2026年02月25日广东中考真题压轴 模拟压轴（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年02月25日广东中考真题压轴 模拟压轴（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-20 00:00:00 | ||
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文档简介
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初中数学试卷2026年02月25日广东中考真题压轴+模拟压轴
一、填空题
1．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ．
2．如图，已知点A(2，3)和点B(0，2)，点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 .
3．如图，以 ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数的图象交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是 ．
4．在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF= ，则AC= ．
5．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需 分钟到达终点B．
6．如图，在 中， ， ， ， ， ，点 在 上， 交 于点 ， 交 于点 ，当 时， ．
7．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝ m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为 m.
8．如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE
③AF：BE=2：3 ④
其中正确的结论有 。（填写所有正确结论的序号）
9．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 .
10．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为 则正方形ABCD的面积为
11．正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为 ．
12．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且 ，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；② 的周长为 ；③ ；④ 的面积的最大值 .其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
13．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位： ）9.9，10.1，10.0，若用 作为这条线段长度的近以值，当 mm 时， 最小．对另一条线段的长度进行了 次测量，得到 个结果（单位： ） ，若用 作为这条线段长度的近似值，当 时， 最小．
14．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图， ，点 ， 分别在射线 ， 上， 长度始终保持不变， ， 为 的中点，点 到 ， 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 的最小值为 ．
15．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为 ．
16．如图，在边长为4的正方形 中将 沿射线 平移，得到 ，连接 、 ．求 的最小值为 ．
17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6 ，则另一直角边BC的长为 ．
18．如图，在菱形 中， ，取大于 的长为半径，分别以点 ， 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 边于点 （作图痕迹如图所示），连接 ， ，则 的度数为 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标 ，将线段 绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为 的2倍，得到线段 ；又将线段 绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为 的2倍，得到线段 ；如此下去，得到线段 、 ，……， （n为正整数），则点 的坐标是 ．
20．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 ．
21．如图所示，已知：点A（0，0），B（ ，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于 ．
22．如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．
23．已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为 ．
24．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且 ，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与 交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2） ；（3） ；（4） ，其中正确的结论有 （填写所有符合题意结论的序号）．
25．如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接.过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，.若，，则四边形的面积是 .
26．如图，在中，，，，点是边上一动点，点，分别是，的中点，当时，的长是 若点在边上，且，点，分别是，的中点，当时，四边形面积的取值范围是 ．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为 ．
28． 如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'），A'B'交函数 的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k=2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积；
③的最小值是；
④∠B'BD=∠BB'O．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
29．如图， 在 中， 为 上一点， 且满足 ， 过 作 交 延长线于点 ， 则 .
30．如图，菱形 中， ， ，延长 至 ，使 ，以 为一边，在 的延长线上作菱形 ，连接 ，得到 ；再延长 至 ，使 ，以 为一边，在 的延长线上作菱形 ，连接 ，得到 ……按此规律，得到 ，记 的面积为 ， 的面积为 …… 的面积为 ，则 ．
31．记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1=2128，则n= ．
32．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）= ．
33．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．
34．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为 .
35．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为 ．
36．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为 ．
37．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上， = ，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数ｙ＝ 的图象过点C，若以CD为边的正方形的面积等于 ，则k的值是 .
38．如图，在 ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留π）.
39．如图，等腰直角三角形ABC的顶点A，C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC= ，反比例函数y= （k>0）的图象过BC中点E，交AB于点D，连接DE，当△BDE∽△BCA时，k的值为 .
40．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2018时，顶点A的坐标为 ．
41．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是
42．如图， OABC中顶点A在x轴负半轴上，B、C在第二象限，对角线交于点D，若C、D两点在反比例函数 的图象上，且 OABC的面积等于12，则k的值是 ．
43．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标，纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．
则M2016顶点的坐标为 ．
44．将函数（b为常数）的图象位于 轴下方的部分沿 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标 满足 ，则b的取值范围为 ．
45．数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段AnA的长度为 （n≥3，n是整数）．
46．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，点G为△ABC的重心．如果GC=2，那么sin∠GCB的值是 ．
47．如图，点 分别在一次函数 的图象上，其横坐标分别 设直线AB的解析式为 ，若 是整数时，k也是整数，满足条件的k值共有 个
48．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD= ．
49．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
50．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2 ，则MF的长是 ．
51．如图所示，抛物线 与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为 .
52．如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E，F，与双曲线y=﹣ （x＜0）交于点P（﹣1，n），且F是PE的中点，直线x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），PA=PB，则a= ．
53．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动．给出以下四个结论：
①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大．上述结论中正确的序号有 ．（把你认为正确的序号都填上）
54．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为 ．
55．已知 ， （其中 和 都表示角度），比如求 ，可利用公式得 ，又如求 ，可利用公式得 ，请你结合材料，若 （ 为锐角），则 的度数是 ．
56．如图，点 分别在一次函数 的图象上，其横坐标分别 设直线AB的解析式为 ，若 是整数时，k也是整数，满足条件的k值共有 个
57．正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=2 ，AE=8，则ED= ．
58．如图，矩形绕点顺时针旋转使得的对应边刚好经过点，连接，若，则 ．
59．小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为 ．
60．如图，线段AB与CD相交于点，则的最小值为 ．
61．如图，在 ABCD中，∠B＝135°，ABBC，将△ABC沿对角线AC翻折至△EAC，AE与CD相交于点F，连接DE，则的值为 ．
62．如图，在反比例函数上有两点和，若在第二象限存在一点，使得四边形OBAC为平行四边形，且平行四边形OBAC的面积为8，则点的坐标为 ．
63． 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点，位于第一象限，反比例函数（，）的图象经过点且与相交于点，若的面积为，，则的值为 .
64． 如图，在中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，连接交于点F，连接交于点G；若F为的中点，则 ．
65．如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ．
66．如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 ．
67．如图，是半圆O的直径，C是的中点，于点E，分别与交于点F，G．给出下面四个结论：
①；
②；
③当，时，；
④当，时，的面积是．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
68．如图，在中，，平分，连接并延长至点E，使得，连接，恰好有．若，则 ．
69．如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ．
70．如图，等腰中，点P为斜边中点，点D在上且，将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，连接．则的最大值为 ．
71．如图，在正方形中，是平面内一点，，连接．过点作的垂线交直线于点．下列结论：①；②；③当时，；④的最小值为．其中正确的结论是 ．
72．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号）
①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．
73．如图，正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为 ．
74．如图，在中，，点在线段CD上且满足与BD交于点，若，则 ．
75．如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，G为AE上的一点，且∠F GE=45°，则GF的长为 ．
76．材料阅读：
光从空气射入玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．如图1，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（），即．
问题求解：如图2，矩形为某透明玻璃，一束光线从点以俯角45°射向玻璃上的点，折射后到达玻璃底部的点，测得，，，则折射率 ，同样的光线从点以俯角60°射向玻璃上的点，折射后到达玻璃底部的点，测得，则 ．
77．如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为 ．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图1所示
，
作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴，即，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=，
S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD DQ﹣CQ CP﹣BE BP
=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=，
故答案为：．
【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．
2．【答案】（-1，-6）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作BF⊥AC于点F，作AE⊥y轴于点E，设AC交y轴于点D，
∵A（2，3），B（0，2）
∴AE=2，BE=1，
∴AB=，
又∵∠BAC=45°，
∴BF=AF=，
∴△DEA∽△DFB，令AD=x，
∴=，
∴
∴DE=
又∵
解得=2，=(舍去）
∴AD=2，
设D（0，y）
∴+4=
解得：=-3，=9（舍去）
∴设AC直线方程为y=kx+b，将A（2，3），D（0，-3）代入直线方程得，
；解得
∴AC：y=3x-3，
∵A（2，3）在y=上，
∴k=2×3=6，
∴；解得；
∴C（-1，-6）.
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用△DEA∽△DFB，利用相似三角形的性质求出AD的长，根据勾股定理求出D点坐标，再利用待定系数法求出AC的直线方程，再利用二元一次方程组求出C点坐标。
3．【答案】9
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），
∴点B的坐标为：（5，4），
把点A（2，4）代入反比例函数y=得：k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把点B（5，4），C（3，0）代入得：，
解得：k=2，b=﹣6，
∴直线BC的解析式为：y=2x﹣6，
解方程组 得：
，或 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：（4，2），
即D为BC的中点，
∴△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，
∴四边形AOCD的面积=平行四边形ABCO的面积﹣△ABD的面积=3×4﹣×3×4=9；
故答案为：9．
【分析】先求出反比例函数和直线BC的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点D的坐标，得出D为BC的中点，△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，即可求出四边形AOCD的面积．
4．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作EG⊥AF，连接CF，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA=45°，∴∠AFE=45°，
在Rt△EGF中，
∵EF= ，∠AFE=45°，
∴EG=FG=1，
又∵AF=4，
∴AG=3，
∴AE= ，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴CF平分∠ACB，
∴∠ACF=45°，
∵∠AFE=∠ACF=45°，∠FAE=∠CAF，
∴△AEF∽△AFC，
∴ ，
即 ，
∴AC= .
故答案为： .
【分析】作EG⊥AF，连接CF，根据三角形内角和和角平分线定义得∠FAB+∠FBA=45°，再由三角形外角性质得∠AFE=45°，在Rt△EGF中，根据勾股定理得EG=FG=1，结合已知条件得AG=3，在Rt△AEG中，根据勾股定理得AE= ；由已知得F是三角形角平分线的交点，所以CF平分∠ACB，∠ACF=45°，根据相似三角形的判定和性质得 ，从而求出AC的长.
5．【答案】78
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，
甲的速度是1÷6= 千米/分钟，
由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，
设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得
10x+16× =16，
解得x= 千米/分钟，
相遇后乙到达A站还需（16× ）÷ =2分钟，
相遇后甲到达B站还需（10× ）÷ =80分钟，
当乙到达终点A时，甲还需80﹣2=78分钟到达终点B，
故答案为：78．
【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案．
6．【答案】3
【知识点】余角、补角及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R，
∵∠ABC=∠MPN=90°.
∴∠PEB+∠PFB=180°.
又∵∠PEB+∠PEQ=180°.
∴∠PFB=∠PEQ.
∴△QPE∽△RPF.
∵PE=2PF.
∴PQ=2PR=2BQ.
∴△AQP∽△ABC.
∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5.
设PQ=4x，
∴AQ=3x，AP=5x，PR=BQ=2x.
∴AB=AQ+BQ=5x=3.
∴x=.
∴AP=5x=3.
故答案为3.
【分析】如图：作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R，由题易得∠PFB=∠PEQ；可得△QPE∽△RPF；△AQP∽△ABC；根据相似三角形的性质与已知条件即可求出AP.
7．【答案】88；
【知识点】二次函数的最值；扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）在B点处是以点B为圆心，10为半径的个圆；在A处是以A为圆心，4为半径的个圆；在C处是以C为圆心，6为半径的个圆；
∴S=..+..+..=88；
（2）设BC=x，则AB=10-x；
∴S=..+..+..；
=（-10x+250）
当x=时，S最小，
∴BC=
【分析】（1）在B点处是以点B为圆心，10为半径的个圆；在A处是以A为圆心，4为半径的个圆；在C处是以C为圆心，6为半径的个圆；这样就可以求出S的值；
（2）在B点处是以点B为圆心，10为半径的个圆；在A处是以A为圆心，x为半径的个圆；在C处是以C为圆心，10-x为半径的个圆；这样就可以得出一个S关于x的二次函数，根据二次函数的性质在顶点处取得最小值，求出BC值。
8．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，
∴AO=BO，∠AOE=∠BOC=90°，BC∥AE，AE=BE，CA=CB，
∴∠OAE=∠OBC，
∴△AOE≌△BOC（ASA），
∴AE=BC，
∴AE=BE=CA=CB，
∴四边形ACBE是菱形，
故①正确.
②由①四边形ACBE是菱形，
∴AB平分∠CAE，
∴∠CAO=∠BAE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠CAO=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAE.
故②正确.
③∵CE垂直平分线AB，
∴O为AB中点，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AO= AB= CD，
∴△AFO∽△CFD，
∴ = ，
∴AF：AC=1：3，
∵AC=BE，
∴AF：BE=1：3，
故③错误.
④∵ ·CD·OC，
由③知AF：AC=1：3，
∴ ，
∵ = × CD·OC= ，
∴ = + = = ，
∴
故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】①根据平行四边形和垂直平分线的性质得AO=BO，∠AOE=∠BOC=90°，BC∥AE，AE=BE，CA=CB，根据ASA得△AOE≌△BOC，由全等三角形性质得AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出①正确.
②由菱形性质得∠CAO=∠BAE，根据平行四边形的性质得BA∥CD，再由平行线的性质得∠CAO=∠ACD，等量代换得∠ACD=∠BAE；故②正确.
③根据平行四边形和垂直平分线的性质得BA∥CD，AO= AB= CD，从而得△AFO∽△CFD，由相似三角形性质得 = ，从而得出AF：AC=1：3，即AF：BE=1：3，故③错误.
④由三角形面积公式得 ·CD·OC，从③知AF：AC=1：3，所以 = + = = ，从而得出 故④正确.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；确定圆的条件；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作FH⊥PE于H.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5 ，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝ ，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4 ，AE＝ ，
∴EH＝5 ，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5 ）2+（ ）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴ ，
∴EF2＝EC EP，
∴EP＝
故答案为： 。
【分析】如图，作FH⊥PE于H，根据正方形的性质及勾股定理得出AC＝5 ，∠ACD＝∠FCH＝45°，根据等腰直角三角形的性质得出CH＝HF＝ ，进而得出CE，AE，EH的长，在Rt△EFH中，利用勾股定理算出EF的长；根据确定圆的条件得出E，G，F，C四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得出∠EFG＝∠ECG＝45°，然后判断出△CEF∽△FEP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式即可求出EP的长。
10．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．
∵BP=BM= ，∠PBM=90°，
∴PM= PB=2，
∵PC=4，PA=CM=2 ，
∴PC2=CM2+PM2，
∴∠PMC=90°，
∵∠BPM=∠BMP=45°，
∴∠CMB=∠APB=135°，
∴∠APB+∠BPM=180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH=HM，
∴BH=PH=HM=1，
∴AH=2 +1，
∴AB2=AH2+BH2=（2 +1）2+12=14+4 ，
∴正方形ABCD的面积为14+4 ．
故答案为14+4 ．
【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．
11．【答案】
【知识点】一次函数的图象；正方形的性质
【解析】【解答】设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t，t），所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B1（1，1）；
设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B2（1+a，a），a=﹣（1+a）+2，解得a=，得到B2（，）；
设正方形A2A3B3C3的边长为b，则B3（+b，b），b=﹣（+b）+2，解得b=，得到B3（，），
所以A3（，0）．故答案为（，0）．
【分析】设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t，t），根据t一次函数图象上点的坐标特征得到t=﹣t+2，解得t=1，得到B1（1，1），然后利用同样的方法可求得B2（，），B3（，），则A3（，0）．
12．【答案】①④
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH．
∵BE=BH，∠EBH=90°，
∴EH= BE，∵AF= BE，∴AF=EH，
∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠EHC=135°，
∵BA=BC，BE=BH，
∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，
∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，
∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，
设BE=x，则AE=a-x，AF= ，
∴∴ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值是 ，④正确；
故答案为：①④.
