华东师大版（2024）八下数学活动：探索函数增减性的证明 学案（含答案）

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分课时学案
课题 数学活动：探索函数增减性的证明 单元 16 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1. 理解并掌握用作差法证明函数增减性的基本原理和步骤； 2. 能理解一次函数增减性的代数证明过程，并类比证明反比例函数的增减性； 3. 体会从特殊到一般、从形到数的数学思想方法，培养逻辑推理能力。
重点 用作差法证明一次函数和反比例函数的增减性。
难点 理解反比例函数增减性中“在每一象限内”这一前提条件的必要性。
教学过程
导入新课 探索函数增减性的证明 在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而__________；当时，随的增大而__________。它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降。 我们可以证明这一性质的正确性。
新知讲解 我们知道，要比较两个数的大小，可以先求出它们的差。若，则；若，则；若，则。反之也正确。 根据这一事实，可以证明上述结论。 设一次函数，当自变量分别取，且时，对应的函数值分别为，。它们的差为 （= 由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 这就是一次函数的增减性。 【思考】试用类似的方法证明反比例函数的增减性。
巩固训练 1.已知一次函数y=kx+b的图象经过，两点，且当时，，则k的值为（ ）． A． B．2 C． D． 2. 若点，点，点都在一次函数y=-kx+10的图象上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定
作业布置 1.在一次函数 的图像上任取不同两点，，则的正负情况是（ ） A． B． C． D． 2.新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ．
答案：
1.已知一次函数y=kx+b的图象经过，两点，且当时，，则k的值为（ ）．
A． B．2 C． D．
解：由题意可得：，
∵一次函数y=kx+b的图象经过，两点
∴且∴
即2k= 1，∴ ，故选：C．
2. 若点，点，点都在一次函数y=-kx+10的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
解∵点在一次函数的图象上，∴，解得：，
∴一次函数解析式为，∵，
∴随的增大而减小，又∵点，点都在一次函数的图象上，且2>-1，∴，故选：．
作业设计
1.在一次函数 的图像上任取不同两点，，则的正负情况是（ ）
A． B． C． D．
解：，随的增大而减小，当时，， .
2.新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ．
解：由题意知，一次函数的“特征值”为，∵，∴随x的增大而减小，∴当x=-2时，，∴一次函数的“特征值”为9．故答案为：9．
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