Rt△CED中，
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝(180°－∠A)＝30°，
∴∠B＝∠AFE，∴EF∥BC．
②(共17张PPT)
第一部分 教材同步复习
第四章 几何初步与三角形
微专题一 中点问题
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
解题技巧
专项训练
解题技巧
类型一
构造中位线
辅助线 作法 如图，在△ABC中，D为AB的中点，取AC的中点E，连接DE(或过点D作 DE∥BC交AC于点E) 如图，在△ABC中，D为AB的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD，AF
图形 展示
结论 DE∥BC，DE＝BC(或E是AC的中点，DE＝BC) DC∥AF，DC＝AF
类型二
构造直角三角形斜边上的中线
辅助线作法 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD
图形展示
结论 CD＝AB
类型三
利用等腰三角形“三线合一”的性质
辅助线作法 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD
图形展示
结论 BD＝CD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
类型四
利用垂直平分线的性质
辅助线作法 如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC，AC于点D，E，连接BE
图形展示
结论 BE＝CE，△BCE为等腰三角形
类型五
利用倍长中线或倍长类中线构造全等三角形
辅助线 作法 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE(或过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E) 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AB上一点，连接DE，延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF(或过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F)
图形 展示
结论 △BDE≌△CDA △CDF≌△BDE
1．如图，在△ABC中，AC＝8，点D在BC上，且AB＝AD，E，F分别是边AC，BD的中点，则EF的长是 ．
专项训练
4
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝CD，F是AD的中点．若BF＝2，则AC的长为 ．
4
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为 ．
9
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB，BC交于点D，E，AC的垂直平分线FG分别与AC，BC交于点F，G，EG＝BE＝CG．若△CGF的面积为3，则△ABC的面积是 ．
18
5．如图，在△ABC中，D为边AB的中点，E为边BC上一点．若∠C＝2∠BED，，CE＝3，则AC的长为 ．
9
6．如图，在△ABC中，M是BC边的中点．若AB＝6，AC＝2，AM＝4，则CM的长为_____．
2
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AC，AB的中点，延长BC至点F，使CF＝BF，连接DE，DF．若AB＝12，求DF的长．
答图
解：如答图，连接CE．
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，AB＝12，
∴CE＝AB＝6．
∵D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC．
∵CF＝BF，∴CF＝BC，∴DE＝CF，
∴四边形DFCE是平行四边形，∴DF＝CE＝6．
8．(一题多证)如图，在△ABC中，点F在中线AD上，连接BF并延长交AC于点E．若AE＝EF，求证：BF＝AC．
证法一：倍长中线．
证明：如答图①，延长AD至点H，使 DH＝AD，连接BH．
答图①
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD．
在△ADC和△HDB中，
∴△ADC≌△HDB(SAS)，
∴AC＝HB，∠CAD＝∠H．
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE．
∵∠AFE＝∠BFH，
∴∠H＝∠BFH，
∴BF＝BH，∴BF＝AC．
答图①
证法二：倍长类中线．
证明：如答图②，延长FD至点G，使 DG＝DF，连接CG．
答图②
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD．
在△BDF和△CDG中，
∴△BDF≌△CDG(SAS)，
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G．(共19张PPT)
第一部分 教材同步复习
第四章 几何初步与三角形
微专题二 角平分线问题
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
解题技巧
专项训练
辅助线作法 如图，P是∠MON平分线上一点，PA⊥OM于点A，过点P作PB⊥ON于点B
图形展示
结论 △AOP≌△BOP，AP＝BP，OA＝OB
解题技巧
类型一
构造双垂直
辅助线 作法 如图，P是∠MON平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q 如图，P是∠MON平分线上一点，A是OM上一点，过点A作AB∥PO，交ON的反向延长线于点B 如图，P是∠MON平分线上一点，AP⊥OP，延长AP交ON于点B
图形 展示
结论 △POQ是等腰三角形 △AOB是等腰三角形 △AOP≌△BOP，AP＝BP，△AOB是等腰三角形
类型二
构造等腰三角形
辅助线 作法 截长 补短
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，延长AC至点F，使AF＝AB，连接DF
图形 展示
结论 △ACD≌△AED △ABD≌△AFD
类型三
构造全等三角形
已知条件 图形展示 结论
如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O ∠BOC＝∠A＋90°
如图，O为△ABC两外角平分线的交点 ∠BOC＝90°－∠A
如图，∠ABC的平分线BO与△ABC的外角∠ACE的平分线CO交于点O ∠BOC＝∠A
类型四
双角平分线
1．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP．若∠BPC＝40°，点N在BA的延长线上，则∠NAP的度数为 ．
专项训练
50°
2．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF⊥DE，垂足为F．若∠ABE＝40°，则∠EDC的度数是 ．
110°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC交AC于点D，延长BD至点E，使DE＝AD，连接CE，则∠ECA的度数为 ．
40°
4．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，E为边AB上一点，则线段DE的最小值为 ．
2
5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝30°，∠D＝90°，对角线AC平分∠BAD．若CD＝3，则AD的长为__________．
6＋3
6．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．若 EF＝6，CF＝4，则BE的长为
．
2
7．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D．若AC＝BC＝1，则AD的长为______．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BD，垂足为E．若AC＝8，AE＝2，则△ABE的面积为 ．
4
9．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC交AC于点D．若CD＝3，求AD的长．
答图
解：如答图，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E，
∴∠DBC＝∠E，∠ABD＝∠BAE．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAE＝∠E，∴EB＝AB＝3．
∵BD∥AE，∴＝2．
∵CD＝3，∴AD＝．
10．(一题多证)如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D．求证：AB＋BD＝AC．
答图①
证法一：截长法．
证明：如答图①，在AC上截取AE＝AB，连接DE．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD．
在△ABD和△AED中，
∴△ABD≌△AED(SAS)，∴BD＝ED，∠B＝∠AED．
∵∠AED＝∠EDC＋∠C，∠B＝2∠C，
∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，
∴AB＋BD＝AE＋DE＝AE＋EC＝AC．
答图②
证法二：补短法．
证明：如答图②，延长AB到点E，使 AE＝AC，连接DE．
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．
在△AED和△ACD中，
∴△AED≌△ACD(SAS)，∴∠E＝∠C．
∵∠ABC＝∠E＋∠BDE，∠ABC＝2∠C，
∴∠E＝∠BDE，∴BE＝BD，
∴AB＋BD＝AB＋BE＝AE＝AC．
11．如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠AED＝28°，连接BE，求∠ABE的度数．
答图
解：如答图，过点E作EF⊥AB于点F．
∵∠D＝90°，AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠DAE，DE＝EF．
∵E是DC的中点，
∴DE＝CE，∴CE＝EF．
又∵∠C＝90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，即∠ABE＝∠CBE．
易得AD∥BC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°－∠AED＝62°，
∴∠CBE＝90°－∠BEC＝28°，
∴∠ABE＝28°．
答图