【分析】根据全等三角形的判定定理（AAS）和三角形的周长、面积公式，可列出关系式，得到正确的结论。
13．【答案】10.0；
【知识点】探索数与式的规律；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）整理 得： ，
设 ，
由二次函数的性质可知：当 时，函数有最小值，
即：当 时， 的值最小，
故答案为：10.0；（2）整理 得： ，
设 ，由二次函数性质可知：
当 时， 有最小值，
即：当 时， 的值最小，
故答案为： ．
【分析】（1）把 整理得： ，设 ，利用二次函数性质求出当 时有最小值；（2）把 整理得： ， 设 ，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时 的值．
14．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图当 、 、 三点共线，距离最小，
∵ ， 为 的中点，
∴ ， ，
，
故答案为： ．
【分析】根据当 、 、 三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图3中，连接AH．
由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，
∴AH= = = ，
故答案为 ．
【分析】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH= ，计算即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，
∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AE∥BG，CG=DE，
∴AE⊥CC′，
由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，
∴EC+GC=C′E+ED，
当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′D′E中，
C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D= ，
即EC+GC的最小值为 ，
故答案为： ．
【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．
17．【答案】7
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=6 ，
∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，
解得：CF=OF=6，
∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，
则BC=CF+BF=6+1=7．
故答案为：7．
解法二：如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=6 ，
∴CM=ON=6．
∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，
∴BC=CN+NB=6+1=7．
故答案为：7．
【分析】过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．
18．【答案】45°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】
∵
∴
∴
故答案为：45°．
【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得 ；结合 °， ，可计算 的度数．
19．【答案】（0，-22019）
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点P1的坐标为 ，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP1；
∴OP1=1，OP2=2，
∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，
∴OPn=2n-1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8=252…4，
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，
∴点P2020的坐标是（0，-22019）．
故答案为：（0，-22019）．
【分析】根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP3=4=22，OP4=8=23…，OPn=2n-1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
20．【答案】（﹣1，5）
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图，
过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
，
∴△OGM≌△EOH（ASA），
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（﹣3，2），
∴O′（﹣
，
），
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5），
故答案是：（﹣1，5）．
【分析】此题的难点在于正确添加辅助线。先利用正方形的性质为三角形全等创造条件，从而求出关键点G的坐标，然后再根据中心对称的性质得出点F的坐标。
21．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵OB= ，OC=1，
∴BC=2，
∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．
而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，
∴∠COA1=30°，则∠CA1O=90°．
在Rt△CAA1中，AA1= OC= ，
同理得：B1A2= A1B1= ，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于 ．
【分析】根据题目已知条件可推出，AA1= OC= ，B1A2= A1B1= ，依此类推，第n个等边三角形的边长等于 ．
22．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥DE于点M，
由折叠可得AE=AB，又AB=AC，
∴AB=AC=AE，
设AB=AC=AE=20，
∵AG∶CG=3∶1，
∴AG=15，CG=5，
由折叠知：∠E=∠B，
∴，
设AM=3x，EM=4x，
在Rt△AME中，由勾股定理得AM2+ME2=AE2，
即（3x）2+（4x）2=202，
解得x=4，
∴AM=12，EM= 16，
在Rt△AMG中，由勾股定理得AM2+MG2=AG2，
即122+MG2=152，
解得MG=9，
∴GE=ME-MG=7，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠B=∠E，
∴∠C=∠E，
又∠AGE=∠DGC，
∴△AEG∽△DCG，
∴，即
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥DE于点M，易得AB=AC=AE，设AB=AC=AE=20，则AG=15，CG=5，由折叠性质及等角的同名三角函数值相等得，设AM=3x，EM=4x，在Rt△AME中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到AM、EM的长，在Rt△AMG中，由勾股定理可算出MG的长，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEG∽△DCG，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DG的长，最后根据同高三角形的面积之比等于底之比即可求出答案.
23．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BD交BF延长线与点H，连接EH，
∵
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，三角形的判定与性质计算求解即可。
24．【答案】（1）（3）（4）
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即H是FK的中点；故结论（1）符合题意；
（2）过点H作 交BC于N，交AD于M，
由（1）得 ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形ABCD是正方形， ，
∴ ．
∴四边形ABNM是矩形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
解得 ．
则 ．
∵ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 与 不全等，故结论（2）不符合题意；
（3）∵ ，
∴ ．
即 ．
解得 ．
由（2）得 ， ．
∴ ；故结论（3）符合题意；
（4）由（1）得，H是FK的中点，
∴ ．
由勾股定理得 ．
∴ ；故结论（4）符合题意．
故答案为：（1）（3）（4）．
【分析】利用勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，对每个结论一一判断求解即可。
25．【答案】80
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥JC，交JC的延长线于点M，过点F作FN⊥JC，交JC的延长线于点N，则∠M=∠FNC=∠FNI=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，∠FCN+∠CFN=90°.
∵四边形ABHL、ACDE、BCFG为正方形，
∴AB=BH=HL=AL，∠BAL=∠L=∠H=∠ABH=∠ACD=∠BCF=90°，AC=CD，BC=CF，
∴∠DCM+∠ACJ=90°，∠FCN+∠BCJ=90°，
∴∠CDM=∠ACJ，∠CFN=∠BCJ.
∵CJ⊥AB，
∴∠AJC=∠BJC=∠AJK=∠BJK=90°，
、∴四边形AJKL、BJKH均为矩形，
∴∠M=∠AJC，∠CNF=∠BJC.
∵∠M=∠AJC，∠CDM=∠ACJ，CD=AC，
∴△CDM≌△ACJ，
∴DM=CJ=4，CM=AJ.
∵∠CNF=∠BJC，∠CFN=∠BCJ，CF=BC，
∴△CFN≌△BCJ，
∴FN=CJ=4，
∴DM=FN=4.
∵∠DIM=∠FIN，∠M=∠FNI，DM=FN，
∴△DMI≌△FNI，
∴DI=FI.
∵∠DCF=∠ACB=90°，
∴CI=DF，
∴DF=10，FI=DI=DF=5，
∴IM==3，
∴AJ=CM=CI+MI=8.
∵AC=DC，∠ACB=∠DCF，BC=FC，
∴△ABC≌△DFC，
∴AB=DF=10，
∴AL=AB=10，
∴S四边形AJKL=AJ·AL=80.
故答案为：80.
【分析】过点D作DM⊥JC，交JC的延长线于点M，过点F作FN⊥JC，交JC的延长线于点N，根据正方形的性质很容易得到AB=BH=HL=AL，∠BAL=∠L=∠H=∠ABH=∠ACD=∠BCF=90°，AC=CD，BC=CF，根据同角的余角相等可得∠CDM=∠ACJ，∠CFN=∠BCJ，易得四边形AJKL、BJKH均为矩形，根据矩形的性质得到∠M=∠AJC，∠CNF=∠BJC，证明△CDM≌△ACJ，△CFN≌△BCJ，△DMI≌△FNI，得到DM=CJ=4，FN=CJ=4，DM=FN=4，DI=FI，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CI=DF，据此可得DF、FI、IM的值，然后证明△ABC≌△DFC，求出AB、AL的值，接下来根据S四边形AJKL=AJ·AL进行计算.
26．【答案】；
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE是△ABM的中位线，
∴DE=AM=1.2；
如图，
设AM=x，
∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE=AM=x，DE∥AM，
同理FG=AM=x，DF∥AM，
∴DE=GF，DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=8，
∴DE边上的高为（4-x），
∴四边形DEFG的面积为S=x（4-x）=2x-x2=-（x-4）2+4，
∵2.4＜x≤6，
∴3＜x≤4.
故答案为：1.2；3＜x≤4.
【分析】根据三角形中位线定理DE=AM=1.2；设AM=x，由三角形中位线定理易得DE=AM=x，DE∥AM，同理FG=AM=x，DF∥AM，则DE=GF，DE∥GF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DEFG是平行四边形，由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，在Rt△ABC中，由勾股定理算出BC=8，则DE边上的高为（4-x），进而根据平行四边形的面积计算公式建立出S关于x的函数解析式，根据二次函数的性质及x的取值范围即可求出S的取值范围.
27．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：记A1C交AB于D，如图：
∵A1B1//AC，
∴∠A1=∠A1CA，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，
∴∠A1=∠BAC，
∴∠A1CA=∠BAC，
∴CD=AD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BAC=90°=∠A1CA+∠BCD，
∴∠CBD=∠BCD，
∴BD=CD，
∴BD=CD=AD，
∴，
∵S△ABE=3S△ACE，
即2S△ADE=3S△ACE，
∴S△ADE：S△ACE=DE：CE=3：2.
设CE=2x ，则DE=3x，BD=AD=CD=5x，
∴
，
∴ Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，
即
解得：，
∴.
故答案为：.
【分析】记A1C交AB于D，由平行的性质得到∠A1=∠A1CA，由旋转得到∠A1=∠BAC，于是可得∠A1CA=∠BAC，根据∠CBD+∠BAC=∠A1CA+∠BCD=90°，得到∠CBD=∠BCD，从而可得AD=CD=BD.根据2S△ADE= S△ABE＝3S△ACE可得DE：CE=3：2.设CE=2x，可表示出DE，BD，BC，AB的长，利用勾股定理即可求出x，从而可得AB的长.
28．【答案】①②④
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，
∵矩形ABCO，
∴BC=OA，OC=AB
∵点A（1，0），点C（0，2），
∴OA=BC=1，OC=AB=2，
∴点B（1，2）
∵ 矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，
∴k=1×2=2，故①正确；
∵将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'）， A'B'交函数 的图象于点D，DE⊥y轴，
∴S△AOB=S△ODA'，
∴S△OBF=S四边形AA'DF，
∴S△BOF+S△BDF=S四边形AA'DF+S△BDF即S△OBD=S四边形ABDA'，故②正确；
∵当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，G(1，1)，AE的最小值是 ，
∴A'E的最小值大于
∴将AB逐渐向右平移，点E向点O移动，与反比例函数的交点D也逐渐下移，向点A'靠近，
∴A'E的长逐渐趋于OA的长度，故③错误；
由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，
∴向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，
∴OB=OB'，
∴∠B'BD=∠BB'O，故④正确；
∴正确结论的序号为①②④
【分析】设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，利用矩形的性质和点A、C的坐标，可求出BC，AB的长，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入函数解析式求出k的值，可对①作出判断；利用反比例函数的几何意义可知S△AOB=S△ODA'，可推出S△OBF=S四边形AA'DF，据此可得到 △OBD的面积等于四边形ABDA'的面积，可对②作出判断；当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，可得到点G(1，1)，利用勾股定理可得到AE的最小值是，可推出A'E的最小值大于，利用平移可知A'E的长逐渐趋于OA的长度，可对③作出判断；由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，利用矩形的性质可知OB=OB'，利用等边对等角可证得∠B'BD=∠BB'O，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
29．【答案】
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G
设AB=13，则CB=13，由tan∠B=，得AF=5，BF=12，故CF=1，
而由得BD=8，DC=5，得DF=4；
易知tan∠ACF=，
由∠GCE=∠ACF，得tan∠GCE=5，设CG=a，则GE=5a，
∠ADF+∠GDE=90°，∠ADF+∠DAF=90°
得∠DAF=∠GDE，又∠AFD=∠DGE=90°，
得△ADF~△DEG，
故即有
解得a=，
由AF||EG得
故填：.
【分析】由考虑构造直角三角形，设AB=13，可得其它线段长度，利用△ADF~△DEG可得a值，即可求出的值.
30．【答案】
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
同理可得 ……. 都为等边三角形，
过点B作BE⊥CD于点E，如图所示：
∴ ，
∴ ，
同理可得： ， ，……；
∴由此规律可得： ，
∴ ；
故答案为 ．
【分析】先求出 为等边三角形，再利用三角形的面积公式，找出规律，计算求解即可。
31．【答案】64
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
=（2﹣1）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
=（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
=（2n﹣1）（1+2n），
=22n﹣1，
∴x+1=22n﹣1+1=22n，
2n=128，
∴n=64．
故填64．
【分析】根据平方差公式的变形，求出代数式，再由代数式的值，求出n的值.
32．【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．
【分析】首先利用换元的思想令x+y=a，xy=b，从而将原代数式变形为（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a），然后去括号，利用分组分解法，将第一组利用完全平方公式分解，第二组利用提公因式法分解，然后再整体利用完全平方公式分解；最后再将换元的部分代入，在底数内利用分组分解法，再利用提公因式法分解到不能再分解为止。
33．【答案】﹣5
【知识点】一次函数的图象；切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，∵⊙P与边AB，AO都相切，∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，∴OB==6，∵AC=2，∴OC=6，∴△OBC为等腰直角三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，∴AE=AD=2+r，∵∠CAH=∠BAO，∴△ACH∽△ABO，∴=，即=，解得CH=，∴AH===，
∴BH=10﹣=，∵PE∥CH，∴△BEP∽△BHC，∴=，即=，解得r=1，∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5，∴P（5，﹣1），
∴k=5×（﹣1）=﹣5．故答案为：﹣5
【分析】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再 利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明 △ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEH∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=1，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．
34．【答案】8，，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：①当BA=BP时，
易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
易得△AOE∽△ABD，
∴=，
∴BD=，
∴BD=PD=，即PB=，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴=，
∴CP=，
∴BC=CP﹣BP=-=；
③当PA=PB时
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，
∴OF=3，
∴FP=8，
易得△PFB∽△CGB，
∴==，
设BG=t，则CG=2t，
易得∠PAF=∠ACG，
∵∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴=，
∴=，解得t=，
在Rt△BCG中，BC=t=，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，
故答案为：8，，．
【分析】①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；
③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质=，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．
35．【答案】或10
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】①如图1，当点F在矩形内部时，
∵四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8，
∴AB=CD，
又∵点F在线段AB的垂直平分线MN上，
∴AN=DM=4，
由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE，
在Rt△ANF中，
∴NF==3，
∴FM=5-3=2，
设DE=EF=x，则ME=4-x，
在Rt△ANF中，
∴ME2+MF2=EF2，
即（4-x）2+22=x2，
∴x=.
即DE=.
②如图2，当点F在矩形外部时，
∵四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8，
∴AB=CD，
又∵点F在线段AB的垂直平分线MN上，
∴AN=DM=4，
由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE，
在Rt△ANF中，
∴NF==3，
∴FM=5+3=8，
设DE=EF=y，则ME=y-4，
在Rt△EMF中，
∴ME2+MF2=EF2，
即（y-4）2+82=y2，
∴y=10.
