8.2 立方根 课件（33张PPT） 2025-2026学年数学人教版七年级下册

(共33张PPT)
8.2 立方根
立方根（第1课时）
1．什么是一个数 a 的平方根？如何用符号表示数 a(a≥0)的平方根？
2．正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？
一般地，如果一个数x的平方等于 a，即x2＝a，那么这个数x叫作 a 的平方根或二次方根．
正数有两个平方根，它们互为相反数．
数 a(a≥0)的平方根用符号表示为± ．
3．负数有没有平方根？0 的平方根是什么？
负数没有平方根，0 的平方根是 0．
4．练一练
＝______； ＝____；
25 的平方根是______；－9 是_____的一个平方根．
7.2
5
±5
81
如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？
因为23＝8，所以这个数可以是2.除2以外，任何一个数的立方都不等于8.因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2.
利用一个数的平方运算可以求出一个数的平方根，那么已知一个数的立方，能否求出这个数呢？
23＝( ？)
立方运算
( ？)3＝8
？
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即x3＝a，那么这个数 x叫作 a 的立方根或三次方根．
2 叫做 8 的立方根；
23＝8
(－2)3＝－8
03＝0
－2 叫做－8 的立方根；
0 叫做 0 的立方根．
数的立方根与数的平方根有什么不同？
类似于平方根，一个数 a 的立方根记为“ ”，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数．
例如， 表示 8 的立方根， ； 表示－8 的立方根，
． 中的根指数 “3” 不能省略．
算术平方根的符号 ，实际上省略了 中的根指数 2．因此，
也可读作“二次根号 a”．
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
23＝( ？ )
立方运算
( ？ )3＝8
开立方运算
互逆
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的立方根．
互逆
求出下列各数的立方根.
（1）27； （2）－27； （3） ； （4）－0.125．
解：（1）因为 ，
所以 27 的立方根是 3，即 ．
（2）因为 ，
所以－27的立方根是－3，即 ．
求出下列各数的立方根.
（1）27； （2）－27； （3） ； （4）－0.125．
（4）因为 ，
　　所以－0.125 的立方根是－0.5，即 ．
解：（3）因为 ，
所以 的立方根是 ，即 ．
立方根的性质：
正数的立方根是正数，
负数的立方根是负数，
0 的立方根是 0．
因为 _____， _____，所以 _____ ；
因为 _____， _____，所以 _____ ．
－2　 　－2 　 ＝　　
－3　 　－3　　 ＝
这样，求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取它的相反数．
一般地， ．
例　求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3） ．
解：（1） ；
（2） ；
（3） ．
观察下列动图，巩固对立方根相关知识的理解．
观察下列动图，巩固对立方根相关知识的理解．
观察下列动图，巩固对立方根相关知识的理解．
立方根
立方根的表示方法
立方根的相关概念
立方根的性质
立方根（第2课时）
1．一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3＝a，那么这个数叫作 a 的__________________．
2．类似于平方根，一个数 a 的立方根记为“____”，读作“__________”，其中 a 是_________，3 是_______．
3．算术平方根的符号 ，实际上省略了___中的根指数___．
因此， 也可读作“___________”．
4．求一个数的立方根的运算，叫做_______．
立方根或三次方根
三次根号 a
被开方数
根指数
二次根号 a
2
开立方
5．正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，根据这种互逆关系，可以__________________．
6．立方根的性质：
正数的立方根是______，
负数的立方根是______，
0 的立方根是___．
7．一般地， _____．
求一个数的立方根
正数
负数
0
前面我们学习了 是一个无限不循环小数，你能再列举出几个无限不循环小数的例子吗？
实际上，很多有理数的立方根（如 ， ，3 等）是无限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们．
例如用计算器求 ，只需依次按键 2197 ，显示：13，所以＝13.用计算器求，只需依次按键 3 ，显示 的近似值：1.442249570，所以 1.442.
一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）.
怎样可以得到这些无限不循环小数的具体数值呢？
有些计算器需要调用备用功能 求一个数的立方根.
用计算器计算…， ， ， ， ，…，你能发现什么规律？
用计算器算得 ， ，
， ．
可以发现被开方数的小数点向右或向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 1 位．
用计算器计算 （结果保留小数点后三位），并利用你发现的规律求出 ， ， 的近似值．
由 ，得 ， ，
．
被开方数与立方根小数点的移动规律
求一个数的立方根时，被开方数的小数点每移动三位，其立方根的小数点就会向相应的方向移动一位．也就是说，当被开方数的小数点每向左或向右移动 3n 位时，其立方根的小数点向左或向右移动 n 位，反之，也成立．
任意找一个非零正数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？
计算的结果越来越接近 1．
任意找一个非零负数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？
计算的结果越来越接近－1．
任意一个非零正数（或负数），利用计算器对它不断进行开立方运算，其计算的结果越来越接近 1 或－1．
例1　利用计算器求下列各式的值（精确到 0.001）：
（1） ； （2） ．
解：（1）依次按键( ) －47 2 ，
显示：－3.613 937 739．
按精确到 0.001 取近似值， ．
例1　利用计算器求下列各式的值（精确到 0.001）：
（1） ； （2） ．
解：（2）依次按键( ) 3 5 ，
显示：0.843 432 665 3．
按精确到 0.001 取近似值， ．
例2　用计算器比较 和 的大小．
解：依次按键( ) 3 ，
显示：1.442 249 57．
依次按键( ) 2 ，
显示：1.414 213 562．
所以 ．
用计算器比较两数大小
先用科学计算器求出各个数的近似值，再通过比较近似值进而得出答案．
用计算器求立方根
用计算器比较两数大小
用计算器求立方根
用计算器探求数学规律