重庆市2026届高三下学期模拟调研卷（三）数学试卷（答案不全）
文档属性
| 名称 | 重庆市2026届高三下学期模拟调研卷（三）数学试卷（答案不全） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-20 00:00:00 | ||
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文档简介
重庆市康德2025-2026学年高三下学期3月调研数学试题
一、单选题
1．已知全集 小于 20 的质数 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
3．“直线与函数相切”是“直线与函数只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知扇形 ，其圆心角 ，将扇形绕 旋转一周得到几何体的体积为 ，则扇形的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知 ，内角 的对边分别为 ， ， ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、未知
6．若想要直观展示某城市一年内各个月份平均气温的变化趋势， 最合适的统计图是（ ）
A．饼图 B．频数分布直方图 C．折线图 D．散点图
7．已知 为复平面的原点，非零复数 ， 对应的点分别为 ， ，若 ，则（ ）
A． 共线 B． 关于实轴对称
C． 是等边三角形 D． 是直角三角形
8．函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知幂函数 的图象经过点 ，则（ ）
A．函数 为奇函数
B．函数 为增函数
C．若 ，则
D．若 ，则
10．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， .
(1)求证: 平面 ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求三棱锥 外接球的表面积.
11．已知函数 .
(1)求曲线 与 的公共点个数；
(2)记函数 .
① 求函数 的单调区间;
②若不等式 对任意的 都成立 (其中 是自然对数的底数)，求实数 的最大值.
三、多选题
12．已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（ ）
A．是定值 B．以为直径的圆过点
C．对于上的任一点恒成立 D．面积的最小值为2
13．在长方体中，，，，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，为直角
B．存在，使得平面
C．当时，取得最小值
D．当时，顶点到平面的距离取得最大值
四、填空题
14．已知平面向量和，若，则 _____.
15．若函数同时满足①；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 则符合条件的_____. (写出一个符合条件即可)
16．边长为 2 的正方形 中， 是以为圆心为半径的圆在正方形内的部分，是的中点，交 于，则四边形的面积为_____.
五、解答题
17．已知数列 满足 .
(1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由；
(2)证明: .
18．一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票.
(1)求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率；
(2)记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列与数学期望.
19．已知椭圆的左焦点为，且经过点，直线的斜率为，且与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若不过，且直线，的斜率成等差数列，求的取值范围；
(3)若经过原点，过椭圆上一点的切线与垂直，求面积的最大值.
参考答案
1．C
【详解】 小于 20 的质数 .
因为，
所以.
2．B
【详解】由，得，
若，则，上式成立；
若，则，则，得，
故方程的解为.
3．A
【详解】设“直线与函数相切”为命题，“直线与函数只有一个公共点”为命题，
因为直线与函数相切，所以直线与函数只有一个公共点，所以是的充分条件；
反之，当直线的方程为与函数只有一个公共点，但此时直线与函数并不相切，所以不是的必要条件；
所以是的充分不必要条件.
4．B
【详解】设扇形的半径为，依题意，所得几何体是以为球心，为半径的半球，
因此，解得，
所以扇形的半径为3.
5．B
【详解】选项A： 因为，则，
由正弦定理：，所以 ，
只有当（即，不可能）时，故A错误；
选项B：因为，所以，
又因为，所以，即，
化简可得：，
若，则，即；
若，则，，，，，
此时，也成立，故B正确；
选项C：因为，则，
所以，只有当时才相等，故C错误；
选项D：因为，由正弦定理可得，D错误.
12．ABD
【详解】抛物线的焦点，准线，设直线，，
由消去，得，则，
对于A，，A正确；
对于B，连接，由，
得，则，
因此以为直径的圆过点，B正确；
对于C，取中点，当为中点时，，则，C错误；
对于D，，
当且仅当时取等号，因此面积的最小值为2，D正确.
13．BCD
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，
则，则，
故，则，
，
A，当为中点时，则，，则，，
所以，则为锐角，故A错误；
B：当平面，因为平面，所以，
则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；
C，当时，取得最小值，
由B得，此时，则，，
所以，即的最小值为，故C正确；
D，，设平面的法向量，
则有，可取，
则点到平面的距离为，
当时，点到平面的距离为0，
当时，，
当且仅当时取等号，所以点到平面的最大距离为，故D正确.
14．
【详解】由题意得，，得.
15．（答案不唯一）
【详解】由得：，
令，则，所以函数为奇函数.
所以所求函数要满足：
①为奇函数；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增.
例如：.
由
，满足①，
由，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故满足②③,
所以函数满足题意.
16．/
【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系.
直线的方程为：，所在圆的方程为：.
将代入，得，
整理得：，
又，所以，所以.
即.
故作于，
则,
.
所以四边形的面积为.
17．(1)当时，此时为常数列且.
(2)证明见解析
【详解】（1）若为常数列，则，其中，
故，故（舍）或，
而当时，，此时为常数列且.
（2）因为，所以，
又因为，故，而，故，
所以，所以，
所以.
18．(1)
(2)， 的分布列为：
【详解】（1）设为“抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元”，
则.