即DE=10.
故答案为：或10.
【分析】根据题意分两种情况讨论：①点F在矩形内部，②点F在矩形外部，分别根据折叠的性质和勾股定理，列出方程求解即可得到DE的长.
36．【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
综上所述， 的值为 ．
故答案为：
【分析】此题是利用绝对值的意义，去绝对值符号然后合并同类项，由于题中有多个绝对值符号，所以需要分类讨论：①当 x ≤ 1 时，②当 1 < x ≤ 2 时，③当 2 < x ≤ 3 时，④当 x > 3 时，分这四类分别判断出绝对值符号里面的算式的计算结果是正负的情况，然后去掉绝对值符号，再合并即可得出答案。
37．【答案】7
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设OA=3a，则OB=4a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
则根据题意得： ，
解得： ，
则直线AB的解析式是y=﹣ x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．
根据题意得： ，
解得：
则D的坐标是（ ， ），
OA的中垂线的解析式是x= ，
则C的坐标是（ ， ），
则k= × = ．
∵以CD为边的正方形的面积为 ，
∴2（ ﹣ ）2= ，
则a2= ，
∴k= × =7．
故答案为7.
【分析】根据 = ，可设OA=3a，OB=4a，求出直线AB；由OD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x；联立直线解析式求得点D的坐标，和求出点C的坐标，可得到CD的长，根据CD2= ，求出a的值，从而得到k的值.
38．【答案】3﹣π
【知识点】平行四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD sin30°=1，EB=AB﹣AE=2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣﹣2×1÷2
=4﹣π﹣1
=3﹣π．
故答案为：3﹣π
【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求 ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积= ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．
39．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的性质
【解析】【解答】解 ：如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC= ，
反比例函数y= （k>0）的图象过BC中点E，
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（，），
∵△BDE∽△BCA
∴三角形BDE也是等腰直角三角形，
∴DF=EF
∴F（，）
∴D（-，）
∴
解 得：k=3
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC= 2 ，反比例函数y= （k>0）的图象过BC中点E，∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（ ， ），由△BDE∽△BCA得出三角形BDE也是等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一得出DF=EF，进而得出F，D的坐标，根据反比例函数的比例系数的性质得出关于k的方程，求解得出k的值。
40．【答案】（4，0）
【知识点】坐标与图形性质；圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OC、OD、OF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，
∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴点A旋转6次回到点A，
2018÷6=336…2，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次，与点E重合，
∴顶点A的坐标为（4，0），
故答案为（4，0）．
【分析】此题主要考查了正六边形的性质，坐标与图形的性质-旋转．将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2017次时，点A所在的位置就是原F点所在的位置.注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用.
41．【答案】（ ，3）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，∴AB=OA=2，∠BAD=60°，∴AD=1，BD=，∴OD=OA+AD=3，∴B（3，），将 △AOB绕点O逆时针旋转90° ，点B的对应点B'，∴B'C=BD=，OC=AD=3，∴B'坐标为（）
【分析】过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，根据题意可知B（3，），进而可知点B的对应点B'的坐标。
42．【答案】﹣4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ OABC的面积等于12，
∴△AOC的面积为6，
∵点D是线段AC的中点，CE∥DF，
∴DF是△ACE的中位线，
∴CE=2DF，AF=EF，
又∵S△OCE=S△ODF= ，
∴OF=2OE，S△ADF= ，S△ACE=|k|，
∴S△ACE+S△OCE=S△AOC=6，即 =6，
又∵k＜0（反比例函数在第二象限），
∴k=﹣4．
故答案为：﹣4．
【分析】根据平行四边形的性质及反比例函数K的几何意义，判断出OE=EF，再由△AOC的面积可得出关于K的方程求解即可。
43．【答案】（4031，4031）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：M1（a1，a1）是抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1的顶点，
抛物线y＝x2与抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1相交于A1，
得x2＝（x﹣a1）2+a1，
即2a1x＝a12+a1，
x＝ （a1+1）．
∵x为整数点
∴a1＝1，
M1（1，1）；
M2（a2，a2）是抛物线y2＝（x﹣a2）2+a2＝x2﹣2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y＝x2与y2相交于A2，
x2＝x2﹣2a2x+a22+a2，
∴2a2x＝a22+a2，
x＝ （a2+1）．
∵x为整数点，
∴a2＝3，
M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2＝（x﹣a3）2+a3＝x2﹣2a3x+a32+a3顶点，
抛物线y＝x2与y3相交于A3，
x2＝x2﹣2a3x+a32+a3，
∴2a3x＝a32+a3，
x＝ （a3+1）．
∵x为整数点
∴a3＝5，M3（5，5），
∴点M2016的坐标为：2016×2﹣1＝4031，
∴M2016（4031，4031），
故答案是：（4031，4031）．
【分析】分别求出M1、M2、M3的坐标，利用它们可发现规律，根据规律，可得答案.
44．【答案】-4≤b≤-2
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵y=2x+b，
∴当y＜2时，2x+b＜2，解得x＜；
∵函数y=2x+b沿x轴翻折后的解析式为-y=2x+b，即y=-2x-b；
∴当y＜2时，-2x-b＜2，解得x＞-；
∴-＜x＜，
∵x满足0＜x＜3，
∴-=0；=3；
∴b=-2，b=-4；
∴b的取值范围为-4≤b≤-2.
【分析】由y＜2时，求出2x+b＜2的解集；再由函数y=2x+b沿x轴翻折后的解析式为-y=2x+b，求出当y＜2时的解集-＜x＜，
由0＜x＜3，建立方程得出b的取值范围为-4≤b≤-2。
45．【答案】4﹣
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；探索图形规律
【解析】【解答】解：由于OA＝4，
所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝ OA＝ ×4＝2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（ ）2×4处，
同理第二次从A2点跳动到A3处，离原点的（ ）3×4处，
同理跳动n次后，离原点的长度为（ ）n×4＝ ，
故线段AnA的长度为4﹣ （n≥3，n是整数）．
故答案为：4﹣ ．
【分析】根据中点的性质，先算出第一次跳动后离远点的长度，同理继续算出第二次、第三次跳动后离原点的距离，然后观察每次距离的规律，用n表示出来 的长度，最后用总长度减去 即可.
46．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由此AG交BC于点M，过点G作GP⊥BC，垂足为P，
∵∠MPG=∠BCA=90°，∴PG//AC，∴△MPG∽△MCA，
∴MG：MA=PG：AC，
∵G为△ABC的重心，∴MG：MA=1：3，
∵AC=4，∴PG= ，
∴sin∠GCB= = ，
故答案为： .
【分析】首先，要知道三角形重心的定义和性质，定义：三角形三条中线的交点；性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即图中AG：GM=2：1.另外，需要特别注意的就是三角函数中的定义问题，在一个直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边之比；一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边之比；一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边之比。所以在这道题中，关键的是要找到包含∠GCB在内的直角三角形，然后再计算该角的正弦。
47．【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：当 时， ；
当 时， ；
、B两点的坐标为 ，
直线AB的解析式为 ，
，
解得 ，
是整数，k也是整数，
或 ，
解得 ，或 ，
此时 或 ．
所以k值共有15或9两个．
故答案为：2．
【分析】本题利用待定系数法求出一次函数函数解析式，本题的难点在于两点的坐标是字母而不是数字，利用一次函数点的坐标特征求出用a、b表达出k的代数式是关键，然后再用b a 是整数时，k也是整数这个条件求出k的值，
48．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC= = =8，
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，
∴AE=DE=DE1=A1E1=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴ = ，
即 = ，
解得DF= x，
在Rt△DE1F中，E1F= = = ，
又∵BE1=AB﹣AE1=10﹣3x，△E1FA1∽△E1BF，
∴ = ，
∴E1F2=A1E1 BE1，
即（ ）2=x（10﹣3x），
解得x= ，
∴AD的长为2× = ．
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理求出AC=8，设AD=2x，可证△ABC∽△AFD，利用相似三角形的对应边成比例可用x表示出DF，再在Rt△DE1F中，由勾股定理可用x表示出E1F，再由△E1FA1∽△E1BF，可得E1F2=A1E1 BE1，进而可求得x的值，可得AD的长.
49．【答案】 ﹣
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC= ，
在Rt△AOC中，∵OA=1，OC= ，
∴cos∠AOC= = ，AC= =
∴∠AOC=60°，AB=2AC= ，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB
= ﹣ × ×
= ﹣ ，
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM
= π×12﹣2（ ﹣ ）
= ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC= ，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC= ，然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案．
50．【答案】
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，∠B=90°，
∴AB=AM，BE=EM=3，
又∵AE=2 ，
∴AM= = = ，
设MD=a，MF=x，
∵在△ADM和△DFM中，∠AMD=∠DMF，∠ADM=∠DFM
∴△ADM∽△DFM，
∴ = ，
∴DM2=AM MF，
∴a2= x，
∵∠DMF=∠C，∠MDF=∠MDF，
∴△DMF∽△DCE，
∴ = ，即： = ．
∴ = ，
∴ ，
解之得： ，
故答案为： ．
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形相似的判定和性质.能正确的证出△ADM∽△DFM和△DMF∽△DCE，从而找出对应边的比是关键.此题先证明△ADM∽△DFM，得到DM2=AM MF，即得到a与x的关系；再利用△DMF∽△DCE得到a与x的关系，两个关系式联立化简可得.
51．【答案】(5，3)
【知识点】二次函数的三种形式；全等三角形的判定与性质；垂径定理；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=x2-6x+8=（x-2）（x-4），故A（2，0），B（4，0），
根据垂径定理可知点M在AB的中垂线上，设M（3，a）.
连接MC，过点M作ME∥x轴，过点B作BF垂直ME于点F，过点C作CE⊥ME于点E，
∵MB=MC，∠MBC=45°，
∴∠NCB=45°，
∴∠BMC=90°，
∵∠MEC=∠BFM=90°，
∴∠BMF=∠MCE，
∴△BMF≌△MCE，
∴ME=BF，MF=CE，
∵B（4，0），M（3，a）.
∴CE=MF=1，EF=a-1，
∴C（4+a-1，a+1）即C（3+a，a+1），
由于点C在抛物线上，则有
a+1=（3+a）2-6（3+a）+8
解得a1=2，a2=-1，
根据圆心M在第一象限可得a2=-1不符合题意，故a=2，
∴C（5，3）.
【分析】首先将解析式改写成两点式，即可得到A、B两点的坐标，根据垂径定理可得点M在AB的中垂线上，即可得到点M的横坐标，连接MC，过点M作ME∥x轴，过点B作BF垂直ME于点F，过点C作CE⊥ME于点E，易证△BMF≌△MCE，设M（3，a），根据全等三角形的性质即可用a表示出点C的坐标，再根据点C在抛物线上，即将点C的坐标代入抛物线解析式得到关于a的方程，求解舍去不符合题意的值，进而可得点C的坐标.
52．【答案】﹣2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵双曲线y=﹣ （x＜0）经过点P（﹣1，n），
∴n=﹣ =9，
∴P（﹣1，9），
∵F是PE的中点，
∴OF= ×9=4.5，
∴F（0，4.5），
设直线l的解析式为y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线l的解析式为y=﹣4.5x+4.5；
过P作PD⊥AB，垂足为点D，
∵PA=PB，
∴点D为AB的中点，
又由题意知A点的纵坐标为﹣4.5a+4.5，B点的纵坐标为﹣ ，D点的纵坐标为9，
∴得方程﹣4.5a+4.5﹣ =9×2，
解得a1=﹣2，a2=16（舍去）．
∴当PA=PB时，a=﹣2，
故答案为﹣2．
【分析】根据反比例函数图象上的坐标特点可求得点P的坐标，再由中点可求得F的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式，过P作PD⊥AB，垂足为点D，根据A点、B点、D点的坐标可得到关于a的方程，解此方程可求得a的值.
53．【答案】①②③
【知识点】二次函数的最值；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，
∴BE=DF，
∵AB=AD，∠B=∠D，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，①正确；
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，②正确；
∵在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴当点E，F分别为边BC，DC的中点时，BE= AB，DF= AD，
∴△ABE和△ADF是直角三角形，且∠BAE=∠DAF=30°，
∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，③正确；
∵△AEF的面积=菱形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△ADF的面积﹣△CEF的面积= AB2﹣ BE AB× ×2﹣ × ×（AB﹣BE）2=﹣ BE2+ AB2，
∴△AEF的面积是BE的二次函数，
∴当BE=0时，△AEF的面积最大，④错误．
故正确的序号有①②③．
【分析】利用三角形全等的判定和性质及菱形的性质可判定①正确；进而CE=CF，∠CEF=∠CFE，②正确；当点E，F分别为边BC，DC的中点时，可利用30度角的性质，求出∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，进而△AEF是等边三角形；最值问题可利用函数思想，构建面积关于BE的二次函数，可得出BE=0时，△AEF的面积最大，④错误.
54．【答案】4
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：连接CD，当CD⊥AB时，CD取得最小值，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴AC=4，BC= = =4 ．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD= BC=2 ．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2 ．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵∠EFD+∠CED=90°，∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴线段EF的最小值为4 ，
故答案为：4
【分析】连接CD，当CD⊥AB时，CD取得最小值.利用直径上的圆周角是直角求得∠ACB=90°，再利用直角三角形的性质可求出CD的长；根据“点E与点D关于AC对称”和直角三角形中两锐角互余，进而可得EF=2CD，得到EF的最小值.
55．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】设 由题意得：
解得
经检验， 是分式方程的根
即
为锐角
故答案为： ．
【分析】设 ，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．
56．【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：当 时， ；
当 时， ；
、B两点的坐标为 ，
直线AB的解析式为 ，
，
解得 ，
是整数，k也是整数，
或 ，
解得 ，或 ，
此时 或 ．
所以k值共有15或9两个．
故答案为：2．
【分析】由题中条件先求出点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，由是整数，k也是整数，可得b=2a或b=8a，从而可得k=15或k=9。
57．【答案】4
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，
则∠BPG=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠BCD=∠BPG=90°．∵GB平分∠CGE，∴∠EGB=∠CGB．又∵BG=BG，∴△BPG≌△BCG，∴∠PBG=∠CBG，BP=BC，∴AB=BP．∵∠BAE=∠BPE=90°，BE=BE，∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL），∴∠ABE=∠PBE，∴∠EBG=∠EBP+∠GBP= ∠ABC=45°，由折叠得：BF=EF，BH=EH，∴FH垂直平分BE，∴△BNM是等腰直角三角形．∵BM=2 ，∴BN=NM=2 ，∴BE=4 ．∵AE=8，∴Rt△ABE中，AB= =12，∴AD=12，∴DE=12﹣8=4．故答案为：4．
【分析】过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，根据正方形的性质得出∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，从而得出∠BCD=∠BPG=90°，根据角平分线的定义得出∠EGB=∠CGB，然后利用AAS判断出△BPG≌△BCG，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出∠PBG=∠CBG，BP=BC，从而得出AB=BP，然后利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△PBE，根据全等三角形的对应角相等得出∠ABE=∠PBE，由折叠的性质知BF=EF，BH=EH，故FH垂直平分BE，进而得出△BNM是等腰直角三角形，根据BM的长，得出BN=MN的长度，进而根据中垂线的性质得出BE，在Rt△ABE中，由勾股定理得出AB的长，根据线段的和差得出答案。
58．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；等积变换
【解析】【解答】解：如图，作于P，于Q，
∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转得，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
【分析】作于P，于Q，根据矩形性质可得，，再根据旋转性质可得，根据勾股定理可得BD'，再根据三角形面积可得D'P，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据勾股定理可得D'Q，根据边之间的关系可得AQ，再根据勾股定理即可求出答案.
59．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，
由轴对称性质可得，由平移的性质可得，
当三点共线时，的值最小，
此时，的值最小，
矩形中，，洞口M 位于的中点处，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，由轴对称性质可得，由平移的性质可得，当三点共线时，的值最小，此时，的值最小，根据矩形性质可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据边之间的关系可得QG，再根据勾股定理可得QC，再根据边之间的关系即可求出答案.
60．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作 过点D作 于点M， 过点B作BC∥AC交CM于点F， 如图所示：
在 中，
由勾股定理得： ，
∴四边形ABFC是平行四边形，
，
∴当 为最小时， 为最小，根据“两点之间线段最短”得：
∴当点D， B， F在同一条直线上时， 为最小，最小值是线段DF的长，
的最小值是线段DF的长，在 中，
由勾股定理得： ，
的最小值是
故答案为：
【分析】过点C作CM∥AB，过点D作DM⊥CM于点M， 过点B作BC'IAC交CM于点F， 则∠MCD=∠AOC =30°， 进而得 证明四边形ABFC是平行四边形， AF= AB=6，AC = BF， 则AC+BD=BF+BD， 由此得当iBF+BD为最小时，AC+BD为最小，根据“两点之间线段最短”得： BF+BD≤DF， 因此当点D， B， F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，然后在Rt△DFM中， 由勾股定理求出 即可得出AC+BD的最小值.
61．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J， 过点D作DK⊥AC于K.
∵∠ABC = 135°，
∴∠CBT = 45°，
∵CT⊥BT，
∴CT =BT，
设CT = BT =m， 则.
∴AB=2m，
∴AT=AB+BT=3m，
∵∠BAJ =∠CAT， ∠AJB=∠T =90°，
，
在 和 中，
∵四边形DEJK是矩形，
，
故答案为：
【分析】如图，过点C作 交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J， 过点D作于K.设 想办法求出DE，AC(用m表示)即可解决问题.
62．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；完全平方式；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接BC，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如图所示，
则四边形BCED是直角梯形，
∵四边形OBAC是平行四边形，且面积为8，
∴S△OBC =4；
∵点A(1，a)和B(b，1)都在反比例函数 的图象上，代入求出k=a=b，
∴点A坐标为(1，k)，点B坐标为(k，1)。
∴线段OA的中点坐标为(，)，
设点C坐标为(m，n)，
∴线段BC的中点坐标为（，）
∵四边形OBAC是平行四边形，
∴线段OA的中点与线段BC的中点重合，
∴=，=，即m=1-k，n=k-1，
∴点C(1-k，k-1)，
∵CE⊥x轴，BD⊥x轴，
∴CE=k-1，OE=k-1，OD=k，BD=1，
∴DE=OE+OD=k-1+k=2k-1，
S△OCE=OE·CE=(k-1)2，S△OBD=OD·BD=k，
而S梯形BCED=(BD+CE)·DE=(1+k-1)(2k-1)=k(2k-1)，
∵S△OCE+ S△OBD+ S△OBC = S梯形BCED，即(k-1)2+k+4=k(2k-1)，整理得k2=9，解得k=3，k=-3，
∵反比例函数 的图象在第一象限，
所以k> 0，因此k=3.
∴C的坐标为(-2，2).
故答案为：(-2，2).
【分析】本题主要考查反比例函数的性质、平行四边形的性质、面积、完全平方公式的运用等知识。
首先根据图形和条件，利用待定系数付可以得出k=a=b，然后分别求出OA和BC的中点坐标，继而求出C点的坐标。根据平行四边形的面积可以求出S△OBC 的面积，然后放到梯形BCED中，分成三个三角形列出等式并进行化简，即可求出k值，即可求出答案。
63．【答案】2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设CE=a，AF=b，
∵ABCD是菱形，
∴OC=OA=AB，BC∥OA，OC∥AB，
∴∠COA=∠B=∠BAF，
∴，
∴OE=3CE=3a，DF=3AF=3b，
∴，
∴点D的坐标为，
∵点C，D再反比例函数上，
∴，
解得①，
又∵，，
∴，
即，
，
把①代入得，
∴，
故答案为：2.
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设CE=a，AF=b，先根据正切得到OE=3CE=3a，DF=3AF=3b，求出菱形的边长，即可得到点D的坐标，然后代入反比例函数解析式求出①，然后根据列方程求出k值即可.
64．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设CD与AE的交点为H，连接BH，
设AC=3，则BC=4
由旋转知△ABC≌△EBD
∴∠ABC=∠EBD
∴∠ABC+∠ABD=∠EBD+∠ABD即∠CBD=∠ABE
又∵BC=BD，BA=BE
∴∠BAE=∠BEA=∠BCD=∠BDC
∴CD||BE，BC||AE
∴BCHE为平行四边形
∴EH=BC=4
∵BD=HE
∴∠HEB=∠DBE
∴BG=EG
∴BD-BG=HE-EG
∴GH=GD
又∵BGH=EGD
∴△BGH≌△EGD
∴∠BHG=∠EDG=90°
∴ACBH为矩形
∴AH=BC=4
设GH=m，则BG=EG=4-m
由勾股定理得，解得m=
于是EG=4-=，AG=AH+GH=4+=
故
故答案为：.
【分析】连接BH由折叠的性质知BCHE为平行四边形，ACBH为矩形，利用勾股定理求出GH的长，即可得比值.
65．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N
∵正方形的边长为3，
∴
∵
∴
∴
∵四边形是正方形
∴，
∴四边形是矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度
∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，可得，再证出当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，最后利用勾股定理求出AH的长即可.
66．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】 过点F作于H，延长与的延长线交于K，根据，可得，再利用勾股定理求出，再根据，求出，再利用勾股定理求出，再证出，利用相似三角形的性质可得，即， 求出，再证出，利用相似三角形的性质可得，即， 求出，最后利用线段的和差求出BG的长即可.
67．【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵
∴，即①正确；
如图：连接，
∵C是的中点，
∴，
∴
∵是直径，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即②正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：（舍弃负值），
∴，
∵，
∴，同理：，
∴，
∴，即，解得：，
∴，即③错误；
如图：假设半圆的圆心为O，连接，
∵，，C是的中点，
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，即是菱形，
∴，
∵，
∴，即，解得：；
，，
∴，，
∴，即④正确．
故答案为：①②④。
【分析】如图：连接，根据 ，可得 ；根据圆周角定理，可得 ，又根据 ，易得、，根据等角对等边，可得，根据， ，易证，然后再根据相似的性质，可得，再根据等角对等边，即可得到；根据， ，易证，根据相似三角形的性质，可得，代入数据即可求出BC的值，然后运用勾股定理：，代入数据求出BG的值，同理： ，易证，然后根据相似三角形的性质： 以及线段的和差，代入数据即可求解；如图：假设半圆的圆心为O，连接，根据 ，易证是等边三角形， 根据 即是菱形，然后得到，然后再根据正切函数的定义和特殊角： ，代入数据，求出CG和CH的值，最后再根据三角形的面积公式：和，最后再根据，代入数据即可求解。
68．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
∵，平分，
∴，，即垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要对等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识点进行考查．根据题干信息延长交于点，连接，根据，平分 可得垂直平分，进而得到，所以，此时设，则，根据勾股定理在中，，在中，，所以，进一步得到，进一步得到，根据三角形相似所以．
69．【答案】
【知识点】三角形的面积；正切的概念；相似三角形的性质-对应边；等积变换；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：过B点作BE//AD交AC于点E， BE⊥AD，
，
∴
∴
设OE=a，则AO=，AE=，
由，
∴
故答案为：。
【分析】观察图形，可以发现和存在公共的底边BD，所以可得出=，故而只需求出即可；过B点作BE//AD交AC于点E，即可得出，根据 ， ，AO=，设OE=a，则AO=，AE=，进而还可证明明利用可得出，可得出CE=7a，进而OC=8a，故而=.
70．【答案】3
【知识点】三角形三边关系；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵等腰中，点P为斜边中点，
∴，
∵将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，，
∴，
∴中，，当、、三点共线时，不构成三角形时取等号，
∴，即，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：。
【分析】因为点P为斜边中点，根据直角三角形的性质，可求出，根据旋转的性质，可得CD=CQ，然后再根据三角形三边关系，可得，代入数据即可求出PQ的最大值。
71．【答案】①②④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，故①正确
∴，
∴，即，故②正确；
如图所示，过点A作，
当时，则，
∴，故③错误；
如图所示，作的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧上取一点G，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，过点O作交延长线于T，连接，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴当点P在直线上时，有最小值，最小值为的值，即最小值为，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据 ，易证是等腰直角三角形，得到，则，由正方形的性质得到，则可证明，得到，进而得到；过点A作，当时，则，根据三角形正弦函数的定义，可得；作的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧上取一点G，连接，可证明，过点O作交延长线于T，连接，根据，可得当点P在直线上时，有最小值，最小值为的值，据此可判断。
72．【答案】②③④
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：①如图，延长交于M，过P作直线，
和是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
为中点，
为中点，
在线段上运动，
在直线l上运动，
由知等边三角形的高为，
到直线l的距离，P到直线的距离都为，
作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，
此时最小值，故①错误；
②，
，
当共线时，最小，最小值为的长度，
为的中点，
，
为等边三角形的高，
的最小值为，故②正确；
过D作于K，过C作于T，如图，
和是等边三角形，
，
，
，即，
，
周长的最小值为6，故③正确；
④设，则，
，，，，
，
当时，四边形面积的最小值为，故④正确．
故答案为：②③④。
【分析】①延长交于M，过P作直线，根据和是等边三角形，根据平行四边形的判定定理，易证四边形是平行四边形，根据P为中点，知P为中点，易得P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出的值；②根据，易得共线时，最小，最小值为MF，根据等边三角形的性质和勾股定理，代入数据，即可求出MF的值；③过D作于K，过C作于T，根据题意，可知和是等边三角形，得，有，根据三角形CDE的周长公式，即可求出周长的最小值；④设，则， 进而求出AK、BT、DE和CT的值，最后再根据三角形的面积公式和梯形的面积公式，分别求出三角形ADK、BCT和梯形DKCT的面积，用m表示，再配方，当m=1，将m代入即可求出四边形ABCD面积的最小值。
73．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BD交EF于点O，
根据题意可得DE=BF，
四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO=∠DEO，∠EDO=∠FBO
∴△EOD≌△FOB
∴BO=DO，
即点O是正方形中心，
∴BD=
连接CO，取CO的中点M，连接BM．
∴BO=DO=CO=.OM=
在Rt△OBM中
∴
在Rt△OPC中，M是CO的中点，OM=MC=PM=
当三点B、P、M共线时，BP最小，最小值为BM-PM=．
故答案为：．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的两边之差小于第三边等定理．
如图，连接BD交EF于点O，连接CO，取CO的中点M，连接BM．利用勾股定理求出BD，然后利用AAS证明△EOD≌△FOB，说明O是正方形的中心，得到BO=CO=DO，在Rt△OPC中，M是CO的中点，OM=MC=PM=，在Rt△OBM中，利用勾股定理求出BM， 当B、P、M三点共线时，BP最小，最小值为BM-PM.
74．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接FC，如图所示，
∵∠EAC=∠DBC，即∠FAC=∠FBC，
∴点A、B、C、F四点共圆，
因此∠AFB=∠ACB=45°，∠BFC=∠BAC =90°，
∴∠DFE=∠AFB=45°，
∴∠CFE=180°-∠BFC-∠DFE=45°=∠DFE，
∴EF平分∠DFC，
∴，
设DF=1，则CF=4，设BF=x，则BD=BC=x+1，
在Rt△BFC中，CF2+BF2=BC2，
即x2+ 42 =(x+ 1)2，解得x=，
∴tan∠DBC=，
故答案为：.
【分析】本题首先利用弧度和角度，确定A、B、C、F四点共圆、AB为直径，然后求出，最后利用勾股定理求出BF的值，即可求出答案。
75．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BF，交AE于H，
∵正方形ABCD的边长为，E，F分别是BC，CD的中点，
， ， ，
在 和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中，，
，
．
故答案为： ．
【分析】
连接BF，交AE于H，由正方形性质和中点定义得到 ， ， ， 即可利用SAS证明，利用全等三角形得性质得到角度关系利用AA再证明，利用勾股定理求出BF即可求出BH，再用勾股定理计算即可解答．
76．【答案】；
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图2，过点作，
入射角为，折射角为，
△OPA为等腰直角三角形，
，
，
，
在中，
，
，
，
折射率；
如图2，过点作于点，
入射角为，折射角为，
在中，，，
，，
折射率，
，
，
在中，，且FH=，
，
解得，
，
故答案为：，．
【分析】
根据题意，过点P作，计算入射角和折射角的正弦值的比值，即可得到折射率；过F作KH⊥BC，利用折射率，求出直线的折射角的正弦值，从而求出HG，BH，即可得到结果．
77．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H．
∵∠CQP＝∠CTP＝90°，
∴C，P，T，Q四点共圆．
∴∠CTQ＝∠CPQ＝30°，
∴点Q的运动轨迹是射线TQ，
∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CBT＝∠ABC，∠ACB＝∠CTB＝90°，
∴△BTC∽△BCA，
∴BC2＝BT BA，
∴BT，
∵∠BTH＝60°，
∴BH＝BT sin60°，
∴当点Q与点H重合时，CQ的值最小，最小值为．
【分析】
过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，由于∠CQP＝∠CTP＝90°，则C，P，T，Q四点共圆，所以∠CTQ＝∠CPQ＝30°，即点Q在射线TQ上运动，此时再过点B作BH⊥QT于点H，显然当Q、H重合时，BQ最小，由于可求∠BTH＝60°，则解Rt △BTH即可得出，此时可利用AA证明 △BTC∽△BCA ，再由相似比求出BT即可．
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：243分
分值分布 客观题（占比） 30.0(12.3%)
主观题（占比） 213.0(87.7%)
题量分布 客观题（占比） 10(13.0%)
主观题（占比） 67(87.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 77(100.0%) 243.0(100.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 困难 (100.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 圆内接正多边形 3.0(
初中数学试卷2026年02月25日广东中考真题压轴+模拟压轴
一、填空题
1．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ．
2．如图，已知点A(2，3)和点B(0，2)，点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 .