（2）由题设有可取，
又，，
，
故的分布列为：
故.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，所以
又椭圆经过点，代入椭圆方程得，化简得即，整理得，解得（舍去负根）所以
所以椭圆的标准方程为
（2）设，因为不过，所以
设
，化简得
因为直线，的斜率成等差数列，所以即
又,，所以，
整理得
将代入化简得
整理得
即
解得（舍去）
所以，代入得，整理得解得或，
故的取值范围为
（3）设
解得，
故
所以
设，则，其斜率为
又，所以
因为在椭圆上，所以解得
不妨令则，
所以点到直线 的距离
所以面积
化简得
令，
则
，当且仅当时取等号，
所以
即面积的最大值为
一、单选题
1．已知全集 小于 20 的质数 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
3．“直线与函数相切”是“直线与函数只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知扇形 ，其圆心角 ，将扇形绕 旋转一周得到几何体的体积为 ，则扇形的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知 ，内角 的对边分别为 ， ， ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、未知
6．若想要直观展示某城市一年内各个月份平均气温的变化趋势， 最合适的统计图是（ ）
A．饼图 B．频数分布直方图 C．折线图 D．散点图
7．已知 为复平面的原点，非零复数 ， 对应的点分别为 ， ，若 ，则（ ）
A． 共线 B． 关于实轴对称
C． 是等边三角形 D． 是直角三角形
8．函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知幂函数 的图象经过点 ，则（ ）
A．函数 为奇函数
B．函数 为增函数
C．若 ，则
D．若 ，则
10．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， .
(1)求证: 平面 ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求三棱锥 外接球的表面积.
11．已知函数 .
(1)求曲线 与 的公共点个数；
(2)记函数 .
① 求函数 的单调区间;
②若不等式 对任意的 都成立 (其中 是自然对数的底数)，求实数 的最大值.
三、多选题
12．已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（ ）
A．是定值 B．以为直径的圆过点
C．对于上的任一点恒成立 D．面积的最小值为2
13．在长方体中，，，，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，为直角
B．存在，使得平面
C．当时，取得最小值
D．当时，顶点到平面的距离取得最大值
四、填空题
14．已知平面向量和，若，则 _____.
15．若函数同时满足①；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 则符合条件的_____. (写出一个符合条件即可)
16．边长为 2 的正方形 中， 是以为圆心为半径的圆在正方形内的部分，是的中点，交 于，则四边形的面积为_____.
五、解答题
17．已知数列 满足 .
(1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由；
(2)证明: .
18．一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票.
(1)求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率；
(2)记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列与数学期望.
19．已知椭圆的左焦点为，且经过点，直线的斜率为，且与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若不过，且直线，的斜率成等差数列，求的取值范围；
(3)若经过原点，过椭圆上一点的切线与垂直，求面积的最大值.
参考答案
1．C
【详解】 小于 20 的质数 .
因为，
所以.
2．B
【详解】由，得，
若，则，上式成立；
若，则，则，得，
故方程的解为.
3．A
【详解】设“直线与函数相切”为命题，“直线与函数只有一个公共点”为命题，
因为直线与函数相切，所以直线与函数只有一个公共点，所以是的充分条件；
反之，当直线的方程为与函数只有一个公共点，但此时直线与函数并不相切，所以不是的必要条件；
所以是的充分不必要条件.
4．B
【详解】设扇形的半径为，依题意，所得几何体是以为球心，为半径的半球，
因此，解得，
所以扇形的半径为3.
5．B
【详解】选项A： 因为，则，
由正弦定理：，所以 ，
只有当（即，不可能）时，故A错误；
选项B：因为，所以，
又因为，所以，即，
化简可得：，
若，则，即；
若，则，，，，，
此时，也成立，故B正确；
选项C：因为，则，
所以，只有当时才相等，故C错误；
选项D：因为，由正弦定理可得，D错误.
12．ABD
【详解】抛物线的焦点，准线，设直线，，
由消去，得，则，
对于A，，A正确；
对于B，连接，由，
得，则，
因此以为直径的圆过点，B正确；
对于C，取中点，当为中点时，，则，C错误；
对于D，，
当且仅当时取等号，因此面积的最小值为2，D正确.
13．BCD
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，
则，则，
故，则，
，
A，当为中点时，则，，则，，
所以，则为锐角，故A错误；
B：当平面，因为平面，所以，
则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；
C，当时，取得最小值，
由B得，此时，则，，
所以，即的最小值为，故C正确；
D，，设平面的法向量，
则有，可取，
则点到平面的距离为，
当时，点到平面的距离为0，
当时，，
当且仅当时取等号，所以点到平面的最大距离为，故D正确.
14．
【详解】由题意得，，得.
15．（答案不唯一）
【详解】由得：，
令，则，所以函数为奇函数.
所以所求函数要满足：
①为奇函数；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增.
例如：.
由
，满足①，
由，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故满足②③,
所以函数满足题意.
16．/
【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系.
直线的方程为：，所在圆的方程为：.
将代入，得，
整理得：，
又，所以，所以.
即.
故作于，
则,
.
所以四边形的面积为.
17．(1)当时，此时为常数列且.
(2)证明见解析
【详解】（1）若为常数列，则，其中，
故，故（舍）或，
而当时，，此时为常数列且.
（2）因为，所以，
又因为，故，而，故，
所以，所以，
所以.
18．(1)
(2)， 的分布列为：
【详解】（1）设为“抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元”，
则.
（2）由题设有可取，
又，，
，
故的分布列为：
故.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，所以
又椭圆经过点，代入椭圆方程得，化简得即，整理得，解得（舍去负根）所以
所以椭圆的标准方程为
（2）设，因为不过，所以
设
，化简得
因为直线，的斜率成等差数列，所以即
又,，所以，
整理得
将代入化简得
整理得
即
解得（舍去）
所以，代入得，整理得解得或，
故的取值范围为
（3）设
解得，
故
所以
设，则，其斜率为
又，所以
因为在椭圆上，所以解得
不妨令则，
所以点到直线 的距离
所以面积
化简得
令，
则
，当且仅当时取等号，
所以
即面积的最大值为
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