3．如图，以 ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数的图象交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是 ．
4．在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF= ，则AC= ．
5．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需 分钟到达终点B．
6．如图，在 中， ， ， ， ， ，点 在 上， 交 于点 ， 交 于点 ，当 时， ．
7．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝ m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为 m.
8．如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE
③AF：BE=2：3 ④
其中正确的结论有 。（填写所有正确结论的序号）
9．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 .
10．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为 则正方形ABCD的面积为
11．正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为 ．
12．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且 ，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；② 的周长为 ；③ ；④ 的面积的最大值 .其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
13．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位： ）9.9，10.1，10.0，若用 作为这条线段长度的近以值，当 mm 时， 最小．对另一条线段的长度进行了 次测量，得到 个结果（单位： ） ，若用 作为这条线段长度的近似值，当 时， 最小．
14．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图， ，点 ， 分别在射线 ， 上， 长度始终保持不变， ， 为 的中点，点 到 ， 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 的最小值为 ．
15．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为 ．
16．如图，在边长为4的正方形 中将 沿射线 平移，得到 ，连接 、 ．求 的最小值为 ．
17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6 ，则另一直角边BC的长为 ．
18．如图，在菱形 中， ，取大于 的长为半径，分别以点 ， 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 边于点 （作图痕迹如图所示），连接 ， ，则 的度数为 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标 ，将线段 绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为 的2倍，得到线段 ；又将线段 绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为 的2倍，得到线段 ；如此下去，得到线段 、 ，……， （n为正整数），则点 的坐标是 ．
20．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 ．
21．如图所示，已知：点A（0，0），B（ ，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于 ．
22．如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．
23．已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为 ．
24．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且 ，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与 交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2） ；（3） ；（4） ，其中正确的结论有 （填写所有符合题意结论的序号）．
25．如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接.过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，.若，，则四边形的面积是 .
26．如图，在中，，，，点是边上一动点，点，分别是，的中点，当时，的长是 若点在边上，且，点，分别是，的中点，当时，四边形面积的取值范围是 ．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为 ．
28． 如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'），A'B'交函数 的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k=2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积；
③的最小值是；
④∠B'BD=∠BB'O．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
29．如图， 在 中， 为 上一点， 且满足 ， 过 作 交 延长线于点 ， 则 .
30．如图，菱形 中， ， ，延长 至 ，使 ，以 为一边，在 的延长线上作菱形 ，连接 ，得到 ；再延长 至 ，使 ，以 为一边，在 的延长线上作菱形 ，连接 ，得到 ……按此规律，得到 ，记 的面积为 ， 的面积为 …… 的面积为 ，则 ．
31．记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1=2128，则n= ．
32．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）= ．
33．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．
34．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为 .
35．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为 ．
36．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为 ．
37．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上， = ，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数ｙ＝ 的图象过点C，若以CD为边的正方形的面积等于 ，则k的值是 .
38．如图，在 ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留π）.
39．如图，等腰直角三角形ABC的顶点A，C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC= ，反比例函数y= （k>0）的图象过BC中点E，交AB于点D，连接DE，当△BDE∽△BCA时，k的值为 .
40．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2018时，顶点A的坐标为 ．
41．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是
42．如图， OABC中顶点A在x轴负半轴上，B、C在第二象限，对角线交于点D，若C、D两点在反比例函数 的图象上，且 OABC的面积等于12，则k的值是 ．
43．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标，纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．
则M2016顶点的坐标为 ．
44．将函数（b为常数）的图象位于 轴下方的部分沿 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标 满足 ，则b的取值范围为 ．
45．数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段AnA的长度为 （n≥3，n是整数）．
46．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，点G为△ABC的重心．如果GC=2，那么sin∠GCB的值是 ．
47．如图，点 分别在一次函数 的图象上，其横坐标分别 设直线AB的解析式为 ，若 是整数时，k也是整数，满足条件的k值共有 个
48．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD= ．
49．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
50．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2 ，则MF的长是 ．
51．如图所示，抛物线 与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为 .
52．如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E，F，与双曲线y=﹣ （x＜0）交于点P（﹣1，n），且F是PE的中点，直线x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），PA=PB，则a= ．
53．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动．给出以下四个结论：
①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大．上述结论中正确的序号有 ．（把你认为正确的序号都填上）
54．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为 ．
55．已知 ， （其中 和 都表示角度），比如求 ，可利用公式得 ，又如求 ，可利用公式得 ，请你结合材料，若 （ 为锐角），则 的度数是 ．
56．如图，点 分别在一次函数 的图象上，其横坐标分别 设直线AB的解析式为 ，若 是整数时，k也是整数，满足条件的k值共有 个
57．正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=2 ，AE=8，则ED= ．
58．如图，矩形绕点顺时针旋转使得的对应边刚好经过点，连接，若，则 ．
59．小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为 ．
60．如图，线段AB与CD相交于点，则的最小值为 ．
61．如图，在 ABCD中，∠B＝135°，ABBC，将△ABC沿对角线AC翻折至△EAC，AE与CD相交于点F，连接DE，则的值为 ．
62．如图，在反比例函数上有两点和，若在第二象限存在一点，使得四边形OBAC为平行四边形，且平行四边形OBAC的面积为8，则点的坐标为 ．
63． 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点，位于第一象限，反比例函数（，）的图象经过点且与相交于点，若的面积为，，则的值为 .
64． 如图，在中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，连接交于点F，连接交于点G；若F为的中点，则 ．
65．如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ．
66．如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 ．
67．如图，是半圆O的直径，C是的中点，于点E，分别与交于点F，G．给出下面四个结论：
①；
②；
③当，时，；
④当，时，的面积是．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
68．如图，在中，，平分，连接并延长至点E，使得，连接，恰好有．若，则 ．
69．如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ．
70．如图，等腰中，点P为斜边中点，点D在上且，将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，连接．则的最大值为 ．
71．如图，在正方形中，是平面内一点，，连接．过点作的垂线交直线于点．下列结论：①；②；③当时，；④的最小值为．其中正确的结论是 ．
72．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号）
①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．
73．如图，正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为 ．
74．如图，在中，，点在线段CD上且满足与BD交于点，若，则 ．
75．如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，G为AE上的一点，且∠F GE=45°，则GF的长为 ．
76．材料阅读：
光从空气射入玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．如图1，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（），即．
问题求解：如图2，矩形为某透明玻璃，一束光线从点以俯角45°射向玻璃上的点，折射后到达玻璃底部的点，测得，，，则折射率 ，同样的光线从点以俯角60°射向玻璃上的点，折射后到达玻璃底部的点，测得，则 ．
77．如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为 ．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图1所示
，
作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴，即，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=，
S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD DQ﹣CQ CP﹣BE BP
=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=，
故答案为：．
【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．
2．【答案】（-1，-6）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作BF⊥AC于点F，作AE⊥y轴于点E，设AC交y轴于点D，
∵A（2，3），B（0，2）
∴AE=2，BE=1，
∴AB=，
又∵∠BAC=45°，
∴BF=AF=，
∴△DEA∽△DFB，令AD=x，
∴=，
∴
∴DE=
又∵
解得=2，=(舍去）
∴AD=2，
设D（0，y）
∴+4=
解得：=-3，=9（舍去）
∴设AC直线方程为y=kx+b，将A（2，3），D（0，-3）代入直线方程得，
；解得
∴AC：y=3x-3，
∵A（2，3）在y=上，
∴k=2×3=6，
∴；解得；
∴C（-1，-6）.
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用△DEA∽△DFB，利用相似三角形的性质求出AD的长，根据勾股定理求出D点坐标，再利用待定系数法求出AC的直线方程，再利用二元一次方程组求出C点坐标。
3．【答案】9
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），
∴点B的坐标为：（5，4），
把点A（2，4）代入反比例函数y=得：k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把点B（5，4），C（3，0）代入得：，
解得：k=2，b=﹣6，
∴直线BC的解析式为：y=2x﹣6，
解方程组 得：
，或 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：（4，2），
即D为BC的中点，
∴△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，
∴四边形AOCD的面积=平行四边形ABCO的面积﹣△ABD的面积=3×4﹣×3×4=9；
故答案为：9．
【分析】先求出反比例函数和直线BC的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点D的坐标，得出D为BC的中点，△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，即可求出四边形AOCD的面积．
4．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作EG⊥AF，连接CF，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA=45°，∴∠AFE=45°，
在Rt△EGF中，
∵EF= ，∠AFE=45°，
∴EG=FG=1，
又∵AF=4，
∴AG=3，
∴AE= ，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴CF平分∠ACB，
∴∠ACF=45°，
∵∠AFE=∠ACF=45°，∠FAE=∠CAF，
∴△AEF∽△AFC，
∴ ，
即 ，
∴AC= .
故答案为： .
【分析】作EG⊥AF，连接CF，根据三角形内角和和角平分线定义得∠FAB+∠FBA=45°，再由三角形外角性质得∠AFE=45°，在Rt△EGF中，根据勾股定理得EG=FG=1，结合已知条件得AG=3，在Rt△AEG中，根据勾股定理得AE= ；由已知得F是三角形角平分线的交点，所以CF平分∠ACB，∠ACF=45°，根据相似三角形的判定和性质得 ，从而求出AC的长.
5．【答案】78
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，
甲的速度是1÷6= 千米/分钟，
由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，
设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得
10x+16× =16，
解得x= 千米/分钟，
相遇后乙到达A站还需（16× ）÷ =2分钟，
相遇后甲到达B站还需（10× ）÷ =80分钟，
当乙到达终点A时，甲还需80﹣2=78分钟到达终点B，
故答案为：78．
【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案．
6．【答案】3
【知识点】余角、补角及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R，
∵∠ABC=∠MPN=90°.
∴∠PEB+∠PFB=180°.
又∵∠PEB+∠PEQ=180°.
∴∠PFB=∠PEQ.
∴△QPE∽△RPF.
∵PE=2PF.
∴PQ=2PR=2BQ.
∴△AQP∽△ABC.
∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5.
设PQ=4x，
∴AQ=3x，AP=5x，PR=BQ=2x.
∴AB=AQ+BQ=5x=3.
∴x=.
∴AP=5x=3.
故答案为3.
【分析】如图：作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R，由题易得∠PFB=∠PEQ；可得△QPE∽△RPF；△AQP∽△ABC；根据相似三角形的性质与已知条件即可求出AP.
7．【答案】88；
【知识点】二次函数的最值；扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）在B点处是以点B为圆心，10为半径的个圆；在A处是以A为圆心，4为半径的个圆；在C处是以C为圆心，6为半径的个圆；
∴S=..+..+..=88；
（2）设BC=x，则AB=10-x；
∴S=..+..+..；
=（-10x+250）
当x=时，S最小，
∴BC=
【分析】（1）在B点处是以点B为圆心，10为半径的个圆；在A处是以A为圆心，4为半径的个圆；在C处是以C为圆心，6为半径的个圆；这样就可以求出S的值；
（2）在B点处是以点B为圆心，10为半径的个圆；在A处是以A为圆心，x为半径的个圆；在C处是以C为圆心，10-x为半径的个圆；这样就可以得出一个S关于x的二次函数，根据二次函数的性质在顶点处取得最小值，求出BC值。
8．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，
∴AO=BO，∠AOE=∠BOC=90°，BC∥AE，AE=BE，CA=CB，
∴∠OAE=∠OBC，
∴△AOE≌△BOC（ASA），
∴AE=BC，
∴AE=BE=CA=CB，
∴四边形ACBE是菱形，
故①正确.
②由①四边形ACBE是菱形，
∴AB平分∠CAE，
∴∠CAO=∠BAE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠CAO=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAE.
故②正确.
③∵CE垂直平分线AB，
∴O为AB中点，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AO= AB= CD，
∴△AFO∽△CFD，
∴ = ，
∴AF：AC=1：3，
∵AC=BE，
∴AF：BE=1：3，
故③错误.
④∵ ·CD·OC，
由③知AF：AC=1：3，
∴ ，
∵ = × CD·OC= ，
∴ = + = = ，
∴
故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】①根据平行四边形和垂直平分线的性质得AO=BO，∠AOE=∠BOC=90°，BC∥AE，AE=BE，CA=CB，根据ASA得△AOE≌△BOC，由全等三角形性质得AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出①正确.
②由菱形性质得∠CAO=∠BAE，根据平行四边形的性质得BA∥CD，再由平行线的性质得∠CAO=∠ACD，等量代换得∠ACD=∠BAE；故②正确.
③根据平行四边形和垂直平分线的性质得BA∥CD，AO= AB= CD，从而得△AFO∽△CFD，由相似三角形性质得 = ，从而得出AF：AC=1：3，即AF：BE=1：3，故③错误.
④由三角形面积公式得 ·CD·OC，从③知AF：AC=1：3，所以 = + = = ，从而得出 故④正确.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；确定圆的条件；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作FH⊥PE于H.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5 ，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝ ，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4 ，AE＝ ，
∴EH＝5 ，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5 ）2+（ ）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴ ，
∴EF2＝EC EP，
∴EP＝
故答案为： 。
【分析】如图，作FH⊥PE于H，根据正方形的性质及勾股定理得出AC＝5 ，∠ACD＝∠FCH＝45°，根据等腰直角三角形的性质得出CH＝HF＝ ，进而得出CE，AE，EH的长，在Rt△EFH中，利用勾股定理算出EF的长；根据确定圆的条件得出E，G，F，C四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得出∠EFG＝∠ECG＝45°，然后判断出△CEF∽△FEP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式即可求出EP的长。
10．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．
∵BP=BM= ，∠PBM=90°，
∴PM= PB=2，
∵PC=4，PA=CM=2 ，
∴PC2=CM2+PM2，
∴∠PMC=90°，
∵∠BPM=∠BMP=45°，
∴∠CMB=∠APB=135°，
∴∠APB+∠BPM=180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH=HM，
∴BH=PH=HM=1，
∴AH=2 +1，
∴AB2=AH2+BH2=（2 +1）2+12=14+4 ，
∴正方形ABCD的面积为14+4 ．
故答案为14+4 ．
【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．
11．【答案】
【知识点】一次函数的图象；正方形的性质
【解析】【解答】设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t，t），所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B1（1，1）；
设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B2（1+a，a），a=﹣（1+a）+2，解得a=，得到B2（，）；
设正方形A2A3B3C3的边长为b，则B3（+b，b），b=﹣（+b）+2，解得b=，得到B3（，），
所以A3（，0）．故答案为（，0）．
【分析】设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t，t），根据t一次函数图象上点的坐标特征得到t=﹣t+2，解得t=1，得到B1（1，1），然后利用同样的方法可求得B2（，），B3（，），则A3（，0）．
12．【答案】①④
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH．
∵BE=BH，∠EBH=90°，
∴EH= BE，∵AF= BE，∴AF=EH，
∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠EHC=135°，
∵BA=BC，BE=BH，
∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，
∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，
∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，
设BE=x，则AE=a-x，AF= ，
∴∴ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值是 ，④正确；
故答案为：①④.
【分析】根据全等三角形的判定定理（AAS）和三角形的周长、面积公式，可列出关系式，得到正确的结论。
13．【答案】10.0；
【知识点】探索数与式的规律；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）整理 得： ，
设 ，
由二次函数的性质可知：当 时，函数有最小值，
即：当 时， 的值最小，
故答案为：10.0；（2）整理 得： ，
设 ，由二次函数性质可知：
当 时， 有最小值，
即：当 时， 的值最小，
故答案为： ．
【分析】（1）把 整理得： ，设 ，利用二次函数性质求出当 时有最小值；（2）把 整理得： ， 设 ，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时 的值．
14．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图当 、 、 三点共线，距离最小，
∵ ， 为 的中点，
∴ ， ，
，
故答案为： ．
【分析】根据当 、 、 三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图3中，连接AH．
由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，
∴AH= = = ，
故答案为 ．
【分析】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH= ，计算即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，
∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AE∥BG，CG=DE，
∴AE⊥CC′，
由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，
∴EC+GC=C′E+ED，
当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′D′E中，
C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D= ，
即EC+GC的最小值为 ，
故答案为： ．
【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．
17．【答案】7
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=6 ，
∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，
解得：CF=OF=6，
∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，
则BC=CF+BF=6+1=7．
故答案为：7．
解法二：如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=6 ，
∴CM=ON=6．
∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，
∴BC=CN+NB=6+1=7．
故答案为：7．
【分析】过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．
18．【答案】45°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】
∵
∴
∴
故答案为：45°．
【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得 ；结合 °， ，可计算 的度数．
19．【答案】（0，-22019）
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点P1的坐标为 ，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP1；
∴OP1=1，OP2=2，
∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，
∴OPn=2n-1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8=252…4，
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，
∴点P2020的坐标是（0，-22019）．
故答案为：（0，-22019）．
【分析】根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP3=4=22，OP4=8=23…，OPn=2n-1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
20．【答案】（﹣1，5）
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图，
过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
，
∴△OGM≌△EOH（ASA），
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（﹣3，2），
∴O′（﹣
，
），
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5），
故答案是：（﹣1，5）．
【分析】此题的难点在于正确添加辅助线。先利用正方形的性质为三角形全等创造条件，从而求出关键点G的坐标，然后再根据中心对称的性质得出点F的坐标。
21．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵OB= ，OC=1，
∴BC=2，
∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．
而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，
∴∠COA1=30°，则∠CA1O=90°．
在Rt△CAA1中，AA1= OC= ，
同理得：B1A2= A1B1= ，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于 ．
【分析】根据题目已知条件可推出，AA1= OC= ，B1A2= A1B1= ，依此类推，第n个等边三角形的边长等于 ．
22．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥DE于点M，
由折叠可得AE=AB，又AB=AC，
∴AB=AC=AE，
设AB=AC=AE=20，
∵AG∶CG=3∶1，
∴AG=15，CG=5，
由折叠知：∠E=∠B，
∴，
设AM=3x，EM=4x，
在Rt△AME中，由勾股定理得AM2+ME2=AE2，
即（3x）2+（4x）2=202，
解得x=4，
∴AM=12，EM= 16，
在Rt△AMG中，由勾股定理得AM2+MG2=AG2，
即122+MG2=152，
解得MG=9，
∴GE=ME-MG=7，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠B=∠E，
∴∠C=∠E，
又∠AGE=∠DGC，
∴△AEG∽△DCG，
∴，即
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥DE于点M，易得AB=AC=AE，设AB=AC=AE=20，则AG=15，CG=5，由折叠性质及等角的同名三角函数值相等得，设AM=3x，EM=4x，在Rt△AME中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到AM、EM的长，在Rt△AMG中，由勾股定理可算出MG的长，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEG∽△DCG，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DG的长，最后根据同高三角形的面积之比等于底之比即可求出答案.
23．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BD交BF延长线与点H，连接EH，
∵
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，三角形的判定与性质计算求解即可。
24．【答案】（1）（3）（4）
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即H是FK的中点；故结论（1）符合题意；
（2）过点H作 交BC于N，交AD于M，
由（1）得 ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形ABCD是正方形， ，
∴ ．
∴四边形ABNM是矩形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
解得 ．
则 ．
∵ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 与 不全等，故结论（2）不符合题意；
（3）∵ ，
∴ ．
即 ．
解得 ．
由（2）得 ， ．
∴ ；故结论（3）符合题意；
（4）由（1）得，H是FK的中点，
∴ ．
由勾股定理得 ．
∴ ；故结论（4）符合题意．
故答案为：（1）（3）（4）．
【分析】利用勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，对每个结论一一判断求解即可。
25．【答案】80
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥JC，交JC的延长线于点M，过点F作FN⊥JC，交JC的延长线于点N，则∠M=∠FNC=∠FNI=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，∠FCN+∠CFN=90°.
∵四边形ABHL、ACDE、BCFG为正方形，
∴AB=BH=HL=AL，∠BAL=∠L=∠H=∠ABH=∠ACD=∠BCF=90°，AC=CD，BC=CF，
∴∠DCM+∠ACJ=90°，∠FCN+∠BCJ=90°，
∴∠CDM=∠ACJ，∠CFN=∠BCJ.
∵CJ⊥AB，
∴∠AJC=∠BJC=∠AJK=∠BJK=90°，
、∴四边形AJKL、BJKH均为矩形，
∴∠M=∠AJC，∠CNF=∠BJC.
∵∠M=∠AJC，∠CDM=∠ACJ，CD=AC，
∴△CDM≌△ACJ，
∴DM=CJ=4，CM=AJ.
∵∠CNF=∠BJC，∠CFN=∠BCJ，CF=BC，
∴△CFN≌△BCJ，
∴FN=CJ=4，
∴DM=FN=4.
∵∠DIM=∠FIN，∠M=∠FNI，DM=FN，
∴△DMI≌△FNI，
∴DI=FI.
∵∠DCF=∠ACB=90°，
∴CI=DF，
∴DF=10，FI=DI=DF=5，
∴IM==3，
∴AJ=CM=CI+MI=8.
∵AC=DC，∠ACB=∠DCF，BC=FC，
∴△ABC≌△DFC，
∴AB=DF=10，
∴AL=AB=10，
∴S四边形AJKL=AJ·AL=80.
故答案为：80.
【分析】过点D作DM⊥JC，交JC的延长线于点M，过点F作FN⊥JC，交JC的延长线于点N，根据正方形的性质很容易得到AB=BH=HL=AL，∠BAL=∠L=∠H=∠ABH=∠ACD=∠BCF=90°，AC=CD，BC=CF，根据同角的余角相等可得∠CDM=∠ACJ，∠CFN=∠BCJ，易得四边形AJKL、BJKH均为矩形，根据矩形的性质得到∠M=∠AJC，∠CNF=∠BJC，证明△CDM≌△ACJ，△CFN≌△BCJ，△DMI≌△FNI，得到DM=CJ=4，FN=CJ=4，DM=FN=4，DI=FI，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CI=DF，据此可得DF、FI、IM的值，然后证明△ABC≌△DFC，求出AB、AL的值，接下来根据S四边形AJKL=AJ·AL进行计算.
26．【答案】；
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE是△ABM的中位线，
∴DE=AM=1.2；
如图，
设AM=x，
∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE=AM=x，DE∥AM，
同理FG=AM=x，DF∥AM，
∴DE=GF，DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=8，
∴DE边上的高为（4-x），
∴四边形DEFG的面积为S=x（4-x）=2x-x2=-（x-4）2+4，
∵2.4＜x≤6，
∴3＜x≤4.
故答案为：1.2；3＜x≤4.
【分析】根据三角形中位线定理DE=AM=1.2；设AM=x，由三角形中位线定理易得DE=AM=x，DE∥AM，同理FG=AM=x，DF∥AM，则DE=GF，DE∥GF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DEFG是平行四边形，由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，在Rt△ABC中，由勾股定理算出BC=8，则DE边上的高为（4-x），进而根据平行四边形的面积计算公式建立出S关于x的函数解析式，根据二次函数的性质及x的取值范围即可求出S的取值范围.
27．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：记A1C交AB于D，如图：
∵A1B1//AC，
∴∠A1=∠A1CA，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，
∴∠A1=∠BAC，
∴∠A1CA=∠BAC，
∴CD=AD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BAC=90°=∠A1CA+∠BCD，
∴∠CBD=∠BCD，
∴BD=CD，
∴BD=CD=AD，
∴，
∵S△ABE=3S△ACE，
即2S△ADE=3S△ACE，
∴S△ADE：S△ACE=DE：CE=3：2.
设CE=2x ，则DE=3x，BD=AD=CD=5x，
∴
，
∴ Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，
即
解得：，
∴.
故答案为：.
【分析】记A1C交AB于D，由平行的性质得到∠A1=∠A1CA，由旋转得到∠A1=∠BAC，于是可得∠A1CA=∠BAC，根据∠CBD+∠BAC=∠A1CA+∠BCD=90°，得到∠CBD=∠BCD，从而可得AD=CD=BD.根据2S△ADE= S△ABE＝3S△ACE可得DE：CE=3：2.设CE=2x，可表示出DE，BD，BC，AB的长，利用勾股定理即可求出x，从而可得AB的长.
28．【答案】①②④
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，
∵矩形ABCO，
∴BC=OA，OC=AB
∵点A（1，0），点C（0，2），
∴OA=BC=1，OC=AB=2，
∴点B（1，2）
∵ 矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，
∴k=1×2=2，故①正确；
∵将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'）， A'B'交函数 的图象于点D，DE⊥y轴，
∴S△AOB=S△ODA'，
∴S△OBF=S四边形AA'DF，
∴S△BOF+S△BDF=S四边形AA'DF+S△BDF即S△OBD=S四边形ABDA'，故②正确；
∵当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，G(1，1)，AE的最小值是 ，
∴A'E的最小值大于
∴将AB逐渐向右平移，点E向点O移动，与反比例函数的交点D也逐渐下移，向点A'靠近，
∴A'E的长逐渐趋于OA的长度，故③错误；
由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，
∴向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，
∴OB=OB'，
∴∠B'BD=∠BB'O，故④正确；
∴正确结论的序号为①②④
【分析】设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，利用矩形的性质和点A、C的坐标，可求出BC，AB的长，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入函数解析式求出k的值，可对①作出判断；利用反比例函数的几何意义可知S△AOB=S△ODA'，可推出S△OBF=S四边形AA'DF，据此可得到 △OBD的面积等于四边形ABDA'的面积，可对②作出判断；当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，可得到点G(1，1)，利用勾股定理可得到AE的最小值是，可推出A'E的最小值大于，利用平移可知A'E的长逐渐趋于OA的长度，可对③作出判断；由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，利用矩形的性质可知OB=OB'，利用等边对等角可证得∠B'BD=∠BB'O，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
29．【答案】
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G
设AB=13，则CB=13，由tan∠B=，得AF=5，BF=12，故CF=1，
而由得BD=8，DC=5，得DF=4；
易知tan∠ACF=，
由∠GCE=∠ACF，得tan∠GCE=5，设CG=a，则GE=5a，
∠ADF+∠GDE=90°，∠ADF+∠DAF=90°
得∠DAF=∠GDE，又∠AFD=∠DGE=90°，
得△ADF~△DEG，
故即有
解得a=，
由AF||EG得
故填：.
【分析】由考虑构造直角三角形，设AB=13，可得其它线段长度，利用△ADF~△DEG可得a值，即可求出的值.
30．【答案】
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
同理可得 ……. 都为等边三角形，
过点B作BE⊥CD于点E，如图所示：
∴ ，
∴ ，
同理可得： ， ，……；
∴由此规律可得： ，
∴ ；
故答案为 ．
【分析】先求出 为等边三角形，再利用三角形的面积公式，找出规律，计算求解即可。
31．【答案】64
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
=（2﹣1）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
=（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
=（2n﹣1）（1+2n），
=22n﹣1，
∴x+1=22n﹣1+1=22n，
2n=128，
∴n=64．
故填64．
【分析】根据平方差公式的变形，求出代数式，再由代数式的值，求出n的值.
32．【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．
【分析】首先利用换元的思想令x+y=a，xy=b，从而将原代数式变形为（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a），然后去括号，利用分组分解法，将第一组利用完全平方公式分解，第二组利用提公因式法分解，然后再整体利用完全平方公式分解；最后再将换元的部分代入，在底数内利用分组分解法，再利用提公因式法分解到不能再分解为止。
33．【答案】﹣5
【知识点】一次函数的图象；切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，∵⊙P与边AB，AO都相切，∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，∴OB==6，∵AC=2，∴OC=6，∴△OBC为等腰直角三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，∴AE=AD=2+r，∵∠CAH=∠BAO，∴△ACH∽△ABO，∴=，即=，解得CH=，∴AH===，
∴BH=10﹣=，∵PE∥CH，∴△BEP∽△BHC，∴=，即=，解得r=1，∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5，∴P（5，﹣1），
∴k=5×（﹣1）=﹣5．故答案为：﹣5
【分析】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再 利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明 △ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEH∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=1，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．
34．【答案】8，，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：①当BA=BP时，
易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
易得△AOE∽△ABD，
∴=，
∴BD=，
∴BD=PD=，即PB=，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴=，
∴CP=，
∴BC=CP﹣BP=-=；
③当PA=PB时
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，
∴OF=3，
∴FP=8，
易得△PFB∽△CGB，
∴==，
设BG=t，则CG=2t，
易得∠PAF=∠ACG，
∵∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴=，
∴=，解得t=，
在Rt△BCG中，BC=t=，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，
故答案为：8，，．
【分析】①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；
③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质=，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．
35．【答案】或10
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】①如图1，当点F在矩形内部时，
∵四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8，
∴AB=CD，
又∵点F在线段AB的垂直平分线MN上，
∴AN=DM=4，
由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE，
在Rt△ANF中，
∴NF==3，
∴FM=5-3=2，
设DE=EF=x，则ME=4-x，
在Rt△ANF中，
∴ME2+MF2=EF2，
即（4-x）2+22=x2，
∴x=.
即DE=.
②如图2，当点F在矩形外部时，
∵四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8，
∴AB=CD，
又∵点F在线段AB的垂直平分线MN上，
∴AN=DM=4，
由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE，
在Rt△ANF中，
∴NF==3，
∴FM=5+3=8，
设DE=EF=y，则ME=y-4，
在Rt△EMF中，
∴ME2+MF2=EF2，
即（y-4）2+82=y2，
∴y=10.
即DE=10.
故答案为：或10.
【分析】根据题意分两种情况讨论：①点F在矩形内部，②点F在矩形外部，分别根据折叠的性质和勾股定理，列出方程求解即可得到DE的长.
36．【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
综上所述， 的值为 ．
故答案为：
【分析】此题是利用绝对值的意义，去绝对值符号然后合并同类项，由于题中有多个绝对值符号，所以需要分类讨论：①当 x ≤ 1 时，②当 1 < x ≤ 2 时，③当 2 < x ≤ 3 时，④当 x > 3 时，分这四类分别判断出绝对值符号里面的算式的计算结果是正负的情况，然后去掉绝对值符号，再合并即可得出答案。
37．【答案】7
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设OA=3a，则OB=4a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
则根据题意得： ，
解得： ，
则直线AB的解析式是y=﹣ x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．
根据题意得： ，
解得：
则D的坐标是（ ， ），
OA的中垂线的解析式是x= ，
则C的坐标是（ ， ），
则k= × = ．
∵以CD为边的正方形的面积为 ，
∴2（ ﹣ ）2= ，
则a2= ，
∴k= × =7．
故答案为7.
【分析】根据 = ，可设OA=3a，OB=4a，求出直线AB；由OD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x；联立直线解析式求得点D的坐标，和求出点C的坐标，可得到CD的长，根据CD2= ，求出a的值，从而得到k的值.
38．【答案】3﹣π
【知识点】平行四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD sin30°=1，EB=AB﹣AE=2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣﹣2×1÷2
=4﹣π﹣1
=3﹣π．
故答案为：3﹣π
【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求 ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积= ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．
39．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的性质
【解析】【解答】解 ：如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC= ，
反比例函数y= （k>0）的图象过BC中点E，
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（，），
∵△BDE∽△BCA
∴三角形BDE也是等腰直角三角形，
∴DF=EF
∴F（，）
∴D（-，）
∴
解 得：k=3
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC= 2 ，反比例函数y= （k>0）的图象过BC中点E，∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（ ， ），由△BDE∽△BCA得出三角形BDE也是等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一得出DF=EF，进而得出F，D的坐标，根据反比例函数的比例系数的性质得出关于k的方程，求解得出k的值。
40．【答案】（4，0）
【知识点】坐标与图形性质；圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OC、OD、OF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，
∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴点A旋转6次回到点A，
2018÷6=336…2，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次，与点E重合，
∴顶点A的坐标为（4，0），
故答案为（4，0）．
【分析】此题主要考查了正六边形的性质，坐标与图形的性质-旋转．将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2017次时，点A所在的位置就是原F点所在的位置.注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用.
41．【答案】（ ，3）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，∴AB=OA=2，∠BAD=60°，∴AD=1，BD=，∴OD=OA+AD=3，∴B（3，），将 △AOB绕点O逆时针旋转90° ，点B的对应点B'，∴B'C=BD=，OC=AD=3，∴B'坐标为（）
【分析】过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，根据题意可知B（3，），进而可知点B的对应点B'的坐标。
42．【答案】﹣4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ OABC的面积等于12，
∴△AOC的面积为6，
∵点D是线段AC的中点，CE∥DF，
∴DF是△ACE的中位线，
∴CE=2DF，AF=EF，
又∵S△OCE=S△ODF= ，
∴OF=2OE，S△ADF= ，S△ACE=|k|，
∴S△ACE+S△OCE=S△AOC=6，即 =6，
又∵k＜0（反比例函数在第二象限），
∴k=﹣4．
故答案为：﹣4．
【分析】根据平行四边形的性质及反比例函数K的几何意义，判断出OE=EF，再由△AOC的面积可得出关于K的方程求解即可。
43．【答案】（4031，4031）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：M1（a1，a1）是抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1的顶点，
抛物线y＝x2与抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1相交于A1，
得x2＝（x﹣a1）2+a1，
即2a1x＝a12+a1，
x＝ （a1+1）．
∵x为整数点
∴a1＝1，
M1（1，1）；
M2（a2，a2）是抛物线y2＝（x﹣a2）2+a2＝x2﹣2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y＝x2与y2相交于A2，
x2＝x2﹣2a2x+a22+a2，
∴2a2x＝a22+a2，
x＝ （a2+1）．
∵x为整数点，
∴a2＝3，
M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2＝（x﹣a3）2+a3＝x2﹣2a3x+a32+a3顶点，
抛物线y＝x2与y3相交于A3，
x2＝x2﹣2a3x+a32+a3，
∴2a3x＝a32+a3，
x＝ （a3+1）．
∵x为整数点
∴a3＝5，M3（5，5），
∴点M2016的坐标为：2016×2﹣1＝4031，
∴M2016（4031，4031），
故答案是：（4031，4031）．
【分析】分别求出M1、M2、M3的坐标，利用它们可发现规律，根据规律，可得答案.
44．【答案】-4≤b≤-2
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵y=2x+b，
∴当y＜2时，2x+b＜2，解得x＜；
∵函数y=2x+b沿x轴翻折后的解析式为-y=2x+b，即y=-2x-b；
∴当y＜2时，-2x-b＜2，解得x＞-；
∴-＜x＜，
∵x满足0＜x＜3，
∴-=0；=3；
∴b=-2，b=-4；
∴b的取值范围为-4≤b≤-2.
【分析】由y＜2时，求出2x+b＜2的解集；再由函数y=2x+b沿x轴翻折后的解析式为-y=2x+b，求出当y＜2时的解集-＜x＜，
由0＜x＜3，建立方程得出b的取值范围为-4≤b≤-2。
45．【答案】4﹣
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；探索图形规律
【解析】【解答】解：由于OA＝4，
所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝ OA＝ ×4＝2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（ ）2×4处，
同理第二次从A2点跳动到A3处，离原点的（ ）3×4处，
同理跳动n次后，离原点的长度为（ ）n×4＝ ，
故线段AnA的长度为4﹣ （n≥3，n是整数）．
故答案为：4﹣ ．
【分析】根据中点的性质，先算出第一次跳动后离远点的长度，同理继续算出第二次、第三次跳动后离原点的距离，然后观察每次距离的规律，用n表示出来 的长度，最后用总长度减去 即可.
46．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由此AG交BC于点M，过点G作GP⊥BC，垂足为P，
∵∠MPG=∠BCA=90°，∴PG//AC，∴△MPG∽△MCA，
∴MG：MA=PG：AC，
∵G为△ABC的重心，∴MG：MA=1：3，
∵AC=4，∴PG= ，
∴sin∠GCB= = ，
故答案为： .
【分析】首先，要知道三角形重心的定义和性质，定义：三角形三条中线的交点；性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即图中AG：GM=2：1.另外，需要特别注意的就是三角函数中的定义问题，在一个直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边之比；一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边之比；一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边之比。所以在这道题中，关键的是要找到包含∠GCB在内的直角三角形，然后再计算该角的正弦。
47．【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：当 时， ；
当 时， ；
、B两点的坐标为 ，
直线AB的解析式为 ，
，
解得 ，
是整数，k也是整数，
或 ，
解得 ，或 ，
此时 或 ．
所以k值共有15或9两个．
故答案为：2．
【分析】本题利用待定系数法求出一次函数函数解析式，本题的难点在于两点的坐标是字母而不是数字，利用一次函数点的坐标特征求出用a、b表达出k的代数式是关键，然后再用b a 是整数时，k也是整数这个条件求出k的值，
48．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC= = =8，
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，
∴AE=DE=DE1=A1E1=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴ = ，
即 = ，
解得DF= x，
在Rt△DE1F中，E1F= = = ，
又∵BE1=AB﹣AE1=10﹣3x，△E1FA1∽△E1BF，
∴ = ，
∴E1F2=A1E1 BE1，
即（ ）2=x（10﹣3x），
解得x= ，
∴AD的长为2× = ．
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理求出AC=8，设AD=2x，可证△ABC∽△AFD，利用相似三角形的对应边成比例可用x表示出DF，再在Rt△DE1F中，由勾股定理可用x表示出E1F，再由△E1FA1∽△E1BF，可得E1F2=A1E1 BE1，进而可求得x的值，可得AD的长.
49．【答案】 ﹣
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC= ，
在Rt△AOC中，∵OA=1，OC= ，
∴cos∠AOC= = ，AC= =
∴∠AOC=60°，AB=2AC= ，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB
= ﹣ × ×
= ﹣ ，
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM
= π×12﹣2（ ﹣ ）
= ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC= ，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC= ，然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案．
50．【答案】
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，∠B=90°，
∴AB=AM，BE=EM=3，
又∵AE=2 ，
∴AM= = = ，
设MD=a，MF=x，
∵在△ADM和△DFM中，∠AMD=∠DMF，∠ADM=∠DFM
∴△ADM∽△DFM，
∴ = ，
∴DM2=AM MF，
∴a2= x，
∵∠DMF=∠C，∠MDF=∠MDF，
∴△DMF∽△DCE，
∴ = ，即： = ．
∴ = ，
∴ ，
解之得： ，
故答案为： ．
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形相似的判定和性质.能正确的证出△ADM∽△DFM和△DMF∽△DCE，从而找出对应边的比是关键.此题先证明△ADM∽△DFM，得到DM2=AM MF，即得到a与x的关系；再利用△DMF∽△DCE得到a与x的关系，两个关系式联立化简可得.
51．【答案】(5，3)
【知识点】二次函数的三种形式；全等三角形的判定与性质；垂径定理；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=x2-6x+8=（x-2）（x-4），故A（2，0），B（4，0），
根据垂径定理可知点M在AB的中垂线上，设M（3，a）.
连接MC，过点M作ME∥x轴，过点B作BF垂直ME于点F，过点C作CE⊥ME于点E，
∵MB=MC，∠MBC=45°，
∴∠NCB=45°，
∴∠BMC=90°，
∵∠MEC=∠BFM=90°，
∴∠BMF=∠MCE，
∴△BMF≌△MCE，
∴ME=BF，MF=CE，
∵B（4，0），M（3，a）.
∴CE=MF=1，EF=a-1，
∴C（4+a-1，a+1）即C（3+a，a+1），
由于点C在抛物线上，则有
a+1=（3+a）2-6（3+a）+8
解得a1=2，a2=-1，
根据圆心M在第一象限可得a2=-1不符合题意，故a=2，
∴C（5，3）.
【分析】首先将解析式改写成两点式，即可得到A、B两点的坐标，根据垂径定理可得点M在AB的中垂线上，即可得到点M的横坐标，连接MC，过点M作ME∥x轴，过点B作BF垂直ME于点F，过点C作CE⊥ME于点E，易证△BMF≌△MCE，设M（3，a），根据全等三角形的性质即可用a表示出点C的坐标，再根据点C在抛物线上，即将点C的坐标代入抛物线解析式得到关于a的方程，求解舍去不符合题意的值，进而可得点C的坐标.
52．【答案】﹣2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵双曲线y=﹣ （x＜0）经过点P（﹣1，n），
∴n=﹣ =9，
∴P（﹣1，9），
∵F是PE的中点，
∴OF= ×9=4.5，
∴F（0，4.5），
设直线l的解析式为y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线l的解析式为y=﹣4.5x+4.5；
过P作PD⊥AB，垂足为点D，
∵PA=PB，
∴点D为AB的中点，
又由题意知A点的纵坐标为﹣4.5a+4.5，B点的纵坐标为﹣ ，D点的纵坐标为9，
∴得方程﹣4.5a+4.5﹣ =9×2，
解得a1=﹣2，a2=16（舍去）．
∴当PA=PB时，a=﹣2，
故答案为﹣2．
【分析】根据反比例函数图象上的坐标特点可求得点P的坐标，再由中点可求得F的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式，过P作PD⊥AB，垂足为点D，根据A点、B点、D点的坐标可得到关于a的方程，解此方程可求得a的值.
53．【答案】①②③
【知识点】二次函数的最值；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，
∴BE=DF，
∵AB=AD，∠B=∠D，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，①正确；
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，②正确；
∵在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴当点E，F分别为边BC，DC的中点时，BE= AB，DF= AD，
∴△ABE和△ADF是直角三角形，且∠BAE=∠DAF=30°，
∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，③正确；
∵△AEF的面积=菱形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△ADF的面积﹣△CEF的面积= AB2﹣ BE AB× ×2﹣ × ×（AB﹣BE）2=﹣ BE2+ AB2，
∴△AEF的面积是BE的二次函数，
∴当BE=0时，△AEF的面积最大，④错误．
故正确的序号有①②③．
【分析】利用三角形全等的判定和性质及菱形的性质可判定①正确；进而CE=CF，∠CEF=∠CFE，②正确；当点E，F分别为边BC，DC的中点时，可利用30度角的性质，求出∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，进而△AEF是等边三角形；最值问题可利用函数思想，构建面积关于BE的二次函数，可得出BE=0时，△AEF的面积最大，④错误.
54．【答案】4
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：连接CD，当CD⊥AB时，CD取得最小值，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴AC=4，BC= = =4 ．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD= BC=2 ．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2 ．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵∠EFD+∠CED=90°，∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴线段EF的最小值为4 ，
故答案为：4
【分析】连接CD，当CD⊥AB时，CD取得最小值.利用直径上的圆周角是直角求得∠ACB=90°，再利用直角三角形的性质可求出CD的长；根据“点E与点D关于AC对称”和直角三角形中两锐角互余，进而可得EF=2CD，得到EF的最小值.
55．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】设 由题意得：
解得
经检验， 是分式方程的根
即
为锐角
故答案为： ．
【分析】设 ，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．
56．【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：当 时， ；
当 时， ；
、B两点的坐标为 ，
直线AB的解析式为 ，
，
解得 ，
是整数，k也是整数，
或 ，
解得 ，或 ，
此时 或 ．
所以k值共有15或9两个．
故答案为：2．
【分析】由题中条件先求出点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，由是整数，k也是整数，可得b=2a或b=8a，从而可得k=15或k=9。
57．【答案】4
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，
则∠BPG=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠BCD=∠BPG=90°．∵GB平分∠CGE，∴∠EGB=∠CGB．又∵BG=BG，∴△BPG≌△BCG，∴∠PBG=∠CBG，BP=BC，∴AB=BP．∵∠BAE=∠BPE=90°，BE=BE，∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL），∴∠ABE=∠PBE，∴∠EBG=∠EBP+∠GBP= ∠ABC=45°，由折叠得：BF=EF，BH=EH，∴FH垂直平分BE，∴△BNM是等腰直角三角形．∵BM=2 ，∴BN=NM=2 ，∴BE=4 ．∵AE=8，∴Rt△ABE中，AB= =12，∴AD=12，∴DE=12﹣8=4．故答案为：4．
【分析】过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，根据正方形的性质得出∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，从而得出∠BCD=∠BPG=90°，根据角平分线的定义得出∠EGB=∠CGB，然后利用AAS判断出△BPG≌△BCG，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出∠PBG=∠CBG，BP=BC，从而得出AB=BP，然后利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△PBE，根据全等三角形的对应角相等得出∠ABE=∠PBE，由折叠的性质知BF=EF，BH=EH，故FH垂直平分BE，进而得出△BNM是等腰直角三角形，根据BM的长，得出BN=MN的长度，进而根据中垂线的性质得出BE，在Rt△ABE中，由勾股定理得出AB的长，根据线段的和差得出答案。
58．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；等积变换
【解析】【解答】解：如图，作于P，于Q，
∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转得，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
【分析】作于P，于Q，根据矩形性质可得，，再根据旋转性质可得，根据勾股定理可得BD'，再根据三角形面积可得D'P，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据勾股定理可得D'Q，根据边之间的关系可得AQ，再根据勾股定理即可求出答案.
59．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，
由轴对称性质可得，由平移的性质可得，
当三点共线时，的值最小，
此时，的值最小，
矩形中，，洞口M 位于的中点处，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，由轴对称性质可得，由平移的性质可得，当三点共线时，的值最小，此时，的值最小，根据矩形性质可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据边之间的关系可得QG，再根据勾股定理可得QC，再根据边之间的关系即可求出答案.
60．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作 过点D作 于点M， 过点B作BC∥AC交CM于点F， 如图所示：
在 中，
由勾股定理得： ，
∴四边形ABFC是平行四边形，
，
∴当 为最小时， 为最小，根据“两点之间线段最短”得：
∴当点D， B， F在同一条直线上时， 为最小，最小值是线段DF的长，
的最小值是线段DF的长，在 中，
由勾股定理得： ，
的最小值是
故答案为：
【分析】过点C作CM∥AB，过点D作DM⊥CM于点M， 过点B作BC'IAC交CM于点F， 则∠MCD=∠AOC =30°， 进而得 证明四边形ABFC是平行四边形， AF= AB=6，AC = BF， 则AC+BD=BF+BD， 由此得当iBF+BD为最小时，AC+BD为最小，根据“两点之间线段最短”得： BF+BD≤DF， 因此当点D， B， F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，然后在Rt△DFM中， 由勾股定理求出 即可得出AC+BD的最小值.
61．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J， 过点D作DK⊥AC于K.
∵∠ABC = 135°，
∴∠CBT = 45°，
∵CT⊥BT，
∴CT =BT，
设CT = BT =m， 则.
∴AB=2m，
∴AT=AB+BT=3m，
∵∠BAJ =∠CAT， ∠AJB=∠T =90°，
，
在 和 中，
∵四边形DEJK是矩形，
，
故答案为：
【分析】如图，过点C作 交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J， 过点D作于K.设 想办法求出DE，AC(用m表示)即可解决问题.
62．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；完全平方式；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接BC，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如图所示，
则四边形BCED是直角梯形，
∵四边形OBAC是平行四边形，且面积为8，
∴S△OBC =4；
∵点A(1，a)和B(b，1)都在反比例函数 的图象上，代入求出k=a=b，
∴点A坐标为(1，k)，点B坐标为(k，1)。
∴线段OA的中点坐标为(，)，
设点C坐标为(m，n)，
∴线段BC的中点坐标为（，）
∵四边形OBAC是平行四边形，
∴线段OA的中点与线段BC的中点重合，
∴=，=，即m=1-k，n=k-1，
∴点C(1-k，k-1)，
∵CE⊥x轴，BD⊥x轴，
∴CE=k-1，OE=k-1，OD=k，BD=1，
∴DE=OE+OD=k-1+k=2k-1，
S△OCE=OE·CE=(k-1)2，S△OBD=OD·BD=k，
而S梯形BCED=(BD+CE)·DE=(1+k-1)(2k-1)=k(2k-1)，
∵S△OCE+ S△OBD+ S△OBC = S梯形BCED，即(k-1)2+k+4=k(2k-1)，整理得k2=9，解得k=3，k=-3，
∵反比例函数 的图象在第一象限，
所以k> 0，因此k=3.
∴C的坐标为(-2，2).
故答案为：(-2，2).
【分析】本题主要考查反比例函数的性质、平行四边形的性质、面积、完全平方公式的运用等知识。
首先根据图形和条件，利用待定系数付可以得出k=a=b，然后分别求出OA和BC的中点坐标，继而求出C点的坐标。根据平行四边形的面积可以求出S△OBC 的面积，然后放到梯形BCED中，分成三个三角形列出等式并进行化简，即可求出k值，即可求出答案。
63．【答案】2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设CE=a，AF=b，
∵ABCD是菱形，
∴OC=OA=AB，BC∥OA，OC∥AB，
∴∠COA=∠B=∠BAF，
∴，
∴OE=3CE=3a，DF=3AF=3b，
∴，
∴点D的坐标为，
∵点C，D再反比例函数上，
∴，
解得①，
又∵，，
∴，
即，
，
把①代入得，
∴，
故答案为：2.
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设CE=a，AF=b，先根据正切得到OE=3CE=3a，DF=3AF=3b，求出菱形的边长，即可得到点D的坐标，然后代入反比例函数解析式求出①，然后根据列方程求出k值即可.
64．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设CD与AE的交点为H，连接BH，
设AC=3，则BC=4
由旋转知△ABC≌△EBD
∴∠ABC=∠EBD
∴∠ABC+∠ABD=∠EBD+∠ABD即∠CBD=∠ABE
又∵BC=BD，BA=BE
∴∠BAE=∠BEA=∠BCD=∠BDC
∴CD||BE，BC||AE
∴BCHE为平行四边形
∴EH=BC=4
∵BD=HE
∴∠HEB=∠DBE
∴BG=EG
∴BD-BG=HE-EG
∴GH=GD
又∵BGH=EGD
∴△BGH≌△EGD
∴∠BHG=∠EDG=90°
∴ACBH为矩形
∴AH=BC=4
设GH=m，则BG=EG=4-m
由勾股定理得，解得m=
于是EG=4-=，AG=AH+GH=4+=
故
故答案为：.
【分析】连接BH由折叠的性质知BCHE为平行四边形，ACBH为矩形，利用勾股定理求出GH的长，即可得比值.
65．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N
∵正方形的边长为3，
∴
∵
∴
∴
∵四边形是正方形
∴，
∴四边形是矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度
∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，可得，再证出当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，最后利用勾股定理求出AH的长即可.
66．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】 过点F作于H，延长与的延长线交于K，根据，可得，再利用勾股定理求出，再根据，求出，再利用勾股定理求出，再证出，利用相似三角形的性质可得，即， 求出，再证出，利用相似三角形的性质可得，即， 求出，最后利用线段的和差求出BG的长即可.
67．【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵
∴，即①正确；
如图：连接，
∵C是的中点，
∴，
∴
∵是直径，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即②正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：（舍弃负值），
∴，
∵，
∴，同理：，
∴，
∴，即，解得：，
∴，即③错误；
如图：假设半圆的圆心为O，连接，
∵，，C是的中点，
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，即是菱形，
∴，
∵，
∴，即，解得：；
，，
∴，，
∴，即④正确．
故答案为：①②④。
【分析】如图：连接，根据 ，可得 ；根据圆周角定理，可得 ，又根据 ，易得、，根据等角对等边，可得，根据， ，易证，然后再根据相似的性质，可得，再根据等角对等边，即可得到；根据， ，易证，根据相似三角形的性质，可得，代入数据即可求出BC的值，然后运用勾股定理：，代入数据求出BG的值，同理： ，易证，然后根据相似三角形的性质： 以及线段的和差，代入数据即可求解；如图：假设半圆的圆心为O，连接，根据 ，易证是等边三角形， 根据 即是菱形，然后得到，然后再根据正切函数的定义和特殊角： ，代入数据，求出CG和CH的值，最后再根据三角形的面积公式：和，最后再根据，代入数据即可求解。
68．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
∵，平分，
∴，，即垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要对等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识点进行考查．根据题干信息延长交于点，连接，根据，平分 可得垂直平分，进而得到，所以，此时设，则，根据勾股定理在中，，在中，，所以，进一步得到，进一步得到，根据三角形相似所以．
69．【答案】
【知识点】三角形的面积；正切的概念；相似三角形的性质-对应边；等积变换；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：过B点作BE//AD交AC于点E， BE⊥AD，
，
∴
∴
设OE=a，则AO=，AE=，
由，
∴
故答案为：。
【分析】观察图形，可以发现和存在公共的底边BD，所以可得出=，故而只需求出即可；过B点作BE//AD交AC于点E，即可得出，根据 ， ，AO=，设OE=a，则AO=，AE=，进而还可证明明利用可得出，可得出CE=7a，进而OC=8a，故而=.
70．【答案】3
【知识点】三角形三边关系；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵等腰中，点P为斜边中点，
∴，
∵将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，，
∴，
∴中，，当、、三点共线时，不构成三角形时取等号，
∴，即，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：。
【分析】因为点P为斜边中点，根据直角三角形的性质，可求出，根据旋转的性质，可得CD=CQ，然后再根据三角形三边关系，可得，代入数据即可求出PQ的最大值。
71．【答案】①②④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，故①正确
∴，
∴，即，故②正确；
如图所示，过点A作，
当时，则，
∴，故③错误；
如图所示，作的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧上取一点G，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，过点O作交延长线于T，连接，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴当点P在直线上时，有最小值，最小值为的值，即最小值为，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据 ，易证是等腰直角三角形，得到，则，由正方形的性质得到，则可证明，得到，进而得到；过点A作，当时，则，根据三角形正弦函数的定义，可得；作的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧上取一点G，连接，可证明，过点O作交延长线于T，连接，根据，可得当点P在直线上时，有最小值，最小值为的值，据此可判断。
72．【答案】②③④
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：①如图，延长交于M，过P作直线，
和是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
为中点，
为中点，
在线段上运动，
在直线l上运动，
由知等边三角形的高为，
到直线l的距离，P到直线的距离都为，
作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，
此时最小值，故①错误；
②，
，
当共线时，最小，最小值为的长度，
为的中点，
，
为等边三角形的高，
的最小值为，故②正确；
过D作于K，过C作于T，如图，
和是等边三角形，
，
，
，即，
，
周长的最小值为6，故③正确；
④设，则，
，，，，
，
当时，四边形面积的最小值为，故④正确．
故答案为：②③④。
【分析】①延长交于M，过P作直线，根据和是等边三角形，根据平行四边形的判定定理，易证四边形是平行四边形，根据P为中点，知P为中点，易得P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出的值；②根据，易得共线时，最小，最小值为MF，根据等边三角形的性质和勾股定理，代入数据，即可求出MF的值；③过D作于K，过C作于T，根据题意，可知和是等边三角形，得，有，根据三角形CDE的周长公式，即可求出周长的最小值；④设，则， 进而求出AK、BT、DE和CT的值，最后再根据三角形的面积公式和梯形的面积公式，分别求出三角形ADK、BCT和梯形DKCT的面积，用m表示，再配方，当m=1，将m代入即可求出四边形ABCD面积的最小值。
73．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BD交EF于点O，
根据题意可得DE=BF，
四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO=∠DEO，∠EDO=∠FBO
∴△EOD≌△FOB
∴BO=DO，
即点O是正方形中心，
∴BD=
连接CO，取CO的中点M，连接BM．
∴BO=DO=CO=.OM=
在Rt△OBM中
∴
在Rt△OPC中，M是CO的中点，OM=MC=PM=
当三点B、P、M共线时，BP最小，最小值为BM-PM=．
故答案为：．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的两边之差小于第三边等定理．
如图，连接BD交EF于点O，连接CO，取CO的中点M，连接BM．利用勾股定理求出BD，然后利用AAS证明△EOD≌△FOB，说明O是正方形的中心，得到BO=CO=DO，在Rt△OPC中，M是CO的中点，OM=MC=PM=，在Rt△OBM中，利用勾股定理求出BM， 当B、P、M三点共线时，BP最小，最小值为BM-PM.
74．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接FC，如图所示，
∵∠EAC=∠DBC，即∠FAC=∠FBC，
∴点A、B、C、F四点共圆，
因此∠AFB=∠ACB=45°，∠BFC=∠BAC =90°，
∴∠DFE=∠AFB=45°，
∴∠CFE=180°-∠BFC-∠DFE=45°=∠DFE，
∴EF平分∠DFC，
∴，
设DF=1，则CF=4，设BF=x，则BD=BC=x+1，
在Rt△BFC中，CF2+BF2=BC2，
即x2+ 42 =(x+ 1)2，解得x=，
∴tan∠DBC=，
故答案为：.
【分析】本题首先利用弧度和角度，确定A、B、C、F四点共圆、AB为直径，然后求出，最后利用勾股定理求出BF的值，即可求出答案。
75．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BF，交AE于H，
∵正方形ABCD的边长为，E，F分别是BC，CD的中点，
， ， ，
在 和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中，，
，
．
故答案为： ．
【分析】
连接BF，交AE于H，由正方形性质和中点定义得到 ， ， ， 即可利用SAS证明，利用全等三角形得性质得到角度关系利用AA再证明，利用勾股定理求出BF即可求出BH，再用勾股定理计算即可解答．
76．【答案】；
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图2，过点作，
入射角为，折射角为，
△OPA为等腰直角三角形，
，
，
，
在中，
，
，
，
折射率；
如图2，过点作于点，
入射角为，折射角为，
在中，，，
，，
折射率，
，
，
在中，，且FH=，
，
解得，
，
故答案为：，．
【分析】
根据题意，过点P作，计算入射角和折射角的正弦值的比值，即可得到折射率；过F作KH⊥BC，利用折射率，求出直线的折射角的正弦值，从而求出HG，BH，即可得到结果．
77．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H．
∵∠CQP＝∠CTP＝90°，
∴C，P，T，Q四点共圆．
∴∠CTQ＝∠CPQ＝30°，
∴点Q的运动轨迹是射线TQ，
∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CBT＝∠ABC，∠ACB＝∠CTB＝90°，
∴△BTC∽△BCA，
∴BC2＝BT BA，
∴BT，
∵∠BTH＝60°，
∴BH＝BT sin60°，
∴当点Q与点H重合时，CQ的值最小，最小值为．
【分析】
过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，由于∠CQP＝∠CTP＝90°，则C，P，T，Q四点共圆，所以∠CTQ＝∠CPQ＝30°，即点Q在射线TQ上运动，此时再过点B作BH⊥QT于点H，显然当Q、H重合时，BQ最小，由于可求∠BTH＝60°，则解Rt △BTH即可得出，此时可利用AA证明 △BTC∽△BCA ，再由相似比求出BT即可．
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：243分
分值分布 客观题（占比） 30.0(12.3%)
主观题（占比） 213.0(87.7%)
题量分布 客观题（占比） 10(13.0%)
主观题（占比） 67(87.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 77(100.0%) 243.0(100.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 困难 (100.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 圆内接正多边形 3.0(
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